חשבון דיפרנציאלי של פונקציית שורש
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! פונקציית שורש היא כמו קרובת משפחה של הפולינום שגזרתם בשיעור הקודם - אותם כללי גזירה (סכום, מכפלה), רק עם כלל חדש אחד בשביל השורש עצמו: גוזרים את מה שבפנים, ומחלקים בפעמיים השורש. אבל יש לה תכונה מיוחדת שכדאי לזכור היטב: בגלל שמתחת לשורש חייב להיות ערך אי-שלילי, לפעמים תחום ההגדרה שלה נגמר בנקודת קצה מסוימת - ודווקא שם, במקום שבו הנגזרת "מתפוצצת" ולא מוגדרת, אפשר עדיין למצוא קיצון. אז בכל פעם שחוקרים פונקציית שורש: קודם קובעים תחום הגדרה, ורק אז גוזרים - וכשמחפשים קיצון מוחלט, תמיד בודקים גם את נקודות הקצה של התחום, לא רק איפה שהנגזרת מתאפסת.
תחום ההגדרה של y=√f(x)
כל פונקציית שורש מהצורה y=√f(x) מוגדרת רק במקומות שבהם הביטוי שמתחת לשורש אי-שלילי: f(x)≥0. ברמה זו f(x) הוא תמיד פולינום ממעלה שנייה לכל היותר - ולכן קביעת תחום ההגדרה היא בדיוק פתרון אי-שוויון ממעלה ראשונה או שנייה, בדיוק כמו שלמדתם בשיעור הקודם. לדוגמה, כדי למצוא את תחום ההגדרה של y=√(x²-9), פותרים את האי-שוויון x²-9≥0: נקודות האפס הן x=3 ו-x=-3, והפרבולה (שנפתחת כלפי מעלה) אי-שלילית מחוץ לתחום שביניהן - כלומר תחום ההגדרה הוא x≤-3 או x≥3.
הנגזרת של y=√f(x)
פונקציית שורש מהצורה הזו היא עוד סוג של פונקציה מורכבת: החלק ה"חיצוני" הוא הוצאת שורש, והחלק ה"פנימי" הוא f(x). מקבלים (ללא הוכחה פורמלית ברמה זו) את הכלל הבא: [√f(x)]' = f'(x) / (2√f(x)). כלומר: גוזרים את מה שמתחת לשורש (מקבלים את f'(x)), ומחלקים בפעמיים השורש המקורי. שימו לב: הנוסחה מוגדרת רק בנקודות שבהן f(x)>0 ממש - בנקודות שבהן f(x)=0 (נקודות הקצה של תחום ההגדרה) המכנה 2√f(x) מתאפס, והנגזרת אינה קיימת שם.
נגזרת סכום/הפרש, ונגזרת מכפלה y=g(x)·√f(x)
נגזרת של סכום או הפרש שכוללים פונקציית שורש מהצורה הזו יחד עם פונקציה פולינומיאלית נגזרת בדיוק לפי כלל הסכום/ההפרש הרגיל: [√f(x) ± p(x)]' = f'(x)/(2√f(x)) ± p'(x). לנגזרת של מכפלה מהצורה y=g(x)·√f(x) (כאשר g(x) פולינום ממעלה ראשונה לכל היותר) משתמשים בכלל המכפלה הרגיל, כשהחלק השני בו הוא בדיוק הנגזרת של השורש שמצאנו למעלה: [g(x)·√f(x)]' = g'(x)·√f(x) + g(x)·f'(x)/(2√f(x)).
שימושי הנגזרת: שיפוע ומשוואת משיק
בדיוק כמו עבור פונקציה פולינומיאלית, שיפוע המשיק לגרף בנקודה x=a הוא f'(a), ומשוואת המשיק היא y-f(a)=f'(a)(x-a). ההבדל היחיד כאן: צריך לוודא ש-a נמצא בתוך תחום ההגדרה ולא בנקודת קצה שלו - כי בנקודת קצה הנגזרת אינה מוגדרת, ולכן אין שם משיק (יש שם משיק "אנכי", שאין לו שיפוע סופי).
חקירת פונקציית שורש - כולל קיצון בנקודת קצה של תחום ההגדרה
חקירת פונקציית שורש כוללת את אותם שלבים כמו חקירת פולינום: תחום הגדרה, זוגיות/אי-זוגיות, נקודות חיתוך עם הצירים, סימן הנגזרת לקביעת תחומי עלייה/ירידה, ונקודות קיצון - וגם הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת שלה (בדיוק כמו בפולינום: f' חיובי היכן ש-f עולה, שלילי היכן ש-f יורדת). אבל יש כאן תופעה חדשה: לפונקציית שורש יכול להיות תחום הגדרה עם נקודות קצה (כי הדרישה f(x)≥0 יוצרת גבול), ובנקודת קצה כזו הנגזרת בדרך כלל אינה מוגדרת - אבל הפונקציה עצמה **כן** מוגדרת שם, ולכן עדיין אפשר שתהיה שם נקודת קיצון. כלומר: בבדיקת קיצון מוחלט של פונקציית שורש, חובה **תמיד** לבדוק גם את ערך הפונקציה בנקודות הקצה של תחום ההגדרה - בדיוק כמו שבודקים קצוות של תחום סגור בבעיות קיצון, גם אם הנגזרת שם לא מתאפסת (ואפילו לא קיימת).
דוגמאות פתורות
נתונה הפונקציה f(x)=√(x²-9). א. מצאו את תחום ההגדרה שלה. ב. מצאו את f'(x).
- סעיף א: תחום ההגדרה נקבע מהדרישה x²-9≥0. נקודות האפס: x²-9=0 נותן x=3 או x=-3.
- הפרבולה x²-9 נפתחת כלפי מעלה, ולכן היא אי-שלילית מחוץ לתחום שבין נקודות האפס: x≤-3 או x≥3.
- סעיף ב: משתמשים בכלל [√f(x)]'=f'(x)/(2√f(x)) עם f(x)=x²-9, ולכן f'(x) (של מה שבפנים) הוא 2x.
- מציבים: f'(x) = 2x / (2√(x²-9)) = x/√(x²-9).
תשובה: תחום ההגדרה: x≤-3 או x≥3. f'(x) = x/√(x²-9) (מוגדרת רק עבור x<-3 או x>3 - בנקודות הקצה עצמן x=±3 הנגזרת אינה קיימת).
נתונה הפונקציה h(x)=x·√(x²-9) (עבור x בתחום ההגדרה, x≤-3 או x≥3). מצאו את h'(x) בעזרת כלל המכפלה.
- מזהים שתי פונקציות: g(x)=x (עם g'(x)=1), ו-√f(x)=√(x²-9) כאשר f(x)=x²-9, f'(x)=2x.
- נגזרת השורש לפי הכלל מהשיעור: [√(x²-9)]' = 2x/(2√(x²-9)) = x/√(x²-9) (מהדוגמה הקודמת).
- כלל המכפלה: h'(x) = g'(x)·√f(x) + g(x)·[√f(x)]' = 1·√(x²-9) + x·[x/√(x²-9)].
- מאחדים למכנה משותף √(x²-9): h'(x) = [(x²-9) + x²] / √(x²-9) = (2x²-9)/√(x²-9).
תשובה: h'(x) = (2x²-9)/√(x²-9).
חקרו את הפונקציה F(x)=√(4-x²): תחום הגדרה, זוגיות, נקודות חיתוך עם הצירים, תחומי עלייה/ירידה, ונקודות קיצון (כולל בדיקה בנקודות הקצה של תחום ההגדרה).
- תחום הגדרה: 4-x²≥0, כלומר x²≤4, ולכן -2≤x≤2 - תחום סגור!
- זוגיות: F(-x)=√(4-(-x)²)=√(4-x²)=F(x) - הפונקציה זוגית, הגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה-y.
- נקודות חיתוך עם ציר x: F(x)=0 כאשר 4-x²=0, כלומר x=2 או x=-2 - הנקודות (2,0) ו-(-2,0). חיתוך עם ציר y: F(0)=√4=2, הנקודה (0,2).
- נגזרת: F'(x) = -2x/(2√(4-x²)) = -x/√(4-x²), מוגדרת רק בתחום הפתוח -2<x<2 (בנקודות הקצה עצמן המכנה מתאפס).
- סימן הנגזרת: עבור -2<x<0, F'(x)>0 (כי -x חיובי) - עולה. עבור 0<x<2, F'(x)<0 (כי -x שלילי) - יורדת. ב-x=0 הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן מחיובי לשלילי - מקסימום מקומי, F(0)=2.
- קיצון בנקודות הקצה: מכיוון שתחום ההגדרה סגור, חובה לבדוק גם את הערכים בקצוות: F(-2)=0, F(2)=0. אלה קטנים מ-F(0)=2, ולכן x=-2 ו-x=2 הן שתי נקודות מינימום מוחלט - אף שהנגזרת אינה מוגדרת בהן כלל, זו בדיוק התופעה של קיצון בנקודת קצה של תחום ההגדרה.
תשובה: תחום הגדרה [-2,2]; זוגית; חותכת את הצירים ב-(±2,0) וב-(0,2); עולה ב-(-2,0), יורדת ב-(0,2); מקסימום מוחלט (2) ב-x=0; מינימום מוחלט (0) בשתי נקודות הקצה x=-2 ו-x=2.
תרגול
1. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה y=√(x²-16).תרגול
- דורשים x²-16≥0.
- נקודות האפס: x=4, x=-4. הפרבולה נפתחת כלפי מעלה, ולכן אי-שלילית מחוץ לתחום שביניהן.
תשובה: תחום ההגדרה: x≤-4 או x≥4.
2. מצאו את הנגזרת של y=√(x²+7).תרגול
- f(x)=x²+7 (תמיד חיובי, ולכן תחום ההגדרה כל הממשיים), f'(x)=2x.
- לפי הכלל: y' = 2x/(2√(x²+7)) = x/√(x²+7).
תשובה: y' = x/√(x²+7).
3. מצאו את הנגזרת של y=√(x²-1)+3x.תרגול
- גוזרים כל איבר בנפרד: [√(x²-1)]' = 2x/(2√(x²-1)) = x/√(x²-1). [3x]'=3.
- מחברים: y' = x/√(x²-1) + 3.
תשובה: y' = x/√(x²-1) + 3.
4. נתונה הפונקציה y=(x+1)·√(x-3) (עבור x≥3). מצאו את y' בעזרת כלל המכפלה.שאלה בהקשר
- g(x)=x+1 (g'=1), f(x)=x-3 (f'=1). נגזרת השורש: [√(x-3)]'=1/(2√(x-3)).
- כלל המכפלה: y' = 1·√(x-3) + (x+1)·1/(2√(x-3)).
- מאחדים למכנה משותף 2√(x-3): y' = [2(x-3) + (x+1)] / (2√(x-3)) = (2x-6+x+1)/(2√(x-3)) = (3x-5)/(2√(x-3)).
תשובה: y' = (3x-5)/(2√(x-3)).
5. מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=√(x²-9) בנקודה x=-5.שאלה בהקשר
- תחום הגדרה: x≤-3 או x≥3, ו-x=-5 נמצא בתחום.
- f(-5)=√(25-9)=√16=4 - נקודת ההשקה (-5,4).
- נגזרת (מהדוגמה בשיעור): f'(x)=x/√(x²-9). f'(-5)=-5/√16=-5/4 - שיפוע המשיק.
- משוואת המשיק: y-4=(-5/4)(x-(-5))=(-5/4)(x+5), כלומר y=-5x/4-25/4+4=-5x/4-9/4.
תשובה: משוואת המשיק: y = -5x/4 - 9/4.
6. חקרו בקצרה את הפונקציה Y(x)=√(x²-1): מצאו תחום הגדרה, בדקו זוגיות, וקבעו מה קורה בשתי נקודות הקצה של תחום ההגדרה (x=1 ו-x=-1).שאלה בהקשר
- תחום הגדרה: x²-1≥0, כלומר x≤-1 או x≥1.
- זוגיות: Y(-x)=√(x²-1)=Y(x) - הפונקציה זוגית.
- נגזרת: Y'(x)=x/√(x²-1), מוגדרת רק בפתוח x<-1 או x>1 - לא בנקודות הקצה עצמן.
- בשתי נקודות הקצה: Y(1)=√0=0, Y(-1)=√0=0 - אלה נקודות מינימום (המוחלט על כל ענף בנפרד), אף שהנגזרת אינה מוגדרת בהן; אין לפונקציה מקסימום מוחלט (היא גדלה בלי גבול משני צידי התחום).
תשובה: תחום הגדרה x≤-1 או x≥1; זוגית; בשתי נקודות הקצה x=±1 יש מינימום (ערך 0); אין מקסימום מוחלט.
7. נתונה הפונקציה f(x)=√(x²+a), כאשר a פרמטר. ידוע ששיפוע המשיק לגרף בנקודה x=1 שווה ל-1/2. מצאו את ערך הפרמטר a.שאלה בהקשר
- גוזרים לפי הכלל [√f(x)]'=f'(x)/(2√f(x)) עם f(x)=x²+a (f'(x)=2x): f'(x)_of_the_root = 2x/(2√(x²+a)) = x/√(x²+a).
- שיפוע המשיק ב-x=1 הוא f'(1) = 1/√(1+a).
- נתון ששיפוע זה שווה ל-1/2: 1/√(1+a) = 1/2, כלומר √(1+a) = 2.
- מעלים בריבוע: 1+a=4, ולכן a=3. (בודקים: עם a=3, בנקודה x=1 מתקיים x²+a=4>0, כך שהפונקציה אכן מוגדרת וגזירה שם.)
תשובה: a=3.
לזכירה
- תחום ההגדרה של y=√f(x) (f פולינום ממעלה שנייה לכל היותר) הוא כל x שעבורו f(x)≥0 - נקבע כמו פתרון אי-שוויון ממעלה ראשונה/שנייה.
- נגזרת: [√f(x)]' = f'(x)/(2√f(x)), מוגדרת רק היכן ש-f(x)>0 ממש (לא בנקודות שבהן f(x)=0).
- נגזרת סכום/הפרש: כל איבר בנפרד, כרגיל. נגזרת מכפלה y=g(x)·√f(x) (g ממעלה ראשונה לכל היותר): [g·√f]' = g'·√f + g·f'/(2√f).
- שיפוע ומשוואת משיק: כמו בפונקציה פולינומיאלית, f'(a) הוא שיפוע המשיק ו-y-f(a)=f'(a)(x-a) - רק צריך לוודא ש-a אינו נקודת קצה של תחום ההגדרה.
- תופעה חדשה: בנקודת קצה של תחום ההגדרה (איפה ש-f(x)=0) הנגזרת אינה מוגדרת, אך עדיין יכולה להיות שם נקודת קיצון - בבדיקת קיצון מוחלט חובה להשוות תמיד גם לערכי הפונקציה בנקודות הקצה, בדיוק כמו בתחום סגור.