מבוא לאנליזה של פונקציות
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! בפרק הזה אנחנו לומדים להסתכל על פונקציה ולזהות מיד "מי המשפחה שלה" - האם היא דומה ל-x² (זוגית, קערה), ל-x³ (אי-זוגית), ל-1/x (עם אסימפטוטות), או ל-√x. ברגע שמזהים את המשפחה, כל השינויים (הזזה, מתיחה, שיקוף) הופכים לצפויים - כי הם עובדים אותו דבר בכל המשפחות. וזכרו את הטריק עם השורש: √(משהו בריבוע) תמיד ייתן ערך מוחלט, גם אם המספר המקורי היה שלילי!
פונקציות חזקה: זוגיות ואי-זוגיות
פונקציית חזקה היא פונקציה מהצורה f(x)=xⁿ. אם n זוגי (כמו x², x⁴), הפונקציה זוגית: f(-x)=f(x), והגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה-y. אם n אי-זוגי (כמו x³, x⁵), הפונקציה אי-זוגית: f(-x)=-f(x), והגרף שלה סימטרי ביחס לראשית הצירים (סיבוב של 180°). ככל שהחזקה n גדולה יותר, כך הגרף "שטוח" יותר קרוב לראשית ו"תלול" יותר הרחק ממנה - אבל הזוגיות של n קובעת את הצורה הכללית: פונקציות עם n זוגי דומות בצורתן ל-x² (קערה), ופונקציות עם n אי-זוגי דומות בצורתן ל-x³ (עולה מכל צד).
משפחות פונקציות חדשות: |x|, √x, 1/x, 1/x²
מלבד פונקציות פולינומיאליות, מכירים כמה משפחות פונקציה חשובות נוספות. f(x)=|x| (ערך מוחלט) - זוגית, הגרף שלה בצורת V. f(x)=√x - מוגדרת רק עבור x≥0, לא זוגית ולא אי-זוגית (כי תחום ההגדרה לא סימטרי ביחס לראשית). f(x)=1/x - אי-זוגית, מוגדרת לכל x≠0, עם אסימפטוטה אנכית בציר ה-y (x=0) ואסימפטוטה אופקית בציר ה-x (y=0) - הפונקציה שואפת אליהן בלי לגעת בהן. f(x)=1/x² - זוגית, מוגדרת לכל x≠0, כל הערכים שלה חיוביים, עם אותן שתי אסימפטוטות.
פעולות שמשפיעות על הגרף: שיקוף, הזזה ומתיחה
שתי פעולות שיקוף בסיסיות: g(x)=-f(x) משקפת את הגרף ביחס לציר ה-x (כל y הופך לנגדי שלו). g(x)=f(-x) משקפת את הגרף ביחס לציר ה-y (כל x מוחלף בנגדי שלו). מעבר מפונקציה בסיסית לצורתה הכללית נעשה בעזרת הזזה ומתיחה: f(x)=a√(x-p)+k, f(x)=a/(x-p)+k, f(x)=a(x-p)ⁿ+k - בכל אחת מהן p מזיז אופקית, k מזיז אנכית, ו-a קובע מתיחה/כיווץ (ואם a שלילי, גם שיקוף ביחס לציר ה-x).
פעולות על פונקציות: סכום, הפרש, מכפלה ומנה
אפשר לבנות פונקציה חדשה מפונקציות קיימות באמצעות פעולות: סכום (f+g)(x)=f(x)+g(x), הפרש, מכפלה (f×g)(x)=f(x)×g(x), ומנה (f/g)(x)=f(x)/g(x) - כאשר תחום ההגדרה של המנה הוא בכל מקום שבו g(x)≠0. מקרה חשוב במיוחד הוא g(x)=1/f(x): בכל מקום שבו f מתאפסת (שורש של f), הפונקציה g אינה מוגדרת ונוצרת שם אסימפטוטה אנכית - כלומר יש קשר ישיר בין השורשים של f לבין האסימפטוטות של 1/f.
הרכבת פונקציות ופונקציה הופכית
הרכבת פונקציות (f∘g)(x)=f(g(x)) פירושה: קודם מפעילים את g על x, ואז מפעילים את f על התוצאה. פונקציה הופכית f⁻¹ היא פונקציה ש"מבטלת" את הפעולה של f: אם f(a)=b אז f⁻¹(b)=a, ולכן (f∘f⁻¹)(x)=x. לא לכל פונקציה יש הופכית שהיא בעצמה פונקציה - צריך שכל ערך y יתקבל מערך x יחיד (חד-חד-ערכיות). הגרף של f⁻¹ הוא שיקוף הגרף של f ביחס לישר y=x. הדוגמה המרכזית: √x היא הפונקציה ההופכית של x² כשמצמצמים את תחום ההגדרה ל-x≥0 (כדי שתהיה חד-חד-ערכית). שימו לב להבדל החשוב: √(x²)=|x| ולא x - כי השורש תמיד מחזיר ערך אי-שלילי, בעוד ש-x עצמו יכול להיות שלילי.
דוגמאות פתורות
קבעו אם f(x)=x⁵ זוגית, אי-זוגית, או אף אחת מהן.
- בודקים f(-x): f(-x)=(-x)⁵=-x⁵.
- משווים ל-f(x): מקבלים f(-x)=-x⁵=-f(x).
- זהו בדיוק תנאי האי-זוגיות.
תשובה: f(x)=x⁵ היא פונקציה אי-זוגית - הגרף שלה סימטרי ביחס לראשית הצירים.
מצאו את הפונקציה ההופכית של f(x)=2x+3, ובדקו את התשובה.
- כותבים y=2x+3 ומחליפים תפקידים בין x ל-y: x=2y+3.
- פותרים עבור y: y=(x-3)/2. כלומר f⁻¹(x)=(x-3)/2.
- בדיקה: f(f⁻¹(x))=2×[(x-3)/2]+3=(x-3)+3=x - מתאים.
תשובה: f⁻¹(x)=(x-3)/2
הראו כי √(x²)=|x| עבור x=-3, וזהו את התמונה (graph) של g(x)=1/(x-2)+1 כהזזה של f(x)=1/x.
- מציבים x=-3: √((-3)²)=√9=3.
- בהשוואה: |-3|=3 - התוצאות שוות, כפי שהזהות √(x²)=|x| טוענת (ולא -3, כי השורש לא מחזיר ערך שלילי).
- הפונקציה g(x)=1/(x-2)+1 מתקבלת מ-f(x)=1/x על ידי הזזה 2 יחידות ימינה ו-1 יחידה למעלה (p=2, k=1).
- לכן לגרף החדש יש אסימפטוטה אנכית בישר x=2 (במקום x=0) ואסימפטוטה אופקית בישר y=1 (במקום y=0).
תשובה: √((-3)²)=3=|-3| - הזהות מתקיימת. גרף g הוא הזזת גרף f=1/x ב-2 ימינה ו-1 למעלה, עם אסימפטוטות x=2, y=1.
תרגול
1. קבעו אם f(x)=x⁴ זוגית, אי-זוגית, או אף אחת.תרגול
- f(-x)=(-x)⁴=x⁴.
- זה שווה בדיוק ל-f(x).
תשובה: f(x)=x⁴ היא פונקציה זוגית.
2. קבעו אם f(x)=x³-x זוגית, אי-זוגית, או אף אחת.תרגול
- f(-x)=(-x)³-(-x)=-x³+x=-(x³-x).
- זה שווה בדיוק ל-f(-x)=-f(x).
תשובה: f(x)=x³-x היא פונקציה אי-זוגית.
3. מצאו את הפונקציה ההופכית של f(x)=3x-6.תרגול
- כותבים y=3x-6, מחליפים: x=3y-6.
- פותרים: y=(x+6)/3.
תשובה: f⁻¹(x)=(x+6)/3
4. תארו את ההזזה שהופכת את f(x)=x² ל-g(x)=(x-3)²+5. מהי קודקוד הפרבולה החדשה?תרגול
- הביטוי (x-3) מזיז את הגרף 3 יחידות ימינה.
- ה-+5 שבחוץ מזיז את הגרף 5 יחידות למעלה.
- קודקוד x² נמצא ב-(0,0), ולכן קודקוד g נמצא ב-(3,5).
תשובה: הזזה של 3 ימינה ו-5 למעלה. הקודקוד החדש הוא (3,5).
5. נתונה f(x)=x²-4 (ששורשיה x=2 ו-x=-2). תארו את ההתנהגות של g(x)=1/f(x) בסביבת השורשים האלה.שאלה בהקשר
- כאשר x מתקרב ל-2 או ל-2-, f(x) מתקרב ל-0.
- לכן g(x)=1/f(x) שואפת לערכים גדולים מאוד (בערך מוחלט) - נוצרות אסימפטוטות אנכיות.
- בדיוק בנקודות שבהן f מתאפסת, g אינה מוגדרת כלל.
תשובה: ל-g יש אסימפטוטות אנכיות בדיוק בנקודות x=2 ו-x=-2, כי אלה השורשים של f.
6. קבעו אם f(x)=|x|+x² זוגית, אי-זוגית, או אף אחת.שאלה בהקשר
- f(-x)=|-x|+(-x)²=|x|+x².
- זה שווה בדיוק ל-f(x).
תשובה: f(x)=|x|+x² היא פונקציה זוגית.
7. נתונות f(x)=x² ו-g(x)=x+1. חשבו את (f∘g)(x), ומצאו את הערך שלה כאשר x=2.שאלה בהקשר
- (f∘g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)².
- מציבים x=2: (2+1)²=3²=9.
תשובה: (f∘g)(x)=(x+1)², ועבור x=2 מתקבל 9.
8. נתונה f(x)=√(x-4), עבור x≥4. מצאו את הפונקציה ההופכית שלה.שאלה בהקשר
- כותבים y=√(x-4), עם y≥0.
- מחליפים תפקידים: x=√(y-4)... הזהירות: נכון יותר להעלות בריבוע ישירות מהמשוואה y=√(x-4): y²=x-4, כלומר x=y²+4.
- מחליפים תפקידים בין x ל-y בביטוי הסופי: f⁻¹(x)=x²+4, כאשר x≥0 (כי זה תחום הערכים של הפונקציה המקורית).
תשובה: f⁻¹(x)=x²+4, עבור x≥0.
לזכירה
- פונקציית חזקה f(x)=xⁿ: אם n זוגי - הפונקציה זוגית (סימטרית לציר y); אם n אי-זוגי - הפונקציה אי-זוגית (סימטרית לראשית).
- משפחות פונקציה חדשות: |x| (זוגית, צורת V), √x (מוגדרת רק ל-x≥0), 1/x (אי-זוגית, שתי אסימפטוטות), 1/x² (זוגית, שתי אסימפטוטות).
- שיקוף ביחס לציר x: g(x)=-f(x). שיקוף ביחס לציר y: g(x)=f(-x). הזזה/מתיחה: f(x)=a·(ביטוי בסיסי של x-p)+k.
- מנה g(x)=1/f(x): בכל שורש של f נוצרת אסימפטוטה אנכית של g.
- פונקציה הופכית f⁻¹ "מבטלת" את f, קיימת רק כשהפונקציה חד-חד-ערכית, והגרף שלה הוא שיקוף גרף f ביחס לישר y=x.
- הזהות החשובה: √(x²)=|x| (לא x) - כי השורש הריבועי תמיד מחזיר ערך אי-שלילי.