לומדי

טכניקה אלגברית בסיסית

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! פירוק לגורמים זה בעצם ההפך מפתיחת סוגריים - במקום לפרוש מכפלה לסכום, אנחנו לוקחים סכום ומכווצים אותו בחזרה למכפלה. זה אולי נשמע כמו תרגיל טכני, אבל זה אחד הכלים הכי חשובים שתשתמשו בהם השנה: הוא יעזור לכם לפתור משוואות, לצמצם שברים אלגבריים, ובהמשך גם לחקור פונקציות ולעבוד עם נגזרות. הטריק הכי טוב: תמיד אפשר לבדוק את עצמכם על ידי פתיחת הסוגריים בחזרה - אם מקבלים בדיוק את הביטוי שהתחלתם ממנו, פירקתם נכון!

פירוק לגורמים: גורם משותף ונוסחאות הכפל המקוצר

פירוק לגורמים הוא כתיבה מחדש של ביטוי אלגברי כמכפלה של גורמים, במקום כסכום או הפרש של איברים. השיטה הראשונה היא הוצאת גורם משותף: מאתרים את הגורם הגדול ביותר שמשותף לכל האיברים בביטוי, ומוציאים אותו החוצה מחוץ לסוגריים - למשל 6x²+9x = 3x(2x+3). השיטה השנייה מבוססת על נוסחאות הכפל המקוצר, שאותן מכירים מכיתות קודמות ומשתמשים בהן הפוך - כדי לפרק ולא כדי לפתוח סוגריים: הפרש ריבועים a²-b²=(a-b)(a+b), וריבוע של סכום או הפרש (a±b)²=a²±2ab+b². למשל x²-25 = (x-5)(x+5), כי מזהים אותו כהפרש ריבועים עם a=x ו-b=5.

פירוק הטרינום הריבועי

טרינום ריבועי הוא ביטוי מהצורה x²+bx+c (או ax²+bx+c). כדי לפרק אותו לגורמים כאשר המקדם של x² הוא 1, מחפשים שני מספרים שסכומם שווה למקדם של x (כלומר b) ומכפלתם שווה לאיבר החופשי (כלומר c). לדוגמה, בביטוי x²+7x+12 מחפשים שני מספרים שסכומם 7 ומכפלתם 12 - אלו המספרים 3 ו-4, ולכן x²+7x+12=(x+3)(x+4). אם המקדם של x² שונה מ-1, אפשר תמיד לבדוק את הפירוק על ידי פתיחת הסוגריים בחזרה ולוודא שמתקבל הביטוי המקורי.

משתמשים בפירוק לגורמים כדי לפתור משוואות ואי-שוויונות

היתרון המרכזי של פירוק לגורמים הוא בפתרון משוואות ואי-שוויונות: אם מכפלת שני גורמים (או יותר) שווה לאפס, אז לפחות אחד מהגורמים חייב להיות אפס בעצמו (זהו "עקרון המכפלה האפס"). לכן כדי לפתור משוואה כמו x²-5x+6=0, מפרקים תחילה את האגף השמאלי - (x-2)(x-3)=0 - ואז פותרים כל גורם בנפרד: x-2=0 נותן x=2, ו-x-3=0 נותן x=3. חשוב לזכור: עקרון המכפלה האפס עובד רק כאשר האגף השני של המשוואה הוא בדיוק אפס - אם יש מספר אחר באגף הימני, קודם מעבירים הכול לאגף אחד ומשווים לאפס, ורק אז מפרקים.

פעולות בשברים אלגבריים בעזרת פירוק לגורמים

שבר אלגברי הוא שבר שיש בו משתנה במונה, במכנה, או בשניהם - למשל (x²-4)/(x²-x-6). כדי לצמצם שבר כזה, מפרקים את המונה ואת המכנה בנפרד לגורמים, ואז מבטלים גורם משותף שמופיע בשניהם - בדיוק כמו שמצמצמים שבר מספרי רגיל. חשוב מאוד: אסור לצמצם ערך שמאפס את המכנה - קודם קובעים את תחום ההגדרה של השבר (כל הערכים ש**אסור** להציב, כי הם מאפסים את המכנה המקורי), ורק אחר כך מצמצמים.

חוקי חזקות

כדי לעבוד בקלות עם ביטויים אלגבריים, חוזרים על חוקי החזקות: aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ (מכפלת חזקות עם אותה בסיס - מחברים מעריכים), aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ (מנת חזקות עם אותה בסיס - מחסרים מעריכים), (aᵐ)ⁿ=aᵐ·ⁿ (חזקה בחזקה - מכפילים מעריכים), (a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ (חזקה של מכפלה), a⁰=1 (לכל a≠0) ו-a⁻ⁿ=1/aⁿ. החוקים האלה משמשים כל הזמן בפישוט ביטויים אלגבריים לפני שממשיכים לפעולות מורכבות יותר, כמו גזירה.

פעולות בשורשים ריבועיים

גם שורשים ריבועיים מצייתים לחוקים שמאפשרים לפשט אותם. מכפלת שורשים: √a·√b=√(a·b) (עבור a,b≥0), ומנת שורשים: √a/√b=√(a/b) (עבור a≥0, b>0). את שני החוקים האלה אפשר להשתמש בהם בשני כיוונים: גם כדי לחבר שני שורשים למכפלה אחת מתחת לשורש אחד, וגם הפוך - "להוציא גורם מתוך השורש", כלומר לפרק את המספר מתחת לשורש כמכפלה שבה גורם אחד הוא ריבוע שלם, ולהוציא את השורש שלו החוצה. למשל √50=√(25·2)=√25·√2=5√2. הפעולה ההפוכה נקראת "הכנסת גורם מתחת לשורש": 5√2=√25·√2=√(25·2)=√50.

דוגמאות פתורות

פרקו לגורמים באופן מלא את הביטוי 3x²-12.

  1. מחפשים קודם גורם משותף לשני האיברים: ל-3x² ול-12 יש גורם משותף 3.
  2. מוציאים את 3 מחוץ לסוגריים: 3x²-12 = 3(x²-4).
  3. בודקים אם אפשר להמשיך לפרק - x²-4 הוא הפרש ריבועים (x²-2²), ולכן x²-4=(x-2)(x+2).
  4. מקבלים את הפירוק המלא: 3x²-12 = 3(x-2)(x+2).

תשובה: 3x²-12 = 3(x-2)(x+2).

פתרו את המשוואה x²-5x+6=0 באמצעות פירוק לגורמים.

  1. מחפשים שני מספרים שסכומם -5 ומכפלתם 6: אלו המספרים -2 ו-3.
  2. מפרקים לפי המספרים שנמצאו: x²-5x+6 = (x-2)(x-3).
  3. המשוואה הופכת ל-(x-2)(x-3)=0.
  4. לפי עקרון המכפלה האפס, לפחות אחד הגורמים שווה לאפס: x-2=0 נותן x=2, או x-3=0 נותן x=3.

תשובה: פתרונות המשוואה: x=2 או x=3.

צמצמו את השבר האלגברי (x²-4)/(x²-x-6), וקבעו את תחום ההגדרה שלו.

  1. קודם קובעים את תחום ההגדרה: מפרקים את המכנה, x²-x-6=(x-3)(x+2), ולכן המכנה מתאפס עבור x=3 או x=-2. תחום ההגדרה: כל x למעט 3 ו-2-.
  2. מפרקים את המונה: x²-4 הוא הפרש ריבועים, ולכן x²-4=(x-2)(x+2).
  3. כותבים את השבר עם המונה והמכנה המפורקים: [(x-2)(x+2)] / [(x-3)(x+2)].
  4. מצמצמים את הגורם המשותף (x+2), שמותר לצמצם כי כבר קבענו שהוא שונה מאפס: מקבל השבר המצומצם (x-2)/(x-3).

תשובה: השבר המצומצם: (x-2)/(x-3), עבור x≠3 וגם x≠-2 (תחום ההגדרה של הביטוי המקורי).

תרגול

1. פרקו לגורמים: 5x²+15x.תרגול
  1. מאתרים את הגורם המשותף הגדול ביותר לשני האיברים: 5x.
  2. מוציאים אותו מחוץ לסוגריים: 5x²+15x = 5x(x+3).

תשובה: 5x²+15x = 5x(x+3).

2. פרקו לגורמים: x²-16.תרגול
  1. מזהים הפרש ריבועים: x²-16 = x²-4².
  2. משתמשים בנוסחה a²-b²=(a-b)(a+b) עם a=x, b=4.

תשובה: x²-16 = (x-4)(x+4).

3. פרקו לגורמים: x²+7x+12.תרגול
  1. מחפשים שני מספרים שסכומם 7 ומכפלתם 12: אלו 3 ו-4.
  2. כותבים את הפירוק לפיהם.

תשובה: x²+7x+12 = (x+3)(x+4).

4. פשטו: √48 (הוציאו גורם מתוך השורש), וחשבו: √12·√3 (מכפלת שורשים).תרגול
  1. עבור √48: מפרקים 48=16·3, כאשר 16 הוא ריבוע שלם. √48=√16·√3=4√3.
  2. עבור √12·√3: משתמשים בחוק מכפלת השורשים, √12·√3=√(12·3)=√36=6.

תשובה: √48 = 4√3, וגם √12·√3 = 6.

5. פשטו את הביטוי (x³)²·x⁻¹ בעזרת חוקי חזקות.תרגול
  1. מפעילים את חוק "חזקה בחזקה": (x³)²=x³·²=x⁶.
  2. מכפילים בחוק "מכפלת חזקות": x⁶·x⁻¹=x⁶⁺⁽⁻¹⁾=x⁵.

תשובה: (x³)²·x⁻¹ = x⁵.

6. פתרו את המשוואה x²-2x-15=0 באמצעות פירוק לגורמים.שאלה בהקשר
  1. מחפשים שני מספרים שסכומם -2 ומכפלתם -15: אלו -5 ו-3.
  2. מפרקים: x²-2x-15 = (x-5)(x+3), והמשוואה הופכת ל-(x-5)(x+3)=0.
  3. לפי עקרון המכפלה האפס: x-5=0 נותן x=5, או x+3=0 נותן x=-3.

תשובה: פתרונות המשוואה: x=5 או x=-3.

7. צמצמו את השבר האלגברי (x²-1)/(x²+2x+1), וקבעו את תחום ההגדרה שלו.שאלה בהקשר
  1. מפרקים את המכנה: x²+2x+1=(x+1)², ולכן המכנה מתאפס רק עבור x=-1. תחום ההגדרה: כל x למעט -1.
  2. מפרקים את המונה כהפרש ריבועים: x²-1=(x-1)(x+1).
  3. מצמצמים את הגורם המשותף (x+1) מהמונה ומהמכנה - מותר, כי x≠-1: [(x-1)(x+1)] / (x+1)² = (x-1)/(x+1).

תשובה: השבר המצומצם: (x-1)/(x+1), עבור x≠-1.

8. מלבן שאורכו x+3 ורוחבו x-3 (ביחידות אורך). הביעו את שטח המלבן כביטוי מפורק ומצומצם ככל האפשר, וחשבו את השטח עבור x=7.שאלה בהקשר
  1. שטח המלבן הוא מכפלת אורך ברוחב: (x+3)(x-3).
  2. זהו בדיוק הפירוק של הפרש ריבועים, ולכן אפשר לכתוב את המכפלה כביטוי מפותח: (x+3)(x-3)=x²-9.
  3. מציבים x=7 בביטוי המפותח: 7²-9=49-9=40.

תשובה: שטח המלבן הוא x²-9, ועבור x=7 השטח הוא 40 (ביחידות שטח).

לזכירה

  • פירוק לגורמים הוא כתיבת ביטוי כמכפלה: הוצאת גורם משותף, נוסחאות הכפל המקוצר (a²-b²=(a-b)(a+b) ו-(a±b)²=a²±2ab+b²), ופירוק טרינום ריבועי (מחפשים שני מספרים שסכומם המקדם של x ומכפלתם האיבר החופשי).
  • עקרון המכפלה האפס: אם מכפלת גורמים שווה לאפס, לפחות אחד הגורמים שווה לאפס - זה הכלי לפתרון משוואות אחרי פירוק לגורמים (רק כשהאגף השני הוא בדיוק 0).
  • לצמצום שבר אלגברי: מפרקים מונה ומכנה בנפרד, קובעים תחילה את תחום ההגדרה (הערכים שמאפסים את המכנה ואסורים), ואז מבטלים גורם משותף.
  • חוקי חזקות: aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ=aᵐ·ⁿ, (ab)ⁿ=aⁿbⁿ, a⁰=1 (a≠0), a⁻ⁿ=1/aⁿ.
  • חוקי שורשים: √a·√b=√(ab) ו-√a/√b=√(a/b) (עבור a,b≥0) - משמשים גם להוצאת גורם מתוך שורש (למשל √50=5√2) וגם להכנסת גורם מתחת לשורש.
הקודםגאומטריה אנליטיתהבאפתרון משוואות ואי-שוויונות ממעלה ראשונה ושנייה