לומדי

פונקציות טריגונומטריות

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

שלום, אני לומדי! מעגל היחידה הוא "מכונת התרגום" הכי חשובה בטריגונומטריה: לכל זווית (או קשת) מתאימה נקודה על המעגל, וה-sin וה-cos הם פשוט הקואורדינטות של הנקודה הזו. חשוב לעבוד עם רדיאנים ולא מעלות בשלב הזה - זה יעזור לכם בהמשך עם הנגזרות של הפונקציות הטריגונומטריות. ותזכרו: sin²+cos²=1 היא בעצם משפט פיתגורס במסווה, כי הרדיוס של מעגל היחידה הוא 1!

מעגל היחידה: הגדרת סינוס וקוסינוס

מעגל היחידה הוא מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 1. לכל מספר ממשי x, מתאימים לו נקודה P על מעגל היחידה על ידי מדידת קשת באורך x לאורך המעגל, נגד כיוון השעון, החל מהנקודה (1,0) (עבור x שלילי - עם כיוון השעון). מדידה זו נעשית ברדיאנים, לא במעלות - רדיאן הוא זווית שהקשת שהיא "חותכת" על מעגל היחידה שווה ל-1. מגדירים: sin(x) הוא הקואורדינטה y של הנקודה P, ו-cos(x) הוא הקואורדינטה x שלה. מכך נובעות תכונות הזוגיות: cos היא פונקציה זוגית (cos(-x)=cos(x)), ו-sin היא פונקציה אי-זוגית (sin(-x)=-sin(x)) - כי נקודות בזוויות נגדיות הן שיקוף זו של זו ביחס לציר ה-x.

הזהות הפיתגורית וזהויות משלימות

מכיוון שהנקודה P(cos(x), sin(x)) תמיד נמצאת על מעגל היחידה (שרדיוסו 1), מתקיימת הזהות הפיתגורית: sin²(x)+cos²(x)=1 עבור כל x. זהות שימושית נוספת קושרת בין סינוס וקוסינוס של זוויות משלימות (שסכומן π/2): sin(π/2-x)=cos(x), וגם cos(π/2-x)=sin(x).

פונקציית הטנגנס

מגדירים tan(x)=sin(x)/cos(x). הפונקציה אינה מוגדרת במקומות שבהם cos(x)=0 (כי אי אפשר לחלק באפס) - כלומר בערכים כמו π/2, 3π/2 וכן הלאה. גיאומטרית, tan(x) הוא שיפוע הקרן שיוצאת מהראשית ועוברת דרך הנקודה P על מעגל היחידה, ואפשר לדמיין אותו כאורך הקטע על משיק אנכי למעגל בנקודה (1,0).

ערכים מיוחדים ומחזוריות

חשוב לדעת בעל-פה את ערכי הפונקציות הטריגונומטריות בזוויות הנפוצות π/6, π/3, π/2 (ולגזור מהן, בעזרת הזהויות, ערכים נוספים). לדוגמה: sin(π/6)=1/2, cos(π/6)=√3/2, sin(π/3)=√3/2, cos(π/3)=1/2, sin(π/2)=1, cos(π/2)=0. הפונקציות sin ו-cos הן מחזוריות עם מחזור 2π - כלומר sin(x+2π)=sin(x) לכל x (ובדומה עבור cos), כי הוספת 2π שקולה להקפה שלמה אחת נוספת סביב המעגל וחזרה לאותה נקודה בדיוק.

פתרון משוואות טריגונומטריות בסיסיות

כדי לפתור משוואה כמו sin(x)=a, קודם מוצאים פתרון אחד (או שניים) בתחום [0,2π) בעזרת ערכים ידועים או זהויות, ואז מוסיפים את כל הכפולות השלמות של 2π (בגלל המחזוריות): x=x0+2πk לכל k שלם. לדוגמה, אם sin(x)=1/2, יש בתחום [0,2π) שני פתרונות: x=π/6 (כי sin(π/6)=1/2) ו-x=π-π/6=5π/6 (כי לסינוס יש ערך זהה בשתי נקודות סימטריות ביחס לציר ה-y). באותו אופן פותרים גם משוואות מהצורה A·sin(ax+b)+B=0: מבודדים תחילה את sin(ax+b), ואז פותרים כמו במשוואה הבסיסית.

דוגמאות פתורות

הנקודה P על מעגל היחידה מתאימה לזווית π/6. מצאו את sin(π/6) ואת cos(π/6).

  1. לפי הגדרת מעגל היחידה, קואורדינטות הנקודה P הן (cos(x), sin(x)).
  2. עבור x=π/6, הקואורדינטות הידועות של הנקודה הן (√3/2, 1/2).

תשובה: sin(π/6)=1/2, cos(π/6)=√3/2.

בדקו את הזהות הפיתגורית עבור x=π/3.

  1. הערכים הידועים: sin(π/3)=√3/2, cos(π/3)=1/2.
  2. מציבים: sin²(π/3)+cos²(π/3)=(√3/2)²+(1/2)²=3/4+1/4=1.

תשובה: sin²(π/3)+cos²(π/3)=1 - הזהות מתקיימת.

פתרו את המשוואה sin(x)=1/2 עבור x בתחום [0,2π).

  1. מחפשים בתחום [0,2π) את כל הזוויות שבהן sin שווה 1/2.
  2. הפתרון הראשון: x=π/6 (מהערך הידוע).
  3. סינוס מקבל את אותו ערך גם בזווית הסימטרית לה ביחס לציר y: x=π-π/6=5π/6.

תשובה: x=π/6 או x=5π/6.

תרגול

1. מצאו את cos(π/3).תרגול
  1. זהו ערך ידוע ממעגל היחידה.

תשובה: 1/2

2. מצאו את tan(π/4).תרגול
  1. sin(π/4)=√2/2, cos(π/4)=√2/2.
  2. tan(π/4)=sin(π/4)/cos(π/4)=(√2/2)/(√2/2)=1.

תשובה: 1

3. נתון sin(x)=3/5, כאשר x בתחום (0, π/2). מצאו את cos(x) בעזרת הזהות הפיתגורית.תרגול
  1. sin²(x)+cos²(x)=1.
  2. (3/5)²+cos²(x)=1 ⟹ cos²(x)=1-9/25=16/25.
  3. בתחום (0,π/2) הקוסינוס חיובי, ולכן cos(x)=√(16/25)=4/5.

תשובה: cos(x)=4/5

4. הפונקציה sin(x) זוגית או אי-זוגית? והפונקציה cos(x)?תרגול
  1. sin(-x)=-sin(x) - זו הגדרת פונקציה אי-זוגית.
  2. cos(-x)=cos(x) - זו הגדרת פונקציה זוגית.

תשובה: sin אי-זוגית, cos זוגית.

5. פתרו את המשוואה cos(x)=√2/2 עבור x בתחום [0,2π).שאלה בהקשר
  1. פתרון ראשון (ערך ידוע): x=π/4.
  2. קוסינוס מקבל את אותו ערך גם בזווית הסימטרית ביחס לציר x: x=2π-π/4=7π/4.

תשובה: x=π/4 או x=7π/4.

6. פתרו את המשוואה tan(x)=1 עבור x בתחום [0,2π).שאלה בהקשר
  1. פתרון ראשון: x=π/4 (כי tan(π/4)=1).
  2. הטנגנס מחזורי עם מחזור π (לא 2π), ולכן הפתרון הנוסף בתחום: x=π/4+π=5π/4.

תשובה: x=π/4 או x=5π/4.

7. פתרו את המשוואה 2sin(x)-1=0 עבור x בתחום [0,2π).שאלה בהקשר
  1. מבודדים: 2sin(x)=1 ⟹ sin(x)=1/2.
  2. הפתרונות המוכרים בתחום: x=π/6 או x=5π/6.

תשובה: x=π/6 או x=5π/6.

8. בעזרת הזהות sin(π/2-x)=cos(x) ובידיעה ש-cos(π/6)=√3/2, מצאו את sin(π/3).שאלה בהקשר
  1. שמים לב ש-π/2-π/6=π/3.
  2. לפי הזהות: sin(π/3)=sin(π/2-π/6)=cos(π/6).
  3. cos(π/6)=√3/2.

תשובה: sin(π/3)=√3/2

לזכירה

  • מעגל היחידה: לכל x מתאימה נקודה P(cos(x), sin(x)) על מעגל ברדיוס 1. עובדים ברדיאנים, לא במעלות.
  • sin אי-זוגית (sin(-x)=-sin(x)), cos זוגית (cos(-x)=cos(x)).
  • זהות פיתגורית: sin²(x)+cos²(x)=1. זהויות משלימות: sin(π/2-x)=cos(x), cos(π/2-x)=sin(x).
  • tan(x)=sin(x)/cos(x), לא מוגדרת כאשר cos(x)=0.
  • ערכים מיוחדים לדעת בעל-פה: ב-π/6, π/3, π/2. sin ו-cos מחזוריות עם מחזור 2π.
  • פתרון sin(x)=a (או cos, tan): מוצאים פתרון בתחום [0,2π) ומוסיפים כפולות של 2π (המחזור). למשוואות A·sin(ax+b)+B=0 - מבודדים תחילה את הביטוי הטריגונומטרי.
הקודםפרופורציה ודמיון משולשיםהבאטריגונומטריה במישור כולל משוואות טריגונומטריות