גאומטריה אנליטית
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! גאומטריה אנליטית היא בעצם גשר: היא לוקחת שאלה על צורה (משולש, מרובע, ישר) ומתרגמת אותה למספרים ומשוואות שאתם כבר יודעים לפתור. שיפוע הוא בעצם 'מד תלילות' - הוא אומר לכם בדיוק כמה y משתנה לכל צעד אחד ימינה ב-x. וברגע שיש לכם שני שיפועים, אתם כבר יודעים המון על היחס בין שני ישרים: אם הם שווים - הישרים מקבילים (או אפילו אותו ישר); ואם המכפלה שלהם היא בדיוק 1-, הישרים ניצבים. הכלל הכי חשוב: תמיד להשאיר את התשובה מדויקת - שורש נשאר שורש, ולא הופך למספר עשרוני מעוגל.
נקודות במערכת צירים
מערכת הצירים המישורית בנויה משני צירים מאונכים - ציר ה-x (האופקי) וציר ה-y (האנכי) - הנחתכים בראשית הצירים (0,0). כל נקודה במישור מיוצגת על ידי זוג סדור של שיעורים (x,y): השיעור x מציין את המרחק האופקי (חתום) של הנקודה מראשית הצירים, והשיעור y מציין את המרחק האנכי (חתום) שלה. ייצוג זה הוא הבסיס לכל הגאומטריה האנליטית: הוא מאפשר להפוך שאלות גיאומטריות (על צורות, מרחקים וזוויות) לשאלות אלגבריות (על מספרים ומשוואות) - ולהפך.
מרחק בין נקודות ואמצע קטע
כדי לחשב את אורך הקטע בין שתי נקודות A(x1,y1) ו-B(x2,y2): במקרה הפרטי שבו הקטע מקביל לאחד הצירים (כלומר x1=x2 או y1=y2), האורך הוא פשוט ערך מוחלט של ההפרש בין השיעורים המתאימים. במקרה הכללי (כשהקטע 'אלכסוני') בונים משולש ישר זווית עזר, שאורכי הניצבים שלו הם |x2-x1| ו-|y2-y1|, ומפעילים את משפט פיתגורס: AB = √((x2-x1)² + (y2-y1)²). לחישוב אמצע קטע M בין A(x1,y1) ל-B(x2,y2): שיעורי האמצע הם הממוצע של השיעורים המתאימים, M = ((x1+x2)/2 , (y1+y2)/2). אפשר גם להשתמש בנוסחה זו בכיוון ההפוך: אם ידועים אמצע הקטע ואחד מקצותיו, אפשר למצוא את הקצה השני.
שיפוע של ישר
השיפוע של ישר (בדרך כלל מסמנים אותו באות a) מתאר עד כמה הישר 'תלול', ולו שתי משמעויות שקולות: (1) כיחס בין שינוי ערכי ה-y לשינוי ערכי ה-x, כלומר לפי כל שתי נקודות (x1,y1) ו-(x2,y2) על הישר, a = (y2-y1)/(x2-x1); (2) כטנגנס של הזווית החדה שיוצר הישר עם ציר ה-x, כאשר מוסיפים סימן חיובי אם הישר עולה (פונקציה עולה) וסימן שלילי אם הישר יורד. ישר האנכי לציר ה-x (כלומר מקביל לציר ה-y) הוא מקרה מיוחד שאין לו שיפוע מוגדר, כי במקרה כזה x1=x2 וההפרש במכנה הנוסחה שווה לאפס.
משוואת הישר והמצבים ההדדיים בין ישרים
אפשר לכתוב את משוואת הישר בשתי צורות: הצורה המפורשת y=ax+b (כאשר a הוא השיפוע ו-b הוא נקודת החיתוך עם ציר ה-y), והצורה הסתומה, שבה כל האיברים באגף אחד (למשל 3x+2y-12=0). בין שני ישרים במערכת צירים יכולים להתקיים ארבעה מצבים הדדיים, שכולם נקבעים לפי השיפועים: התלכדות (אותו ישר בדיוק - אותו שיפוע ואותה נקודת חיתוך עם ציר y), הקבלה (שיפועים שווים אך נקודות חיתוך שונות - הישרים לא נפגשים לעולם), חיתוך (שיפועים שונים - הישרים נפגשים בנקודה יחידה), וניצבות (מקרה פרטי של חיתוך, שבו מכפלת השיפועים שווה ל- -1, כלומר a1·a2 = -1).
מציאת משוואת ישר וחיתוך ישרים
כדי למצוא את משוואת הישר העובר דרך נקודה נתונה ובעל שיפוע נתון a, מציבים בצורה המפורשת y=ax+b את שיעורי הנקודה כדי למצוא את b - והישר הנמצא יחיד, בהתאם לאקסיומת המקבילים מגאומטריה של המישור ('דרך נקודה מחוץ לישר נתון עובר ישר מקביל אחד ויחיד לישר זה'). כדי למצוא את משוואת הישר העובר דרך שתי נקודות נתונות, מחשבים תחילה את השיפוע ביניהן, ואז ממשיכים כמו במקרה הקודם - והישר הנמצא יחיד גם הוא, בהתאם לאקסיומה ש'שתי נקודות מגדירות ישר אחד ויחיד'. כדי למצוא את נקודות החיתוך של ישר עם הצירים: מציבים y=0 כדי למצוא את חיתוך עם ציר ה-x, ומציבים x=0 כדי למצוא את חיתוך עם ציר ה-y. כדי למצוא את נקודת החיתוך של שני ישרים (אם קיימת): פותרים את שתי משוואות הישרים כמערכת משוואות.
דוגמאות פתורות
נתונות הנקודות A(-2,3) ו-B(4,-5). חשבו את אורך הקטע AB ואת שיעורי אמצע הקטע M.
- מרחק: AB=√((4-(-2))² + (-5-3)²) = √(6² + (-8)²) = √(36+64) = √100 = 10.
- אמצע: M = ((-2+4)/2 , (3+(-5))/2) = (2/2 , -2/2) = (1,-1).
תשובה: AB = 10, M = (1,-1).
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות A(1,2) ו-B(3,8).
- שיפוע: a = (8-2)/(3-1) = 6/2 = 3.
- מציבים את נקודה A(1,2) בצורה y=3x+b: 2=3·1+b, כלומר 2=3+b, ולכן b=-1.
- משוואת הישר: y=3x-1.
- בדיקה עם B: 3·3-1=9-1=8 ✓.
תשובה: y = 3x - 1.
נתונים שני ישרים: y=2x-1 ו-y=-1/2 x+4. קבעו את המצב ההדדי ביניהם, ואם הם נחתכים - מצאו את נקודת החיתוך.
- שיפוע הישר הראשון a1=2, שיפוע הישר השני a2=-1/2.
- a1·a2 = 2·(-1/2) = -1, ולכן הישרים ניצבים (מקרה פרטי של חיתוך).
- למציאת נקודת החיתוך משווים: 2x-1 = -1/2x+4.
- 2x + 1/2x = 4+1, כלומר 2.5x=5, ולכן x=2.
- מציבים ב-y=2x-1: y=2·2-1=3.
- נקודת החיתוך: (2,3).
תשובה: הישרים ניצבים; נקודת החיתוך היא (2,3).
תרגול
1. חשבו את המרחק בין הנקודות C(0,0) ו-D(6,8).תרגול
- CD=√((6-0)²+(8-0)²)=√(36+64)=√100=10.
תשובה: CD=10.
2. מצאו את שיעורי אמצע הקטע שקצותיו E(-3,-1) ו-F(5,7).תרגול
- M = ((-3+5)/2 , (-1+7)/2) = (2/2 , 6/2) = (1,3).
תשובה: M=(1,3).
3. אמצע הקטע GH הוא הנקודה M(2,5), וידוע כי G(-1,1). מצאו את שיעורי הנקודה H.תרגול
- לפי נוסחת אמצע קטע, שיעורי H מקיימים: (Gx+Hx)/2 = Mx וגם (Gy+Hy)/2=My.
- לכן Hx = 2·Mx - Gx = 2·2-(-1) = 4+1 = 5.
- Hy = 2·My - Gy = 2·5 - 1 = 10-1 = 9.
תשובה: H = (5,9).
4. חשבו את שיפוע הישר העובר דרך הנקודות P(1,4) ו-Q(5,-4).תרגול
- a = (Qy-Py)/(Qx-Px) = (-4-4)/(5-1) = -8/4 = -2.
תשובה: a=-2.
5. מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (0,-3) ובעל שיפוע 4.שאלה בהקשר
- מציבים בצורה המפורשת y=ax+b, כאשר a=4: y=4x+b.
- מציבים את הנקודה הנתונה (0,-3): -3=4·0+b, ולכן b=-3 (וזה גם בהתאם לכך שהנקודה נתונה על ציר ה-y).
- משוואת הישר: y=4x-3.
תשובה: y=4x-3.
6. נתונים שני ישרים: 2x-y=5 ו-y=2x+7. קבעו את המצב ההדדי ביניהם.שאלה בהקשר
- מעבירים את הישר הראשון לצורה מפורשת: 2x-y=5 נותן y=2x-5.
- שיפוע הישר הראשון a1=2, שיפוע הישר השני a2=2 - השיפועים שווים.
- בודקים את נקודות החיתוך עם ציר ה-y: הישר הראשון חותך ב-(0,-5), השני ב-(0,7) - שונות.
- מכיוון שהשיפועים שווים אך נקודות החיתוך עם ציר y שונות, הישרים מקבילים (ואינם מתלכדים).
תשובה: הישרים מקבילים ואינם מתלכדים.
7. מצאו את נקודת החיתוך של הישרים y=x+1 ו-y=-x+7.שאלה בהקשר
- משווים: x+1 = -x+7.
- 2x=6, ולכן x=3.
- מציבים ב-y=x+1: y=3+1=4.
- נקודת החיתוך: (3,4).
תשובה: (3,4).
8. נתון הישר 3x+2y=12. מצאו את נקודות החיתוך שלו עם שני הצירים.שאלה בהקשר
- חיתוך עם ציר ה-x: מציבים y=0: 3x=12, ולכן x=4. נקודת החיתוך: (4,0).
- חיתוך עם ציר ה-y: מציבים x=0: 2y=12, ולכן y=6. נקודת החיתוך: (0,6).
תשובה: חיתוך עם ציר x: (4,0). חיתוך עם ציר y: (0,6).
לזכירה
- מרחק בין שתי נקודות A(x1,y1), B(x2,y2): AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²). כשהקטע מקביל לציר, זה פשוט ערך מוחלט של הפרש השיעורים המתאימים.
- אמצע קטע בין A(x1,y1) ל-B(x2,y2): M=((x1+x2)/2, (y1+y2)/2) - אפשר להשתמש בנוסחה גם כדי למצוא קצה חסר מתוך האמצע והקצה הידוע.
- שיפוע ישר בין שתי נקודותיו: a=(y2-y1)/(x2-x1) - וגם טנגנס הזווית החדה שהישר יוצר עם ציר ה-x (בסימן לפי עלייה/ירידה). לישר האנכי לציר x אין שיפוע מוגדר.
- משוואת ישר: צורה מפורשת y=ax+b או צורה סתומה. שני ישרים: מתלכדים (אותו a ואותו b), מקבילים (אותו a, b שונה), נחתכים (a שונה), ניצבים (מקרה פרטי של חיתוך: a1·a2=-1).
- מוצאים משוואת ישר מנקודה ושיפוע, או משתי נקודות (מחשבים שיפוע ואז ממשיכים כמו במקרה הראשון). חיתוך עם הצירים: מציבים y=0 או x=0 בהתאמה; חיתוך בין שני ישרים: פותרים את שתי המשוואות יחד.