הרחבה לפונקציות רציונליות ושורשים כולל הרכבה של פונקציות

הוכיחו לפי הגדרת הנגזרת (גבול מנת ההפרשים) כי הנגזרת של f(x)=1/x היא f'(x)=-1/x².

1. מציבים בהגדרה: [f(x+h)-f(x)]/h = [1/(x+h) - 1/x] / h.
2. מאחדים את שני השברים במונה למכנה משותף x(x+h): [1/(x+h) - 1/x] = [x - (x+h)] / [x(x+h)] = -h / [x(x+h)].
3. מחלקים ב-h (המכנה החיצוני): {-h / [x(x+h)]} / h = -1 / [x(x+h)].
4. שואפים ל-h→0: המכנה x(x+h) שואף ל-x·x=x², ולכן הביטוי כולו שואף ל--1/x².

תשובה: f'(x) = -1/x² (הוכח לפי הגדרת הנגזרת).

חקרו את הפונקציה g(x)=(x+1)/(x-2): תחום הגדרה, אסימפטוטות, ונגזרת.

1. תחום ההגדרה: x≠2 (המכנה מתאפס שם) - אסימפטוטה אנכית x=2.
2. כותבים מחדש: (x+1)/(x-2) = [(x-2)+3]/(x-2) = 1 + 3/(x-2) - זו בדיוק הפונקציה 1/x שהוזזה 2 ימינה ו-1 למעלה, ונמתחה פי 3.
3. מהצורה הזו: כש-x→±∞, האיבר 3/(x-2) שואף ל-0, ולכן g(x) שואף ל-1 - אסימפטוטה אופקית y=1.
4. גוזרים לפי כלל המנה: f=x+1 (f'=1), h=x-2 (h'=1). g'(x) = [1·(x-2) - (x+1)·1] / (x-2)² = [x-2-x-1]/(x-2)² = -3/(x-2)².
5. הנגזרת שלילית בכל תחום ההגדרה (כי -3/(x-2)² תמיד שלילי) - הפונקציה יורדת בכל אחד משני הענפים.

תשובה: תחום הגדרה x≠2; אסימפטוטה אנכית x=2, אסימפטוטה אופקית y=1; g'(x)=-3/(x-2)² - הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה.

מצאו את הנגזרת של y=√x, ואת הנגזרת של y=√(5x-1).

1. נגזרת השורש הבסיסי: (√x)'=1/(2√x) (מוגדרת עבור x>0).
2. עבור y=√(5x-1): כלל השרשרת עם ביטוי לינארי מתחת לשורש, y'=a/(2√(ax+b)) עם a=5, b=-1.
3. מציבים: y' = 5/(2√(5x-1)).

תשובה: (√x)'=1/(2√x). (√(5x-1))'=5/(2√(5x-1)).

נתונה f(x)=x·√(x-5) (עבור x≥5). מצאו את f'(x), ואת משוואת המשיק לגרף בנקודה x=9.

1. כלל המכפלה: u=x (u'=1), v=√(x-5) (v'=1/(2√(x-5))).
2. f'(x) = 1·√(x-5) + x·[1/(2√(x-5))].
3. מאחדים למכנה משותף 2√(x-5): f'(x) = [2(x-5)+x] / (2√(x-5)) = (3x-10)/(2√(x-5)).
4. נקודת ההשקה: f(9)=9·√4=9·2=18. שיפוע המשיק: f'(9)=(27-10)/(2·2)=17/4.
5. משוואת המשיק: y-18=(17/4)(x-9), כלומר y=(17/4)x-153/4+72/4=(17/4)x-81/4.

תשובה: f'(x)=(3x-10)/(2√(x-5)). משוואת המשיק ב-x=9: y=(17/4)x-81/4.