לומדי

פרופורציה ודמיון משולשים

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! דמיון משולשים הוא בעצם "הגדלה או הקטנה מדויקת" - כל הזוויות נשארות בדיוק אותו דבר, וכל הצלעות מתארכות (או מתקצרות) באותו יחס בדיוק. הטריק שאני הכי אוהב: אם יודעים שיחס הדמיון הוא k, אז כל אורך (צלע, גובה, תיכון, חוצה זווית, היקף) מוכפל ב-k, אבל שטח מוכפל ב-k² - כי שטח "תופס" שני כיוונים בבת אחת. וזכרו את משפט חוצה הזווית: הוא בונה גשר בין זווית לבין יחס אורכים - כלי שתשתמשו בו המון.

משפט תאלס וההופכי שלו

משפט תאלס: אם ישר מקביל לאחת מצלעות המשולש וחותך את שתי הצלעות האחרות (או את המשכיהן), הוא מחלק אותן ביחס שווה. כלומר במשולש ABC, אם DE מקביל ל-BC (כאשר D על AB ו-E על AC), אז AD/DB=AE/EC. המשפט ההפוך גם נכון: אם ישר חותך שתי צלעות של משולש ומחלק אותן ביחס שווה, הוא בהכרח מקביל לצלע השלישית. כלי אלגברי שימושי לעבודה עם יחסים: מתוך a/b=c/d אפשר להסיק (a+b)/b=(c+d)/d (ומכאן, למשל, קל לעבור בין AD/DB=AE/EC לבין AB/DB=AC/EC).

דמיון משולשים

שני משולשים דומים אם הזוויות המתאימות ביניהם שוות, ואז גם הצלעות המתאימות פרופורציוניות (ביחס דמיון קבוע k). כדי להוכיח שמשולשים דומים, אפשר להסתפק באחד מכמה תנאים מספיקים: שתי זוויות מתאימות שוות (זווית-זווית), שתי צלעות מתאימות פרופורציוניות והזווית שביניהן שווה (צלע-זווית-צלע), או שלוש צלעות מתאימות פרופורציוניות (צלע-צלע-צלע).

משפט חוצה הזווית הפנימית במשולש

משפט: חוצה זווית פנימית במשולש, היוצא מקודקוד ומגיע לצלע שמולו, מחלק את אותה צלע ביחס השווה ליחס שתי הצלעות הסמוכות לקודקוד. כלומר במשולש ABC, אם AD חוצה את הזווית ב-A (D על BC), אז BD/DC=AB/AC.

יחסים בין אלמנטים מתאימים במשולשים דומים

אם שני משולשים דומים ביחס k (כלומר צלעות המשולש הגדול פי k מהצלעות המתאימות במשולש הקטן), אז אותו יחס k חוזר על עצמו גם בין: ההיקפים, התיכונים המתאימים, חוצי הזוויות המתאימים, הגבהים המתאימים, ורדיוסי המעגלים החוסמים והחסומים המתאימים. לעומת זאת, היחס בין השטחים של שני המשולשים (או המצולעים) הדומים שווה ל-k בריבוע (k²) - כי שטח הוא מכפלה של שני אורכים.

בניות בעזרת יחס

שתי בניות בסיסיות המבוססות על יחסים: חלוקת קטע נתון ל-n חלקים שווים, וחלוקת קטע נתון ביחס נתון (לא בהכרח שווה) בין שני חלקיו.

דוגמאות פתורות

במשולש ABC, הקטע DE מקביל לצלע BC (D על AB, E על AC). נתון AD=4, DB=6, AC=15. מצאו את AE.

  1. לפי משפט תאלס: AD/DB=AE/EC.
  2. מציבים: 4/6=AE/EC, כלומר AE/EC=2/3.
  3. גם ידוע AE+EC=AC=15.
  4. אם AE=2t ו-EC=3t, אז 2t+3t=15 ⟹ t=3, ולכן AE=6.

תשובה: AE=6 (ו-EC=9, בדיקה: 4/6=6/9=2/3 - מתאים).

משולש ABC דומה למשולש DEF ביחס דמיון k=3/2 (כלומר DEF גדול פי 1.5 מ-ABC). היקף ABC הוא 20 ס"מ, ושטחו 16 סמ"ר. מצאו את היקף DEF ואת שטחו.

  1. היקפים דומים ביחס k: היקף DEF=20×(3/2)=30 ס"מ.
  2. שטחים דומים ביחס k²: שטח DEF=16×(3/2)²=16×9/4=36 סמ"ר.

תשובה: היקף DEF=30 ס"מ, שטח DEF=36 סמ"ר.

במשולש ABC, AD חוצה את הזווית ב-A (D על BC). נתון AB=8, AC=12, BC=15. מצאו את BD ו-DC.

  1. לפי משפט חוצה הזווית: BD/DC=AB/AC=8/12=2/3.
  2. גם ידוע BD+DC=BC=15.
  3. אם BD=2t, DC=3t, אז 2t+3t=15 ⟹ t=3.
  4. לכן BD=6, DC=9.

תשובה: BD=6, DC=9.

תרגול

1. במשולש ABC, DE מקביל ל-BC. נתון AD=3, DB=5, AC=16. מצאו את AE.תרגול
  1. לפי תאלס: AD/DB=AE/EC=3/5.
  2. AE+EC=16. אם AE=3t, EC=5t: 8t=16 ⟹ t=2.
  3. AE=3×2=6.

תשובה: AE=6

2. שני משולשים דומים ביחס k=2. אורך צלע במשולש הקטן הוא 7 ס"מ. מהו אורך הצלע המתאימה במשולש הגדול?תרגול
  1. צלעות דומות מוכפלות ביחס k.
  2. 7×2=14.

תשובה: 14 ס"מ

3. שני מצולעים דומים ביחס k=5/3. שטח המצולע הקטן הוא 27 סמ"ר. מהו שטח המצולע הגדול?תרגול
  1. שטחים דומים מוכפלים ב-k².
  2. 27×(5/3)²=27×25/9=75.

תשובה: 75 סמ"ר

4. במשולש ABC, AD חוצה את הזווית ב-A. נתון AB=6, AC=9, BC=10. מצאו את BD ו-DC.תרגול
  1. BD/DC=AB/AC=6/9=2/3.
  2. BD+DC=10. אם BD=2t, DC=3t: 5t=10 ⟹ t=2.
  3. BD=4, DC=6.

תשובה: BD=4, DC=6

5. שני משולשים דומים ביחס k=4. הגובה במשולש הקטן הוא 5 ס"מ. מהו הגובה המתאים במשולש הגדול?שאלה בהקשר
  1. גבהים מתאימים במשולשים דומים מוכפלים ביחס k, בדיוק כמו צלעות.
  2. 5×4=20.

תשובה: 20 ס"מ

6. משולש קטן דומה למשולש גדול ביחס k=1/2. רדיוס המעגל החוסם את המשולש הגדול הוא 10 ס"מ. מהו רדיוס המעגל החוסם את המשולש הקטן?שאלה בהקשר
  1. רדיוסי המעגלים החוסמים דומים ביחס הדמיון, בדיוק כמו כל אורך אחר במשולשים.
  2. 10×(1/2)=5.

תשובה: 5 ס"מ

7. שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים חותכים אחרים. על הישר הראשון נוצרים קטעים באורך 4 ו-6. על הישר השני, הקטע המתאים לקטע הראשון הוא 10. מצאו את הקטע המתאים לקטע השני.שאלה בהקשר
  1. ישרים מקבילים חותכים שני חותכים ביחס שווה (הכללה של משפט תאלס).
  2. היחס על הישר הראשון: 4/6. על הישר השני: 10/x, כאשר x הקטע המבוקש.
  3. 4/6=10/x ⟹ x=10×6/4=15.

תשובה: הקטע השני הוא 15.

8. במשולש, שתי הצלעות היוצאות מקודקוד מסוים הן 10 ו-15, והצלע שמולו (הנחצית על ידי חוצה הזווית מאותו קודקוד) היא 20. מצאו לאילו שני חלקים מתחלקת הצלע הנגדית.שאלה בהקשר
  1. לפי משפט חוצה הזווית, היחס בין שני החלקים שווה ליחס בין הצלעות הסמוכות: 10/15=2/3.
  2. סכום החלקים=20. אם החלקים 2t,3t: 5t=20 ⟹ t=4.
  3. החלקים: 8 ו-12.

תשובה: הצלע מתחלקת לחלקים באורך 8 ו-12.

לזכירה

  • משפט תאלס: ישר מקביל לצלע משולש מחלק את שתי הצלעות האחרות באותו יחס. ההפך גם נכון.
  • דמיון משולשים: זוויות מתאימות שוות, צלעות מתאימות פרופורציוניות. תנאים מספיקים: זווית-זווית, צלע-זווית-צלע, צלע-צלע-צלע.
  • משפט חוצה הזווית הפנימית: חוצה זווית מקודקוד מחלק את הצלע הנגדית ביחס השווה ליחס שתי הצלעות הסמוכות לאותו קודקוד.
  • במשולשים (או מצולעים) דומים ביחס k: היקפים, תיכונים, חוצי זוויות, גבהים ורדיוסי מעגלים חוסמים/חסומים מוכפלים ב-k. שטחים מוכפלים ב-k².
הקודםהמעגלהבאפונקציות טריגונומטריות