לומדי

פתרון של משוואות מסוגים שונים

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! בשיעור הזה פוגשים כמה סוגים של משוואות שנראות שונות זו מזו, אבל כולן חולקות רעיון משותף: להפוך אותן, בכמה צעדים, למשוואה ממעלה ראשונה או שנייה שכבר יודעים לפתור. עם שברים - מכפילים כדי להיפטר מהמכנה. עם שורשים - מעלים בריבוע כדי להיפטר מהשורש. עם חזקה רביעית - מציבים t=x² כדי להיפטר מהחזקה הגבוהה. אבל יש כלל ברזל אחד שחוזר על עצמו בכל הסוגים האלה: כל פעולה כזו יכולה "להטעות" אתכם ולהוסיף פתרון שלא באמת מתאים למשוואה המקורית - ולכן תמיד, תמיד בודקים כל פתרון בחזרה במשוואה המקורית לפני שכותבים אותו כתשובה סופית!

משוואות עם שברים אלגבריים ותחום ההגדרה

כשמשוואה כוללת ביטוי עם x במכנה, השלב הראשון - **לפני** כל פתרון - הוא לקבוע את תחום ההגדרה: כל ערך שמאפס מכנה כלשהו במשוואה אסור, ולא יכול להיות פתרון. אחרי שקובעים את תחום ההגדרה, פותרים את המשוואה בדרך כלל על ידי הכפלת שני האגפים במכנה המשותף (כדי "להיפטר" מהשברים) ופתרון המשוואה הפשוטה שמתקבלת. בסיום חובה לבדוק: אם אחד הפתרונות שהתקבלו נמצא **מחוץ** לתחום ההגדרה שנקבע מראש - פוסלים אותו, גם אם הוא נראה כמו פתרון תקין של המשוואה הפשוטה.

משוואות אי-רציונליות (עם שורשים)

משוואה אי-רציונלית היא משוואה שבה המשתנה מופיע מתחת לשורש, כמו √(x+3)=x-3. הדרך לפתור: מבודדים שורש אחד באגף אחד ומעלים את שני האגפים בריבוע כדי להיפטר מהשורש, ופותרים את המשוואה הרגילה שמתקבלת. **חשוב מאוד**: העלאה בריבוע היא פעולה שעלולה להוסיף פתרונות "מדומים" (extraneous) שלא מקיימים את המשוואה המקורית - למשל כי אגף אחד היה צריך להיות אי-שלילי ואינו כזה. לכן **חובה** להציב כל פתרון שמתקבל בחזרה במשוואה המקורית (עם השורש) ולוודא שהוא אכן מקיים אותה. ברמה הנדרשת כאן עובדים עם משוואות שיש בהן לכל היותר שני שורשים.

פתרון משוואה בהצבה: משוואה דו-ריבועית

לפעמים משוואה בעלת מבנה מיוחד הופכת לקלה יותר על ידי הצבה - כלומר, מחליפים חלק מהביטוי במשתנה חדש. הדוגמה השכיחה ביותר היא משוואה דו-ריבועית, מהצורה ax⁴+bx²+c=0 (יש בה רק חזקות זוגיות של x). מציבים t=x², והמשוואה הופכת למשוואה ריבועית רגילה at²+bt+c=0 שכבר יודעים לפתור. אחרי מציאת ערכי t, חוזרים למשתנה המקורי: לכל ערך t חיובי שהתקבל פותרים את המשוואה x²=t (שני פתרונות, x=±√t); ערך t שלילי נפסל, כי x² לעולם אינו יכול להיות שלילי.

המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות

כמו במשוואות ממעלה ראשונה ושנייה, גם כאן מספר הפתרונות של המשוואה מתאים למספר נקודות החיתוך של הגרפים המתאימים. למשל במשוואה דו-ריבועית x⁴-2x²+1=0, מתקבל t=1 (פתרון כפול של t²-2t+1=(t-1)²=0), ולכן x²=1, כלומר x=1 או x=-1 - שני פתרונות ממשיים בלבד, למרות שהמשוואה ממעלה רביעית. גרפית, זה אומר שהגרף של y=x⁴-2x²+1 **נוגע** בציר ה-x בשתי נקודות (ולא חוצה אותו) - התנהגות שקשורה לכך שכל שורש "מגיע בזוגות" מבחינת ההצבה.

דוגמאות פתורות

פתרו את המשוואה x/(x-2) + 1 = 3/(x-2).

  1. קובעים תחום הגדרה: המכנה x-2 מתאפס עבור x=2, ולכן x≠2.
  2. מכפילים את כל אגפי המשוואה ב-(x-2) כדי להיפטר מהשברים: x + (x-2) = 3.
  3. פותרים את המשוואה הפשוטה שמתקבלת: 2x-2=3, ולכן 2x=5, כלומר x=5/2.
  4. בודקים: x=5/2 שונה מ-2, ולכן הוא נמצא בתחום ההגדרה - הוא פתרון תקף.

תשובה: x=5/2.

פתרו את המשוואה √(x+3) = x-3.

  1. תחום ההגדרה: מתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי, x+3≥0 כלומר x≥-3; וגם, מכיוון שאגף שמאל (שורש) הוא תמיד אי-שלילי, האגף הימני חייב להיות אי-שלילי גם הוא: x-3≥0, כלומר x≥3.
  2. מעלים את שני האגפים בריבוע: x+3 = (x-3)² = x²-6x+9.
  3. מעבירים הכול לאגף אחד: x²-7x+6=0, ומפרקים לגורמים: (x-1)(x-6)=0, ולכן x=1 או x=6.
  4. בודקים כל פתרון: x=1 אינו מקיים x≥3 (התנאי שקבענו) - הוא פתרון מדומה ונפסל. x=6 מקיים x≥3 - בודקים ישירות: √(6+3)=√9=3, וגם 6-3=3 - שני האגפים שווים, x=6 הוא פתרון תקף.

תשובה: x=6 בלבד (x=1 נפסל כפתרון מדומה).

פתרו את המשוואה x⁴-5x²+4=0 באמצעות הצבה.

  1. מציבים t=x² (ולכן t≥0 בהכרח).
  2. המשוואה הופכת ל: t²-5t+4=0.
  3. מפרקים לגורמים: (t-1)(t-4)=0, ולכן t=1 או t=4 - שני הערכים אי-שליליים, שניהם קבילים.
  4. חוזרים למשתנה x: עבור t=1, x²=1 נותן x=1 או x=-1. עבור t=4, x²=4 נותן x=2 או x=-2.

תשובה: ארבעה פתרונות: x=1, x=-1, x=2, x=-2.

תרגול

1. פתרו את המשוואה 3/x = 5/(x+2).תרגול
  1. תחום הגדרה: x≠0 וגם x≠-2.
  2. מכפילים בהצלבה (מכפלת אגפים צולבת): 3(x+2)=5x.
  3. פותחים סוגריים ופותרים: 3x+6=5x, כלומר 6=2x, ולכן x=3.
  4. בודקים: x=3 נמצא בתחום ההגדרה.

תשובה: x=3.

2. פתרו את המשוואה √(2x+1) = 3.תרגול
  1. תחום הגדרה: 2x+1≥0, כלומר x≥-1/2.
  2. מעלים בריבוע: 2x+1=9.
  3. פותרים: 2x=8, ולכן x=4.
  4. בודקים: x=4 מקיים את תחום ההגדרה, ואכן √(2·4+1)=√9=3.

תשובה: x=4.

3. פתרו את המשוואה x⁴-13x²+36=0 באמצעות הצבה.תרגול
  1. מציבים t=x² (t≥0): t²-13t+36=0.
  2. מפרקים לגורמים: (t-4)(t-9)=0, ולכן t=4 או t=9.
  3. חוזרים ל-x: עבור t=4, x=±2. עבור t=9, x=±3.

תשובה: ארבעה פתרונות: x=2, x=-2, x=3, x=-3.

4. פתרו את המשוואה (x+1)/(x-1) = 2 + 2/(x-1), והסבירו מדוע יש לבדוק בזהירות את התוצאה מול תחום ההגדרה.שאלה בהקשר
  1. תחום הגדרה: x≠1.
  2. כותבים את האגף הימני כשבר אחד עם מכנה משותף: 2 + 2/(x-1) = [2(x-1)+2]/(x-1) = (2x-2+2)/(x-1) = 2x/(x-1).
  3. מכיוון ששני האגפים כתובים עם אותו מכנה (x-1), אפשר להשוות ישירות את המונים: x+1 = 2x.
  4. פותרים: x=1. אבל x=1 נפסל מראש כי הוא מחוץ לתחום ההגדרה (מאפס את המכנה המקורי)!

תשובה: אין פתרון למשוואה - הפתרון האלגברי היחיד (x=1) נמצא מחוץ לתחום ההגדרה ולכן נפסל.

5. פתרו את המשוואה √(x+7) = x-5, וודאו לבדוק פתרונות מדומים.שאלה בהקשר
  1. תחום הגדרה: x+7≥0 (כלומר x≥-7), וגם x-5≥0 (כלומר x≥5), כי האגף הימני חייב להיות אי-שלילי כמו השורש.
  2. מעלים בריבוע: x+7 = (x-5)² = x²-10x+25.
  3. מעבירים אגף: x²-11x+18=0, ומפרקים: (x-2)(x-9)=0, ולכן x=2 או x=9.
  4. בודקים מול x≥5: x=2 נפסל (אינו מקיים x≥5). בודקים x=9: √(9+7)=√16=4, וגם 9-5=4 - שווים, פתרון תקף.

תשובה: x=9 בלבד (x=2 נפסל כפתרון מדומה).

6. למשוואה x⁴-2x²+1=0 יש רק שני פתרונות ממשיים, למרות שזו משוואה ממעלה רביעית. פתרו את המשוואה והסבירו בקצרה את המשמעות הגרפית של התוצאה.שאלה בהקשר
  1. מציבים t=x²: t²-2t+1=0, שזהו ריבוע שלם: (t-1)²=0, ולכן t=1 (פתרון כפול).
  2. חוזרים ל-x: x²=1, ולכן x=1 או x=-1 - רק שני פתרונות ממשיים שונים (למרות שהמשוואה ממעלה 4).
  3. גרפית: הגרף של y=x⁴-2x²+1 נוגע בציר ה-x בדיוק בנקודות x=1 ו-x=-1, בלי לחצות אותו - בגלל שכל שורש "כפול" מבחינת ההצבה ב-t.

תשובה: x=1 או x=-1 (שניהם שורשים "כפולים"); הגרף נוגע בציר ה-x בשתי הנקודות האלה בלבד, ולא חוצה אותו.

לזכירה

  • במשוואה עם שברים אלגבריים: קובעים תחילה תחום הגדרה (כל ערך שמאפס מכנה - אסור), מכפילים כדי להיפטר מהשברים, פותרים, ופוסלים כל פתרון שנמצא מחוץ לתחום ההגדרה.
  • במשוואה אי-רציונלית (עם שורש): מבודדים את השורש, מעלים בריבוע, פותרים, ו**חובה** להציב כל פתרון בחזרה במשוואה המקורית - כי העלאה בריבוע עלולה להוסיף פתרונות מדומים.
  • משוואה דו-ריבועית (ax⁴+bx²+c=0) פותרים בהצבה t=x²: פותרים משוואה ריבועית רגילה ב-t, פוסלים ערכי t שליליים (כי x²≥0 תמיד), וחוזרים ל-x באמצעות x=±√t לכל t≥0 שהתקבל.
  • בכל סוגי המשוואות האלה, מספר הפתרונות מתאים גרפית למספר נקודות החיתוך (או ההתנגעות) של הגרפים הרלוונטיים.
הקודםפתרון משוואות ואי-שוויונות ממעלה ראשונה ושנייההבאטרנספורמציות של פונקציות