גאומטריה של המישור
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! בשיעור הזה נכיר קווים מיוחדים שכל משולש 'מסתיר' בתוכו: תיכונים, חוצי זוויות, אנכים אמצעיים וגבהים. הקסם הוא ששלושת הקווים מכל סוג נפגשים תמיד בדיוק בנקודה אחת - לא משנה כמה 'עקום' או שונה המשולש. וכשמדובר בדמיון משולשים, תחשבו על זה כמו הגדלה או הקטנה של תמונה במחשב: הצורה נשארת אותו דבר בדיוק, רק הגודל משתנה - ולכן כל האורכים (היקף, תיכונים, גבהים) גדלים פי אותו מספר k, אבל השטח גדל הרבה יותר, פי k בריבוע, כי הוא 'תופס' שטח בשני כיוונים בו-זמנית. ברגע שתזהו איזה משפט דמיון מתאים (ז.ז, צ.צ.צ או צ.ז.צ), כל שאר החישובים הם כבר עניין של יחס פשוט.
תיכונים במשולש
תיכון במשולש הוא הקטע המחבר קודקוד לנקודת האמצע של הצלע שמולו. בכל משולש יש שלושה תיכונים, ושלושתם נחתכים תמיד בנקודה אחת יחידה, שנקראת נקודת מפגש התיכונים. לנקודה זו יש תכונה מספרית קבועה וחשובה: היא מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 - כך שהחלק שבין הקודקוד לנקודת המפגש גדול פי 2 מהחלק שבין נקודת המפגש לאמצע הצלע. בנוסף, כל תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים בעלי שטח שווה (כי לשניהם אותו גובה מהקודקוד, ובסיסים שווים - שני חצאי הצלע). מקרה פרטי חשוב: במשולש ישר זווית, התיכון היוצא מקודקוד הזווית הישרה אל היתר שווה תמיד למחצית אורך היתר.
חוצי זוויות
חוצה זווית במשולש הוא הקטע (או הקרן) שיוצא מקודקוד ומחלק את הזווית באותו קודקוד לשתי זוויות שוות. שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים גם הם בנקודה אחת. לחוצה זווית יש תכונה גיאומטרית יסודית: הוא 'מקום גיאומטרי' - כל נקודה עליו נמצאת במרחק שווה משני שוקי הזווית (ולהפך: כל נקודה שמרחקה שווה משני השוקיים נמצאת על חוצה הזווית). תכונה חשובה נוספת היא משפט חוצה הזווית הפנימית במשולש: חוצה זווית היוצא מקודקוד ומגיע לצלע שמול הקודקוד, מחלק את אותה צלע ביחס השווה ליחס שתי הצלעות הכולאות את הזווית שממנה הוא יוצא. גם המשפט ההפוך נכון: אם ישר היוצא מקודקוד מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות האחרות, הוא בהכרח חוצה את הזווית שבאותו קודקוד.
אנכים אמצעיים וגבהים
אנך אמצעי לצלע הוא הישר המאונך לצלע ועובר דרך אמצעה. גם שלושת האנכים האמצעיים לצלעות המשולש נחתכים בנקודה אחת. כמו חוצה הזווית, גם האנך האמצעי הוא מקום גיאומטרי: כל נקודה עליו נמצאת במרחק שווה משני קצות הקטע (ולהפך). גובה במשולש הוא הקטע היוצא מקודקוד ומאונך לצלע שמולו (או להמשכה). שלושת הגבהים במשולש - או הישרים המכילים אותם - נחתכים אף הם בנקודה אחת. שימו לב: בניגוד לתיכון ולחוצה הזווית, קו הגובה עשוי ליפול מחוץ למשולש (במשולש קהה זווית), ולכן לפעמים נקודת המפגש של הגבהים נמצאת מחוץ למשולש.
דמיון משולשים - משפטי הדמיון
שני משולשים נקראים דומים אם צלעותיהם המתאימות פרופורציוניות (מתייחסות באותו יחס) וזוויותיהם המתאימות שוות. כדי להוכיח דמיון בלי לבדוק את כל שש התכונות בנפרד, מספיקים שלושה משפטי דמיון: משפט ז.ז - אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש שני, המשולשים דומים; משפט צ.צ.צ - אם שלוש הצלעות של משולש אחד פרופורציוניות לשלוש הצלעות של משולש שני (באותו יחס), המשולשים דומים; משפט צ.ז.צ - אם שתי צלעות במשולש אחד פרופורציוניות לשתי צלעות מתאימות במשולש שני, והזווית הכלואה ביניהן שווה, המשולשים דומים. שימו לב שבמשפט צ.ז.צ הזווית חייבת להיות דווקא הזווית הכלואה בין שתי הצלעות שבדקנו.
יחסים במשולשים דומים
כאשר שני משולשים דומים ביחס דמיון k (כלומר, כל צלע במשולש הגדול פי k מהצלע המתאימה לה במשולש הקטן), מתקיימות שלוש תוצאות שימושיות: יחס ההיקפים של שני המשולשים שווה בדיוק ליחס הדמיון k; יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון, כלומר k²; ויחס כל זוג קווים מיוחדים מתאימים (גבהים מתאימים, חוצי זוויות מתאימים, או תיכונים מתאימים) שווה גם הוא ליחס הדמיון k. חשוב לשים לב להבדל: היקף הוא אורך (חד-ממדי) ולכן משתנה פי k, ואילו שטח הוא דו-ממדי ולכן משתנה פי k² - אם מכפילים כל אורך פי 2, השטח גדל פי 4.
דוגמאות פתורות
בתיכון AD של משולש ABC (D נמצא על הצלע BC), נקודת מפגש התיכונים היא M. נתון כי AD = 18 ס"מ. חשבו את אורכי הקטעים AM ו-MD.
- נקודת מפגש התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1, כאשר החלק הקרוב לקודקוד (AM) גדול פי 2 מהחלק הקרוב לצלע (MD).
- לכן AM = 2·MD, וגם AM + MD = AD = 18.
- מציבים: 2·MD + MD = 18, כלומר 3·MD = 18, ומכאן MD = 6 ס"מ.
- לכן AM = 2·MD = 2·6 = 12 ס"מ. בדיקה: AM+MD=12+6=18=AD ✓.
תשובה: AM = 12 ס"מ, MD = 6 ס"מ.
במשולש ABC הזווית שבקודקוד C ישרה, והיתר AB שווה ל-26 ס"מ. M הוא אמצע היתר AB. חשבו את אורך התיכון CM.
- CM הוא התיכון היוצא מקודקוד הזווית הישרה (C) אל אמצע היתר (M).
- לפי התכונה של משולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה תמיד למחצית היתר.
- לכן CM = AB/2 = 26/2 = 13 ס"מ.
תשובה: CM = 13 ס"מ.
משולש ABC דומה למשולש A'B'C' (בהתאמה) ביחס דמיון AB:A'B' = 3:2. היקף המשולש ABC הוא 36 ס"מ, ושטח המשולש A'B'C' הוא 32 סמ"ר. חשבו את היקף המשולש A'B'C' ואת שטח המשולש ABC.
- יחס הדמיון (מ-ABC ל-A'B'C') הוא k = 3/2.
- יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון: היקף(ABC)/היקף(A'B'C') = 3/2. לכן היקף(A'B'C') = 36 ÷ (3/2) = 36·(2/3) = 24 ס"מ.
- יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון: שטח(ABC)/שטח(A'B'C') = (3/2)² = 9/4.
- לכן שטח(ABC) = שטח(A'B'C')·9/4 = 32·9/4 = 72 סמ"ר.
תשובה: היקף המשולש A'B'C' הוא 24 ס"מ, ושטח המשולש ABC הוא 72 סמ"ר.
תרגול
1. בתיכון של משולש, נקודת מפגש התיכונים M מחלקת את התיכון כך ש-AM = 10 ס"מ (כאשר A קודקוד המשולש). מהו אורך MD? ומהו אורך התיכון AD כולו?תרגול
- AM הוא החלק הקרוב לקודקוד, ולכן AM = 2·MD.
- מציבים 10 = 2·MD, ולכן MD = 5 ס"מ.
- AD = AM + MD = 10 + 5 = 15 ס"מ.
תשובה: MD = 5 ס"מ, AD = 15 ס"מ.
2. במשולש ABC הזווית בקודקוד B ישרה, והיתר AC שווה ל-10 ס"מ. מהו אורך התיכון היוצא מקודקוד B אל אמצע היתר?תרגול
- התיכון היוצא מקודקוד הזווית הישרה אל אמצע היתר שווה למחצית היתר.
- אורך התיכון = 10/2 = 5 ס"מ.
תשובה: 5 ס"מ.
3. משולש ABC דומה למשולש DEF ביחס AB:DE = 4:5. היקף המשולש DEF הוא 45 ס"מ. מהו היקף המשולש ABC?תרגול
- יחס הדמיון מ-ABC ל-DEF הוא 4/5.
- יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון: היקף(ABC)/היקף(DEF) = 4/5.
- היקף(ABC) = (4/5)·45 = 36 ס"מ.
תשובה: 36 ס"מ.
4. שני משולשים דומים ביחס דמיון 2:3. שטח המשולש הקטן הוא 12 סמ"ר. מהו שטח המשולש הגדול?תרגול
- יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון: (3/2)² = 9/4.
- שטח הגדול = 12·9/4 = 27 סמ"ר.
תשובה: 27 סמ"ר.
5. AD הוא חוצה הזווית A במשולש ABC (D על הצלע BC). נתון AB = 8 ס"מ, AC = 12 ס"מ, BC = 15 ס"מ. חשבו את אורכי הקטעים BD ו-DC.שאלה בהקשר
- לפי משפט חוצה הזווית הפנימית: BD/DC = AB/AC = 8/12 = 2/3.
- גם BD + DC = BC = 15.
- מציבים BD = 2t, DC = 3t: 2t+3t=15, כלומר 5t=15, t=3.
- לכן BD = 2·3 = 6 ס"מ, ו-DC = 3·3 = 9 ס"מ. בדיקה: 6+9=15 ✓.
תשובה: BD = 6 ס"מ, DC = 9 ס"מ.
6. במשולש ABC, התיכונים BE ו-CF נחתכים בנקודת מפגש התיכונים G. נתון BG = 8 ס"מ. מהו אורך GE? ומהו אורך התיכון BE כולו?שאלה בהקשר
- G מחלקת כל תיכון ביחס 2:1, כאשר BG (הקרוב לקודקוד B) גדול פי 2 מ-GE (הקרוב לצלע).
- לכן GE = BG/2 = 8/2 = 4 ס"מ.
- BE = BG + GE = 8 + 4 = 12 ס"מ.
תשובה: GE = 4 ס"מ, BE = 12 ס"מ.
7. שני משולשים דומים, ויחס השטחים ביניהם הוא 16:25. היקף המשולש הגדול הוא 40 ס"מ. מהו היקף המשולש הקטן?שאלה בהקשר
- יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: k² = 16/25, ולכן יחס הדמיון (הקטן:הגדול) הוא k = 4/5 (כי (4/5)²=16/25).
- יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון: היקף(קטן)/היקף(גדול) = 4/5.
- היקף(קטן) = (4/5)·40 = 32 ס"מ.
תשובה: 32 ס"מ.
8. במשולש ישר זווית, אורכי הניצבים הם 6 ס"מ ו-8 ס"מ, ואורך היתר הוא 10 ס"מ. M הוא אמצע היתר. מהו אורך התיכון CM היוצא מקודקוד הזווית הישרה C אל אמצע היתר?תרגול
- בהתאם לתכונת התיכון ליתר במשולש ישר זווית, CM = מחצית היתר.
- CM = 10/2 = 5 ס"מ.
תשובה: 5 ס"מ.
לזכירה
- בכל משולש, שלושת התיכונים נחתכים בנקודה אחת שמחלקת כל תיכון ביחס 2:1 (החלק הקרוב לקודקוד גדול פי 2); במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה תמיד למחצית היתר.
- חוצה זווית הוא מקום גיאומטרי של נקודות במרחק שווה משני שוקי הזווית; לפי משפט חוצה הזווית הפנימית, הוא מחלק את הצלע שמול הזווית ביחס השווה ליחס שתי הצלעות הכולאות אותה.
- אנך אמצעי לצלע הוא מקום גיאומטרי של נקודות במרחק שווה משני קצות הצלע. בכל משולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת, וכך גם שלושת הגבהים (שעשויים ליפול גם מחוץ למשולש).
- שני משולשים דומים אם ורק אם מתקיים אחד משלושת משפטי הדמיון: ז.ז (שתי זוויות שוות), צ.צ.צ (שלוש צלעות פרופורציוניות), או צ.ז.צ (שתי צלעות פרופורציוניות והזווית הכלואה ביניהן שווה).
- כאשר יחס הדמיון בין שני משולשים הוא k: יחס ההיקפים שווה ל-k, יחס השטחים שווה ל-k², ויחס כל זוג קווים מיוחדים מתאימים (גבהים, חוצי זוויות, תיכונים) שווה גם הוא ל-k.