לומדי

בעיות ערך קיצון

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! בעיות ערך קיצון הן המקום שבו כל מה שלמדתם על נגזרות פוגש בעיות מהחיים האמיתיים - איך מוצאים את השטח הכי גדול, את הרווח הכי גבוה, או את העלות הכי נמוכה. הסוד הוא לא בגזירה עצמה (אותה כבר יודעים לעשות) אלא בשלב הראשון: לתרגם את סיפור המילים לפונקציה אחת עם משתנה אחד. ברגע שיש לכם את הפונקציה, פשוט גוזרים, מוצאים איפה הנגזרת מתאפסת, ובודקים אם זה קצה תחום או נקודה פנימית - ואל תשכחו: בתחום סגור חובה לבדוק גם את הקצוות, כי לפעמים דווקא שם מסתתרת התשובה!

שלבי הפתרון של בעיית קיצון

בעיית קיצון היא בעיית מילים שבה מחפשים את הערך הגדול ביותר או הקטן ביותר של גודל כלשהו (שטח, רווח, מחיר וכדומה), בהינתן אילוץ מסוים. שלבי הפתרון הקבועים: (1) מגדירים משתנה (למשל x) לגודל שמשתנה בבעיה. (2) מנסחים, בעזרת האילוץ הנתון, את הגודל שרוצים למקסם או למזער כפונקציה של המשתנה היחיד הזה - זו הפונקציה שנחקור. (3) קובעים את תחום ההגדרה **הריאלי** של הבעיה (למשל, אורך חייב להיות חיובי). (4) גוזרים את הפונקציה, מוצאים נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת, ובודקים סימן כדי לסווג אותן. (5) משווים בין הקיצון המקומי שנמצא לבין ערכי הפונקציה בקצוות תחום ההגדרה (אם קיימים בתחום), כדי לקבוע מהו הקיצון **המוחלט** - זו התשובה לבעיה. (6) מחזירים תשובה במונחי הבעיה המקורית, עם יחידות.

קיצון בתחום סגור לעומת תחום פתוח

ההבדל בין תחום סגור לתחום פתוח משפיע ישירות על אופן מציאת הקיצון המוחלט. **בתחום סגור** [a,b] (הכולל את שתי הקצוות), הקיצון המוחלט יכול להתקבל גם בקצוות עצמם, ולכן **חובה** לחשב את ערך הפונקציה גם ב-a וגם ב-b ולהשוות אותם לכל ערך קיצון מקומי שנמצא בתוך התחום - הגדול מביניהם הוא המקסימום המוחלט, והקטן הוא המינימום המוחלט. **בתחום פתוח** (a,b) (שאינו כולל את הקצוות), אי אפשר להציב את הקצוות עצמם - אבל אם יש בתחום נקודה חשודה לקיצון יחידה, והנגזרת מחליפה שם סימן בהתאם, אפשר להסיק שזהו גם הקיצון המוחלט על פני כל התחום הפתוח (כי הפונקציה רק מתקרבת לערכי הקצה בלי להגיע אליהם, ואינה "עוקפת" את הקיצון שנמצא).

בעיות מספרים ובעיות גאומטריות במישור

בעיות מספרים: נתון אילוץ על שני מספרים (למשל, סכומם קבוע), ומחפשים את הערכים שנותנים מכפלה (או ביטוי אחר) מקסימלית או מינימלית. בעיות גאומטריות במישור: לרוב עוסקות במלבן, משולש או צורה אחרת עם היקף נתון, ומחפשים את הממדים שנותנים שטח מקסימלי (או ההפך - היקף מינימלי בהינתן שטח נתון). בשני הסוגים, השלב הקריטי הוא **ניסוח נכון** של הגודל שרוצים למקסם/למזער כפונקציה של משתנה אחד בלבד - בעזרת האילוץ הנתון מבטאים את אחד הגדלים באמצעות השני.

בעיות פונקציות/גרפים ובעיות כלכליות

בעיות פונקציות וגרפים: הפונקציה שרוצים לחקור כבר נתונה במפורש (למשל נוסחת רווח או נוסחת מרחק כפונקציה של הזמן), והבעיה מבקשת למצוא את נקודת הקיצון שלה ישירות, בלי צורך לנסח אותה מחדש. בעיות כלכליות: עוסקות בדרך כלל בפונקציית עלות, פונקציית הכנסה, או פונקציית רווח (רווח = הכנסה פחות עלות) כתלות במספר יחידות שמייצרים או מוכרים x - ומחפשים את מספר היחידות שממקסם את הרווח או ממזער את העלות. חשוב לשים לב שבבעיות מסוג זה x מייצג כמות (מספר יחידות), ולכן תחום ההגדרה הריאלי תמיד מוגבל ל-x≥0.

בעיות קיצון עם פונקציית שורש

כל שלבי הפתרון זהים לחלוטין לבעיית קיצון עם פולינום (ראו למעלה) - אבל כשהגודל שרוצים למקסם/למזער מנוסח כפונקציה שיש בה שורש, יש לשים לב לשני דברים נוספים. ראשית, קביעת תחום ההגדרה הריאלי חייבת לקחת בחשבון גם את תחום ההגדרה של פונקציית השורש עצמה (הביטוי מתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי) וגם את האילוצים הפיזיקליים של הבעיה - ולוקחים את החיתוך בין השניים. שנית, גוזרים לפי כלל הנגזרת של פונקציית שורש: [√f(x)]' = f'(x)/(2√f(x)) (ראו שיעור "חשבון דיפרנציאלי של פונקציית שורש"). מעבר לזה, שאר השלבים - איתור נקודות חשודות לקיצון, בדיקת סימן, והשוואה לערכי הפונקציה בקצוות תחום ההגדרה - בדיוק כמו שכבר למדתם.

דוגמאות פתורות

סכום שני מספרים חיוביים הוא 20. מצאו את שני המספרים כך שמכפלתם תהיה מקסימלית.

  1. מגדירים משתנה: יהי x אחד המספרים; מכיוון שסכומם 20, המספר השני הוא 20-x.
  2. שני המספרים חיוביים, ולכן תחום ההגדרה הוא x∈(0,20) - תחום פתוח.
  3. מנסחים את המכפלה כפונקציה של x: P(x)=x(20-x)=20x-x².
  4. גוזרים: P'(x)=20-2x. פותרים P'(x)=0: 20-2x=0, ולכן x=10 - זו נקודת הקיצון היחידה בתחום.
  5. בודקים סימן: עבור x<10, P'(x)>0 (עולה); עבור x>10, P'(x)<0 (יורדת) - הנגזרת עוברת מחיובי לשלילי, ולכן x=10 הוא מקסימום מקומי, וכיוון שזו הנקודה החשודה היחידה בתחום הפתוח, זהו גם המקסימום המוחלט.
  6. מחשבים את המכפלה המקסימלית: P(10)=10·(20-10)=10·10=100.

תשובה: שני המספרים שווים, כל אחד 10, והמכפלה המקסימלית היא 100.

יש לגדר מגרש מלבני שהיקפו 40 מטר. עבור אילו ממדים השטח יהיה מקסימלי, ומהו השטח המקסימלי? (בדקו גם את קצוות התחום)

  1. מגדירים משתנה: יהי x רוחב המגרש. מהיקף 40=2(x+y) מקבלים x+y=20, ולכן האורך הוא y=20-x.
  2. תחום הגדרה סגור (כולל את המצבים הקיצוניים שבהם המלבן מתנוון לקטע): x∈[0,20].
  3. מנסחים את השטח כפונקציה של x: A(x)=x(20-x)=20x-x².
  4. גוזרים ומאפסים: A'(x)=20-2x=0, ולכן x=10 - נקודה פנימית בתחום.
  5. בודקים סימן סביב x=10: A'(x)>0 עבור x<10 ו-A'(x)<0 עבור x>10, ולכן x=10 היא מקסימום מקומי; A(10)=10·10=100.
  6. משווים לערכי הקצוות (כי התחום סגור): A(0)=0·20=0, וגם A(20)=20·0=0 - שניהם קטנים בהרבה מ-100.

תשובה: השטח המקסימלי, 100 מ"ר, מתקבל כאשר x=10 (מלבן שהוא בעצם ריבוע 10×10 מטר); ערכי הקצוות (0 ו-0) קטנים בהרבה, כך שהמקסימום הפנימי הוא גם המוחלט.

חברה מעריכה שהרווח היומי שלה (בשקלים) כתלות במספר היחידות x שהיא מייצרת ומוכרת נתון על ידי R(x)=-x²+60x-500, כאשר x≥0. מצאו את מספר היחידות שממקסם את הרווח, ומהו הרווח המקסימלי.

  1. תחום ההגדרה הריאלי: x≥0 (מספר יחידות אינו יכול להיות שלילי), כלומר [0,∞).
  2. גוזרים: R'(x)=-2x+60. פותרים R'(x)=0: -2x+60=0, ולכן x=30.
  3. בודקים סימן: עבור x<30, R'(x)>0 (עולה); עבור x>30, R'(x)<0 (יורדת) - מקסימום מקומי ב-x=30, וזו נקודת הקיצון הפנימית היחידה בתחום, ולכן גם המקסימום המוחלט (בהשוואה לקצה x=0: R(0)=-500, נמוך בהרבה).
  4. מחשבים את הרווח המקסימלי: R(30)=-30²+60·30-500=-900+1800-500=400.

תשובה: יש לייצר 30 יחידות כדי למקסם את הרווח; הרווח המקסימלי הוא 400 שקלים ליום.

הרווח היומי (באלפי שקלים) של חברה כתלות במספר היחידות המיוצרות x נתון על ידי P(x) = 20 + 10√x - x, כאשר 0≤x≤36. מצאו את מספר היחידות שממקסם את הרווח, ומהו הרווח המקסימלי.

  1. תחום ההגדרה: הביטוי מתחת לשורש דורש x≥0, וזה כבר מובטח על ידי אילוץ הבעיה 0≤x≤36 - לכן תחום ההגדרה הריאלי הוא בדיוק [0,36] (החיתוך בין שני התנאים), תחום סגור.
  2. גוזרים לפי כלל נגזרת השורש: P'(x) = 10·[1/(2√x)] - 1 = 5/√x - 1.
  3. פותרים P'(x)=0: 5/√x=1, כלומר √x=5, ולכן x=25 - נקודה פנימית בתחום (0<25<36).
  4. בודקים סימן: עבור x<25, √x<5 ולכן 5/√x>1, כלומר P'(x)>0 (עולה). עבור x>25, √x>5 ולכן 5/√x<1, כלומר P'(x)<0 (יורדת) - x=25 היא מקסימום מקומי.
  5. מכיוון שהתחום סגור, משווים גם לערכי הקצוות: P(0)=20+10·0-0=20. P(36)=20+10·6-36=20+60-36=44. P(25)=20+10·5-25=45.
  6. 45 הוא הגדול מבין השלושה (20, 44, 45), ולכן x=25 נותן גם את המקסימום המוחלט.

תשובה: יש לייצר 25 יחידות כדי למקסם את הרווח; הרווח המקסימלי הוא 45 אלף שקלים.

תרגול

1. מצאו שני מספרים חיוביים שסכומם 16, כך שמכפלתם תהיה מקסימלית.תרגול
  1. מגדירים x כאחד המספרים, והשני הוא 16-x, כאשר x∈(0,16).
  2. P(x)=x(16-x)=16x-x². גוזרים: P'(x)=16-2x.
  3. פותרים P'(x)=0: x=8 - הנקודה החשודה היחידה, ובדיקת סימן (חיובי לפני, שלילי אחרי) מראה שזה מקסימום.
  4. P(8)=8·8=64.

תשובה: שני המספרים שווים, 8 ו-8, ומכפלתם המקסימלית היא 64.

2. היקפו של מלבן הוא 60 מטר. מצאו את ממדיו כך ששטחו יהיה מקסימלי, ומהו השטח המקסימלי.תרגול
  1. מגדירים x כרוחב המלבן. מהיקף 60=2(x+y) מקבלים y=30-x.
  2. A(x)=x(30-x)=30x-x². גוזרים: A'(x)=30-2x.
  3. פותרים A'(x)=0: x=15 - בדיקת סימן מראה מקסימום.
  4. A(15)=15·15=225.

תשובה: מלבן שהוא בעצם ריבוע בממדים 15×15 מטר, עם שטח מקסימלי של 225 מ"ר.

3. רוצים לגדר מגרש מלבני שאחת מצלעותיו גובלת בקיר קיים (ואינה זקוקה לגדר), כאשר יש בסך הכול 40 מטר גדר לשלוש הצלעות הנותרות. מצאו את הממדים שיביאו לשטח מקסימלי, ומהו השטח המקסימלי.שאלה בהקשר
  1. מגדירים x כאורך כל אחת משתי הצלעות הניצבות לקיר (יש שתיים כאלה). הצלע המקבילה לקיר (שגם היא דורשת גדר) היא y. סך הגדר: 2x+y=40, ולכן y=40-2x, כאשר x∈(0,20).
  2. שטח המגרש: A(x)=x·y=x(40-2x)=40x-2x².
  3. גוזרים: A'(x)=40-4x. פותרים A'(x)=0: x=10 - נקודה יחידה בתחום הפתוח, ובדיקת סימן (חיובי לפני, שלילי אחרי) מראה שזה מקסימום, ולכן גם המקסימום המוחלט בתחום הפתוח.
  4. y=40-2·10=20. שטח מקסימלי: A(10)=10·20=200.

תשובה: הצלעות הניצבות לקיר: 10 מטר כל אחת; הצלע המקבילה לקיר: 20 מטר; שטח מקסימלי: 200 מ"ר.

4. עלות הייצור של x יחידות מוצר נתונה בנוסחה C(x)=x²-40x+500 (בשקלים), כאשר x≥0. מצאו את מספר היחידות שעבורו העלות מינימלית, ומהי העלות המינימלית.שאלה בהקשר
  1. גוזרים: C'(x)=2x-40. פותרים C'(x)=0: x=20.
  2. בודקים סימן: עבור x<20, C'(x)<0 (יורדת); עבור x>20, C'(x)>0 (עולה) - הנגזרת עוברת משלילי לחיובי, ולכן x=20 היא מינימום מקומי.
  3. בודקים גם את קצה התחום x=0: C(0)=500, גדול בהרבה מהערך שיתקבל ב-x=20, כך שהמינימום הפנימי הוא גם המוחלט.
  4. C(20)=20²-40·20+500=400-800+500=100.

תשובה: יש לייצר 20 יחידות כדי למזער את העלות; העלות המינימלית היא 100 שקלים.

5. פונקציה A(x)=-x²+8x מתארת שטח מסוים (בסמ"ר), כאשר x מוגבל לתחום הסגור [0,3]. מצאו את השטח המקסימלי בתחום הנתון, ושימו לב לבדוק היטב את מיקום נקודת הקיצון של הפונקציה ביחס לתחום.שאלה בהקשר
  1. גוזרים: A'(x)=-2x+8. פותרים A'(x)=0: x=4 - אבל x=4 נמצא **מחוץ** לתחום הנתון [0,3]!
  2. כיוון שאין נקודה חשודה לקיצון בתוך התחום [0,3], בודקים את סימן הנגזרת על פני כל התחום: A'(x)=-2x+8; גם בקצה הימני x=3 מתקיים A'(3)=-6+8=2>0 - כלומר הנגזרת חיובית בכל התחום [0,3], והפונקציה עולה לכל אורכו.
  3. מכיוון שהפונקציה עולה על כל התחום, הערך המקסימלי מתקבל בקצה הימני: A(3)=-9+24=15. (לשם השוואה, בקצה השמאלי A(0)=0, המינימום.)

תשובה: השטח המקסימלי בתחום [0,3] הוא 15 סמ"ר, ומתקבל בקצה x=3 - כי נקודת הקיצון האמיתית של הפונקציה (x=4) נמצאת מחוץ לתחום הנתון.

6. בעיית קיצון שבה יש למצוא את הערך הקיצוני של C(x)=√(20-x)+x, כאשר x מייצג כמות (ולכן x≥0 מבחינת הבעיה). מהו תחום ההגדרה הריאלי המלא של הבעיה (לפני גזירה)?תרגול
  1. מתחום ההגדרה של השורש: 20-x≥0, כלומר x≤20.
  2. מהאילוץ הפיזיקלי של הבעיה: x≥0.
  3. תחום ההגדרה הריאלי הוא החיתוך בין שני התנאים.

תשובה: תחום ההגדרה הריאלי: 0≤x≤20.

7. פונקציה A(x)=8√x - x מתארת גודל מסוים, כאשר 0≤x≤25. מצאו את הערך המקסימלי של A, וציינו האם הוא מתקבל בנקודה פנימית או בנקודת קצה.שאלה בהקשר
  1. תחום ההגדרה כבר נתון: [0,25], וגם מבטיח את x≥0 הנדרש לשורש.
  2. A'(x)=8·[1/(2√x)]-1=4/√x-1. פותרים A'(x)=0: 4/√x=1, כלומר √x=4, ולכן x=16 - נקודה פנימית בתחום.
  3. בדיקת סימן: עבור x<16, A'(x)>0 (עולה); עבור x>16, A'(x)<0 (יורדת) - מקסימום מקומי ב-x=16, A(16)=8·4-16=32-16=16.
  4. משווים לערכי הקצוות: A(0)=0, A(25)=8·5-25=40-25=15 - שניהם קטנים מ-16.

תשובה: הערך המקסימלי הוא 16, ומתקבל בנקודה פנימית x=16 (לא בקצה התחום).

לזכירה

  • שלבי פתרון בעיית קיצון: הגדרת משתנה, ניסוח הגודל שממקסמים/ממזערים כפונקציה של משתנה אחד לפי האילוץ הנתון, קביעת תחום הגדרה ריאלי, גזירה ואיתור נקודות חשודות לקיצון, קביעת הקיצון המוחלט, ומענה במונחי הבעיה.
  • בתחום סגור [a,b]: חובה להשוות את ערך הפונקציה בקצוות a ו-b לכל קיצון מקומי פנימי כדי לקבוע את הקיצון המוחלט. בתחום פתוח: אם יש נקודה חשודה יחידה עם החלפת סימן מתאימה, היא גם הקיצון המוחלט.
  • אם נקודת האפס של הנגזרת נמצאת מחוץ לתחום ההגדרה הנתון, בודקים את סימן הנגזרת על פני התחום כולו וקובעים את הקיצון על פי מונוטוניות (עלייה/ירידה) בתוך התחום, כולל השוואה לקצוות אם התחום סגור.
  • סוגי הבעיות: בעיות מספרים (אילוץ על סכום, מחפשים מכפלה קיצונית וכדומה), בעיות גאומטריות במישור (היקף/שטח של מלבן וצורות אחרות), בעיות פונקציות/גרפים (הפונקציה נתונה ישירות), ובעיות כלכליות (עלות/הכנסה/רווח כתלות במספר יחידות, x≥0) - כולל מקרה שבו הפונקציה כוללת שורש.
  • בעיות קיצון עם פונקציית שורש: תחום ההגדרה הריאלי הוא החיתוך בין תחום ההגדרה של השורש (הביטוי מתחתיו אי-שלילי) לבין אילוצי הבעיה; גוזרים לפי [√f(x)]'=f'(x)/(2√f(x)) (ראו שיעור "חשבון דיפרנציאלי של פונקציית שורש") - שאר שלבי הפתרון זהים לבעיית קיצון עם פולינום.
הקודםחשבון דיפרנציאלי של פונקציית שורשהבאהמשתנה