לומדי

חשבון דיפרנציאלי של פונקציות פולינומיאליות

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! חשבון דיפרנציאלי נשמע מפחיד, אבל הרעיון שמאחוריו פשוט: הנגזרת היא פשוט "מד שיפוע" שמספר לכם, בכל נקודה על גרף, לאן הגרף פונה באותו רגע - עולה, יורד, או שטוח. ברגע שיש לכם את כללי הגזירה (הם נוסחאות קבועות, לא צריך להמציא כלום), אתם יכולים לגזור כל פולינום, למצוא איפה הנגזרת מתאפסת, ולדעת בדיוק איפה הגרף "מפנה כיוון" - זו בדיוק נקודת קיצון. תזכרו: אתם לא צריכים לצייר את כל הגרף כדי לדעת איך הוא נראה - הנגזרת נותנת לכם את כל המידע הזה בלי לצייר בכלל!

קצב שינוי אחיד וקצב שינוי משתנה

פונקציה קווית (y=mx+n) משתנה בקצב **אחיד** - בכל תוספת שווה ל-x מתקבלת אותה תוספת ל-y, בדיוק זו המשמעות של השיפוע m. לעומת זאת, פונקציה שאינה קווית (כמו פונקציה ריבועית או פולינומיאלית אחרת) משתנה בקצב **משתנה**: הקצב שבו y משתנה תלוי בנקודה שבה נמצאים על הגרף - באזור מסוים הגרף עשוי לעלות במהירות, ובאזור אחר לאט יותר. חשבון דיפרנציאלי הוא הכלי המתמטי שמאפשר לתאר בדיוק את קצב השינוי הרגעי בכל נקודה על גרף - גם כשהקצב הזה משתנה כל הזמן.

הנגזרת: הגדרה בנקודה ומשמעות גאומטרית

הנגזרת של פונקציה f בנקודה x=a, שמסומנת f'(a), מודדת את קצב השינוי הרגעי של הפונקציה באותה נקודה - במילים אחרות, את **שיפוע המשיק** לגרף הפונקציה בנקודה (a, f(a)). המשיק הוא הישר שנוגע בגרף בדיוק בנקודה אחת ומתלכד איתו בכיוון שלו שם. באופן אינטואיטיבי, אפשר לחשוב על המשיק כגבול של סדרת ישרים חותכים (secant lines) שמתקרבים יותר ויותר לנקודה - הטיפול המדויק במושג הגבול ברמה של 4 יחידות הוא אינטואיטיבי בלבד, ומוצג לראשונה כאן, יחד עם מושג הנגזרת.

כללי גזירה

כדי לחשב נגזרות בפועל, משתמשים בכללים הבאים: נגזרת של חזקה, (xᵏ)'=k·xᵏ⁻¹ (k טבעי או אפס). נגזרת של סכום או הפרש: [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x) - גוזרים כל איבר בנפרד. נגזרת של כפל בקבוע: [c·f(x)]'=c·f'(x) - הקבוע "יוצא" מהגזירה. נגזרת של מכפלת שתי פונקציות (כלל המכפלה): [f(x)·g(x)]'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x). נגזרת של פונקציה מורכבת (כלל השרשרת, בשני שלבים בלבד ברמה זו), למשל h(x)=[f(x)]ⁿ: h'(x)=n·[f(x)]ⁿ⁻¹·f'(x) - גוזרים קודם את החזקה "החיצונית", ומכפילים בנגזרת הביטוי הפנימי.

שימושי הנגזרת: שיפוע ומשוואת משיק

הנגזרת בנקודה, f'(a), היא בדיוק שיפוע המשיק לגרף בנקודה (a, f(a)). ברגע שיודעים את השיפוע ואת נקודת ההשקה, אפשר לכתוב את **משוואת המשיק** באמצעות נוסחת ישר שעובר דרך נקודה עם שיפוע נתון: y-f(a) = f'(a)·(x-a). כלומר: מחשבים את f(a) (גובה הנקודה), מחשבים את f'(a) (שיפוע המשיק), ומציבים את שניהם בנוסחה.

חקירת פונקציה פולינומיאלית באמצעות הנגזרת

"לחקור" פונקציה אומר למצוא את כל התכונות החשובות שלה כדי לתאר (ולשרטט סקיצה של) הגרף שלה: תחום ההגדרה (עבור פונקציה פולינומיאלית זה תמיד כל הממשיים), זוגיות/אי-זוגיות, נקודות חיתוך עם הצירים, ותחומי עלייה וירידה. את תחומי העלייה והירידה קובעים לפי **סימן הנגזרת**: היכן ש-f'(x)>0 הפונקציה עולה, והיכן ש-f'(x)<0 היא יורדת. נקודה שבה f'(x)=0 (ונמצאת בתוך תחום ההגדרה) נקראת נקודה חשודה לקיצון; אם הנגזרת מחליפה שם סימן, זוהי אכן נקודת קיצון **מקומית** - מקסימום מקומי אם הנגזרת עוברת מחיובי לשלילי, ומינימום מקומי אם היא עוברת משלילי לחיובי. בפונקציה פולינומיאלית שתחום הגדרתה כל הממשיים, בודקים גם את ההתנהגות ב-∞± כדי לקבוע האם קיצון מקומי הוא גם קיצון **מוחלט** (הערך הגדול/קטן ביותר על פני כל תחום ההגדרה) - ואם תחום ההגדרה סגור בקצה, בודקים קיצון גם שם. **הערה חשובה: מושג הנגזרת השנייה אינו בתכנית הלימודים ברמה של 4 יחידות - סיווג נקודות הקיצון נעשה אך ורק על ידי בדיקת החלפת סימן הנגזרת הראשונה.**

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת שלה

יש קשר הדוק בין הגרף של f לגרף של f': בכל תחום שבו f עולה, הגרף של f' נמצא מעל ציר ה-x (חיובי); בכל תחום שבו f יורדת, הגרף של f' נמצא מתחת לציר ה-x (שלילי); ובכל נקודת קיצון מקומית של f, הגרף של f' חוצה את ציר ה-x (מתאפס). כלומר, נקודות האפס של f' הן בדיוק המועמדות לנקודות הקיצון של f, וסימן f' בכל תחום מספר לנו אם f עולה או יורדת שם - בלי צורך לחשב אף נקודה בפועל על גרף f עצמו.

דוגמאות פתורות

נתונה הפונקציה f(x)=3x⁴-2x³+5x-7. א. מצאו את f'(x). ב. מצאו את שיפוע המשיק בנקודה x=1. ג. מצאו את משוואת המשיק בנקודה x=1.

  1. סעיף א: גוזרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה, תוך שמירה על הסכום וההפרש: f'(x) = 3·4x³ - 2·3x² + 5·1 - 0 = 12x³-6x²+5.
  2. סעיף ב: מציבים x=1 בנגזרת: f'(1) = 12·1³-6·1²+5 = 12-6+5 = 11. זהו שיפוע המשיק בנקודה x=1.
  3. סעיף ג: מחשבים את f(1) (גובה נקודת ההשקה): f(1) = 3·1-2·1+5·1-7 = 3-2+5-7 = -1.
  4. מציבים בנוסחת משוואת המשיק, y-f(a)=f'(a)(x-a) עם a=1: y-(-1) = 11(x-1), כלומר y+1=11x-11, ולכן y=11x-12.

תשובה: א. f'(x)=12x³-6x²+5. ב. שיפוע המשיק ב-x=1 הוא 11. ג. משוואת המשיק: y=11x-12.

נתונה הפונקציה f(x)=(x²+1)(x-3). מצאו את f'(x) בעזרת כלל המכפלה.

  1. מזהים שתי פונקציות: u(x)=x²+1 (עם u'(x)=2x), ו-v(x)=x-3 (עם v'(x)=1).
  2. מפעילים את כלל המכפלה: f'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x) = 2x·(x-3) + (x²+1)·1.
  3. פותחים סוגריים: 2x²-6x + x²+1.
  4. מאחדים איברים דומים: 3x²-6x+1.

תשובה: f'(x) = 3x²-6x+1.

חקרו את הפונקציה f(x)=x³-3x: מצאו תחום הגדרה, זוגיות, נקודות חיתוך עם הצירים, תחומי עלייה/ירידה, ונקודות קיצון.

  1. תחום הגדרה: f היא פולינום, ולכן מוגדרת לכל x ממשי.
  2. זוגיות: f(-x) = (-x)³-3(-x) = -x³+3x = -(x³-3x) = -f(x), ולכן f אי-זוגית (הגרף סימטרי ביחס לראשית).
  3. נקודות חיתוך עם ציר ה-x: פותרים x³-3x=0, כלומר x(x²-3)=0, ומקבלים x=0, x=√3, x=-√3. (חיתוך עם ציר y: תמיד בנקודה (0,f(0))=(0,0).)
  4. נגזרת: f'(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x-1)(x+1). נקודות חשודות לקיצון: f'(x)=0 עבור x=1 או x=-1.
  5. בדיקת סימן הנגזרת בשלושת התחומים: עבור x<-1, f'(x)>0 (עולה). עבור -1<x<1, f'(x)<0 (יורדת). עבור x>1, f'(x)>0 (עולה).
  6. מכיוון שהנגזרת עוברת מחיובי לשלילי ב-x=-1, זוהי נקודת מקסימום מקומי: f(-1)=(-1)³-3(-1)=-1+3=2, כלומר (-1,2). ומכיוון שהיא עוברת משלילי לחיובי ב-x=1, זוהי נקודת מינימום מקומי: f(1)=1-3=-2, כלומר (1,-2).
  7. מכיוון שתחום ההגדרה הוא כל הממשיים וכש-x→∞ מתקיים f(x)→∞ וכש-x→-∞ מתקיים f(x)→-∞, אין לפונקציה קיצון מוחלט (מקסימום/מינימום מוחלט) - רק הקיצונים המקומיים שנמצאו.

תשובה: f אי-זוגית, מוגדרת לכל x, חותכת את ציר ה-x ב-0,√3,-√3; עולה ב-(-∞,-1) וב-(1,∞), יורדת ב-(-1,1); מקסימום מקומי בנקודה (-1,2), מינימום מקומי בנקודה (1,-2); אין קיצון מוחלט.

תרגול

1. נתונה f(x)=5x³-4x²+x-9. מצאו את f'(x).תרגול
  1. גוזרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: (5x³)'=15x², (-4x²)'=-8x, (x)'=1, (-9)'=0.
  2. מחברים: f'(x)=15x²-8x+1.

תשובה: f'(x)=15x²-8x+1.

2. נתונה f(x)=(2x-1)(x²+3). מצאו את f'(x) באמצעות כלל המכפלה, ובדקו את התוצאה על ידי פתיחת סוגריים וגזירה ישירה.תרגול
  1. כלל המכפלה: u=2x-1 (u'=2), v=x²+3 (v'=2x). f'(x)=2·(x²+3)+(2x-1)·2x = 2x²+6+4x²-2x = 6x²-2x+6.
  2. בדיקה: פותחים סוגריים תחילה: (2x-1)(x²+3)=2x³-x²+6x-3. גוזרים ישירות: 6x²-2x+6 - זהה לתוצאה הקודמת.

תשובה: f'(x)=6x²-2x+6.

3. נתונה f(x)=(x²+5)³. מצאו את f'(x) באמצעות כלל השרשרת (נגזרת של פונקציה מורכבת).תרגול
  1. מזהים פונקציה חיצונית u³ ופנימית u=x²+5, עם u'=2x.
  2. כלל השרשרת: f'(x)=3(x²+5)²·(2x) = 6x(x²+5)².

תשובה: f'(x)=6x(x²+5)².

4. נתונה f(x)=x²-4x+1. מצאו את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה x=3.תרגול
  1. גוזרים: f'(x)=2x-4.
  2. מציבים x=3: f'(3)=2·3-4=6-4=2.

תשובה: שיפוע המשיק ב-x=3 הוא 2.

5. חקרו את הפונקציה f(x)=x³-3x²: מצאו נקודות חיתוך עם ציר ה-x, תחומי עלייה/ירידה, ונקודות קיצון מקומיות.שאלה בהקשר
  1. נקודות חיתוך עם ציר ה-x: x³-3x²=x²(x-3)=0, ולכן x=0 (כפול) או x=3.
  2. נגזרת: f'(x)=3x²-6x=3x(x-2). נקודות חשודות לקיצון: x=0, x=2.
  3. בדיקת סימן: עבור x<0, f'(x)>0 (עולה - למשל בדיקה ב-x=-1: 3(-1)(-3)=9>0). עבור 0<x<2, f'(x)<0 (יורדת - בדיקה ב-x=1: 3(1)(-1)=-3<0). עבור x>2, f'(x)>0 (עולה - בדיקה ב-x=3: 3(3)(1)=9>0).
  4. ב-x=0 הנגזרת עוברת מחיובי לשלילי: מקסימום מקומי, f(0)=0, כלומר (0,0). ב-x=2 הנגזרת עוברת משלילי לחיובי: מינימום מקומי, f(2)=8-12=-4, כלומר (2,-4).

תשובה: חותכת את ציר x ב-x=0 (נקודת מגע כפולה) וב-x=3; עולה ב-(-∞,0) וב-(2,∞), יורדת ב-(0,2); מקסימום מקומי (0,0), מינימום מקומי (2,-4).

6. נתונה f(x)=x²+2x-3. מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1.שאלה בהקשר
  1. מחשבים את f(1): 1+2-3=0. נקודת ההשקה: (1,0).
  2. גוזרים: f'(x)=2x+2, ומציבים x=1: f'(1)=2·1+2=4 - זהו שיפוע המשיק.
  3. מציבים בנוסחת משוואת המשיק: y-0=4(x-1), כלומר y=4x-4.

תשובה: משוואת המשיק: y=4x-4.

7. נתונה הפונקציה f(x)=x³+ax, כאשר a פרמטר. ידוע שיש לפונקציה נקודת קיצון בנקודה x=2. מצאו את ערך הפרמטר a.שאלה בהקשר
  1. גוזרים: f'(x)=3x²+a.
  2. בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת: f'(2)=0, כלומר 3·2²+a=0.
  3. פותרים: 12+a=0, ולכן a=-12.

תשובה: a=-12.

לזכירה

  • הנגזרת f'(a) מודדת קצב שינוי רגעי - היא שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה (a,f(a)). מושג הגבול ברמה זו אינטואיטיבי בלבד.
  • כללי גזירה: (xᵏ)'=kxᵏ⁻¹; [f±g]'=f'±g'; [cf]'=cf'; כלל המכפלה [fg]'=f'g+fg'; כלל השרשרת (שני שלבים בלבד) [f(x)ⁿ]'=n[f(x)]ⁿ⁻¹·f'(x).
  • משוואת משיק בנקודה x=a: y-f(a)=f'(a)(x-a).
  • סימן הנגזרת קובע עלייה/ירידה: f'>0 - עולה, f'<0 - יורדת. נקודה שבה f' מתאפסת ומחליפה סימן היא נקודת קיצון מקומית (מקסימום אם +ל-, מינימום אם -ל+). מושג הנגזרת השנייה מחוץ לתכנית - סיווג קיצון רק בבדיקת סימן f'.
  • קיצון מוחלט נקבע בהתחשב בהתנהגות בקצוות תחום ההגדרה (כולל ∞± או קצה סגור). הגרף של f' חיובי היכן ש-f עולה, שלילי היכן ש-f יורדת, ומתאפס בדיוק בנקודות הקיצון המקומיות של f.
הקודםטרנספורמציות של פונקציותהבאחשבון דיפרנציאלי של פונקציית שורש