לומדי

הצגת נתונים

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! תחשבו על ייצוג נתונים כמו על בחירת המשקפיים הנכונים להסתכל דרכן על אותו מידע: אם רוצים לראות 'מי הכי גדול מתוך כולם' - דיאגרמת עיגול מראה את זה מצוין; אם רוצים להשוות כמה קטגוריות זו לצד זו - דיאגרמת עמודות עוזרת; ואם רוצים לראות איך משהו משתנה עם הזמן - גרף הוא הכלי הנכון. וזכרו: אם משווים בין שתי קבוצות שגדלן שונה (למשל כיתה עם 25 תלמידים מול כיתה עם 40), חובה לעבור לאחוזים (שכיחות יחסית) - אחרת ההשוואה פשוט לא הוגנת.

טבלת שכיחויות - סוגים ומעבר ביניהם

את נתוני המשתנה אפשר להציג תחילה כרשימה פשוטה של כל הערכים שנמדדו, אך ברוב המקרים נוח יותר לארגן אותם בטבלת שכיחויות. יש כמה סוגים של טבלת שכיחויות: טבלת שכיחויות מוחלטות, שבה כל ערך (או תחום ערכים) של המשתנה מלווה במספר הפרטים שקיבלו אותו; טבלת שכיחויות יחסיות, שבה במקום המספר עצמו רושמים את חלקו היחסי מתוך כלל הנתונים (כמספר עשרוני או באחוזים); וטבלת שכיחויות מצטברות, שבה כל שורה מציגה את סך כל השכיחויות עד לאותו ערך (כולל). כשהמשתנה כמותי רציף (או בדיד עם ערכים רבים), מקובל לארגן את הערכים בקבוצות שוות רוחב - וכל עמודה בטבלה מייצגת אז תחום שלם של ערכים ולא ערך בודד; לפעמים קבוצת הקצה (העליונה או התחתונה) נשארת 'פתוחה', בלי גבול עליון ו/או תחתון. חשוב לדעת לעבור בין הסוגים השונים של טבלאות שכיחויות ולבחור את הסוג המתאים לצורך הנתון - למשל, טבלת שכיחויות מוחלטות שומרת את כל המידע על הכמויות בפועל, בעוד שמעבר לטבלת שכיחויות יחסיות גורם לאיבוד המידע על הכמויות עצמן, אך מאפשר להשוות בין מדגמים שאינם שווים בגודלם.

דיאגרמת עמודות ודיאגרמת עיגול

דיאגרמת עמודות (רגילה או כפולה, כשמשווים שני אוספי נתונים) מתאימה בעיקר למשתנה איכותי או למשתנה כמותי בדיד: כל עמודה מייצגת ערך אחד (או קטגוריה אחת), וגובהה מציין את השכיחות שלו. היתרון שלה הוא קלות ההשוואה החזותית בין קטגוריות; החיסרון הוא שהיא פחות מתאימה כשיש הרבה מאוד קטגוריות שונות. דיאגרמת עיגול מציגה כל ערך כ'פרוסה' מתוך עיגול שלם, כאשר גודל הזווית של כל פרוסה נקבע לפי חלקה היחסי מתוך כלל הנתונים, לפי הנוסחה: זווית = 360° כפול השכיחות היחסית (כשבר). היתרון שלה הוא הדגשה ברורה וחזותית של החלק היחסי שתופסת כל קטגוריה מתוך השלם; החיסרון הוא שקשה יותר להשוות במדויק בין שתי פרוסות שגדלן דומה, וקשה להציג בה שינוי לאורך זמן.

היסטוגרמה

היסטוגרמה היא ייצוג גרפי המיועד למשתנה כמותי רציף המאורגן בקבוצות שוות רוחב: כל 'עמודה' בהיסטוגרמה מתאימה לתחום ערכים (לא לערך בודד), והעמודות צמודות זו לזו ברצף (בלי רווחים ביניהן, כי הן מייצגות המשכיות של ערכים ולא קטגוריות נפרדות). היתרון של ההיסטוגרמה הוא שהיא מראה בצורה ברורה את צורת ההתפלגות של משתנה רציף - איפה הנתונים מרוכזים ואיפה הם דלילים; החיסרון הוא שהיא מטשטשת את הערכים המדויקים בתוך כל קבוצה (רואים רק את השכיחות של הקבוצה כולה, לא של כל ערך בתוכה).

קריאת גרף לאורך זמן

כשמייצגים משתנה כתלות במשתנה נוסף (למשל כמות כתלות בזמן) באמצעות גרף, אפשר לתאר את התנהגותו בכמה מונחים: עלייה (הערך גדל), ירידה (הערך קטן), או קביעות (הערך לא משתנה) - בכל אחד מקטעי הגרף; נקודות מינימום ומקסימום, שבהן הגרף עובר מירידה לעלייה או להפך; חיוביות ושליליות של הגרף (מעל או מתחת לציר ה-x); ומגמה כללית (העלייה/הירידה/היציבות הכוללת לאורך זמן). אפשר להציג יותר מגרף אחד על אותה מערכת צירים, ולהשוות ביניהם - למשל, כדי למצוא את הזמנים שבהם גרף אחד גבוה יותר מהשני.

בחירת ייצוג מתאים והשוואת קבוצות נתונים

לא כל ייצוג מתאים לכל סוג נתונים או לכל מטרה: כאשר רוצים להראות התפתחות לאורך זמן - גרף הוא הבחירה הטבעית; כאשר רוצים להדגיש חלק יחסי מתוך שלם - דיאגרמת עיגול מתאימה יותר; וכאשר רוצים להשוות בין כמה קטגוריות נפרדות - דיאגרמת עמודות עדיפה. חשוב לדעת גם לעבור בין ייצוגים שונים של אותם נתונים (למשל מטבלת שכיחויות לדיאגרמת עמודות), ולנמק מדוע ייצוג מסוים מתאים יותר במצב נתון. כדי להשוות בין שני אוספי נתונים (או יותר) בעלי גדלים שונים, לרוב עדיף להשתמש בטבלאות שכיחות יחסית (ולא מוחלטת) או בדיאגרמת עמודות כפולה המבוססת על אחוזים - כדי שההשוואה תהיה הוגנת ולא תוטה בגלל הבדל בגודל המדגמים.

דוגמאות פתורות

בבדיקת ציונים של 10 תלמידים בחידון, התקבלו הציונים הבאים: 80,90,80,70,90,90,80,100,70,80. בנו טבלת שכיחויות מוחלטות וטבלת שכיחויות יחסיות (באחוזים) עבור נתונים אלה.

  1. סופרים כמה פעמים מופיע כל ציון: 70 מופיע 2 פעמים, 80 מופיע 4 פעמים, 90 מופיע 3 פעמים, 100 מופיע פעם אחת. סך הכול: 2+4+3+1=10 ✓ (מספר התלמידים).
  2. טבלת שכיחויות מוחלטות: 70:2, 80:4, 90:3, 100:1.
  3. שכיחות יחסית באחוזים = (שכיחות מוחלטת/10)·100%: עבור 70: (2/10)·100%=20%. עבור 80: (4/10)·100%=40%. עבור 90: (3/10)·100%=30%. עבור 100: (1/10)·100%=10%.
  4. בדיקה: 20%+40%+30%+10%=100% ✓.

תשובה: שכיחויות מוחלטות: 70:2, 80:4, 90:3, 100:1. שכיחויות יחסיות: 70:20%, 80:40%, 90:30%, 100:10%.

עבור טבלת השכיחויות היחסיות מהדוגמה הקודמת (70:20%, 80:40%, 90:30%, 100:10%), חשבו את זווית הפרוסה המתאימה לכל ציון בדיאגרמת עיגול.

  1. זווית = 360°·שכיחות יחסית (כשבר, לא באחוזים).
  2. 70: 360°·0.20 = 72°.
  3. 80: 360°·0.40 = 144°.
  4. 90: 360°·0.30 = 108°.
  5. 100: 360°·0.10 = 36°.
  6. בדיקה: 72+144+108+36 = 360° ✓ (סכום הזוויות בעיגול שלם).

תשובה: זוויות הפרוסות: 70°→72°, 80°→144°, 90°→108°, 100°→36°.

40 תלמידים נבדקו על זמן פתרון חידה (בדקות), ותועדו בטבלת שכיחויות עם קבוצות שוות רוחב: [0,10):5 תלמידים, [10,20):12 תלמידים, [20,30):18 תלמידים, [30,40):5 תלמידים. חשבו את השכיחות היחסית (באחוזים) של כל קבוצה, וקבעו איזו קבוצה הכי שכיחה.

  1. סך התלמידים: 5+12+18+5=40 ✓.
  2. שכיחות יחסית: [0,10): (5/40)·100%=12.5%. [10,20): (12/40)·100%=30%. [20,30): (18/40)·100%=45%. [30,40): (5/40)·100%=12.5%.
  3. בדיקה: 12.5+30+45+12.5=100% ✓.
  4. הקבוצה עם השכיחות הגבוהה ביותר היא [20,30) דקות, עם 45% מהתלמידים.

תשובה: שכיחויות יחסיות: 12.5%, 30%, 45%, 12.5% (לפי הסדר). הקבוצה השכיחה ביותר: [20,30) דקות.

תרגול

1. בחניון נספרו צבעי רכבים: אדום 8, כחול 12, לבן 20, שחור 10 (סך הכול 50 רכבים). חשבו את טבלת השכיחויות היחסיות (באחוזים).תרגול
  1. סך הכול 8+12+20+10=50 ✓.
  2. אדום: (8/50)·100%=16%. כחול: (12/50)·100%=24%. לבן: (20/50)·100%=40%. שחור: (10/50)·100%=20%.
  3. בדיקה: 16+24+40+20=100% ✓.

תשובה: אדום 16%, כחול 24%, לבן 40%, שחור 20%.

2. ציוני מבחן של 30 תלמידים חולקו לקבוצות: [60,70):5, [70,80):8, [80,90):10, [90,100]:7. בנו טבלת שכיחויות מצטברות.תרגול
  1. שכיחות מצטברת עד סוף כל קבוצה: [60,70): 5.
  2. [60,80): 5+8=13.
  3. [60,90): 13+10=23.
  4. [60,100]: 23+7=30 (כל התלמידים, כמצופה).

תשובה: שכיחויות מצטברות: 5, 13, 23, 30.

3. בטבלת שכיחויות יחסיות, קטגוריה מסוימת מהווה 25% מהנתונים. מהי זווית הפרוסה המתאימה לה בדיאגרמת עיגול?תרגול
  1. זווית = 360°·0.25 = 90°.

תשובה: 90°.

4. חברה רוצה להציג את מגמת המכירות שלה ב-12 החודשים האחרונים. איזה ייצוג גרפי מתאים ביותר למטרה זו - גרף, דיאגרמת עמודות, או דיאגרמת עיגול? נמקו.שאלה בהקשר
  1. רוצים להראות איך המכירות משתנות לאורך זמן (12 חודשים רצופים) - כלומר את המגמה: עלייה, ירידה או יציבות.
  2. גרף (עם ציר זמן אופקי) הוא הכלי המתאים ביותר להראות שינוי רציף לאורך זמן, כולל עליות, ירידות ונקודות קיצון.
  3. דיאגרמת עיגול מתאימה להראות חלק יחסי מתוך שלם באותו רגע בזמן, ולא מגמה לאורך זמן - ולכן פחות מתאימה כאן.

תשובה: גרף (לפי ציר זמן) - כי המטרה היא להראות שינוי ומגמה לאורך זמן, ולא להשוות קטגוריות בודדות או להראות חלק יחסי מתוך שלם.

5. בכיתה נערכה הצבעה על הספורט האהוב, בהשוואה בין בנים לבנות: כדורגל - 12 בנים, 5 בנות; כדורסל - 6 בנים, 9 בנות; שחייה - 2 בנים, 6 בנות. (א) איזה ספורט הכי פופולרי בקרב הבנות? (ב) האם נכון להשוות ישירות בין המספרים המוחלטים של בנים ובנות בכל ענף, אם יש 20 בנים ו-20 בנות בכיתה? הסבירו.שאלה בהקשר
  1. (א) בין הבנות: כדורגל 5, כדורסל 9, שחייה 6. המספר הגבוה ביותר הוא 9 - כדורסל.
  2. (ב) מכיוון שיש 20 בנים ו-20 בנות (אותו גודל קבוצה), השוואה ישירה של המספרים המוחלטים אכן הוגנת במקרה זה.
  3. אם גודלי הקבוצות היו שונים, היה צריך לעבור לשכיחות יחסית (אחוזים) כדי שההשוואה תהיה הוגנת.

תשובה: (א) כדורסל (9 בנות). (ב) כן, ההשוואה הישירה הוגנת כאן כי גודלי הקבוצות (20 בנים, 20 בנות) שווים.

6. בהיסטוגרמה של זמני ריצה (בדקות) ל-50 רצים, הקבוצה [25,30) דקות כוללת 20 רצים. איזה אחוז מכלל הרצים זה מהווה?תרגול
  1. (20/50)·100% = 40%.

תשובה: 40%.

7. מדוע כדי להשוות בין תוצאות מבחן בכיתה א' (25 תלמידים) לתוצאות אותו מבחן בכיתה ב' (40 תלמידים), עדיף להשתמש בטבלאות שכיחות יחסית ולא בטבלאות שכיחות מוחלטת?שאלה בהקשר
  1. טבלת שכיחות מוחלטת מציגה את מספר התלמידים בפועל - אך כיתה ב' גדולה יותר, ולכן סביר שיהיו בה יותר תלמידים בכל טווח ציונים גם אם ההתפלגות דומה.
  2. שכיחות יחסית (אחוזים) מבטלת את ההשפעה של הבדלי הגודל בין הכיתות, ומאפשרת להשוות את 'החלק היחסי' מכל כיתה בכל טווח ציונים - השוואה הוגנת יותר.

תשובה: כי גודלי הכיתות שונים; שכיחות יחסית (אחוזים) מנטרלת את ההשפעה של הבדל הגודל ומאפשרת השוואה הוגנת.

לזכירה

  • טבלת שכיחויות אפשר לבנות כמוחלטת (מספרים), יחסית (חלק/אחוז מהשלם) או מצטברת (סכום עד כל ערך). בנתונים רציפים מקובל לארגן בקבוצות שוות רוחב.
  • דיאגרמת עמודות (רגילה/כפולה) מתאימה למשתנה איכותי או כמותי בדיד; דיאגרמת עיגול מציגה חלק יחסי מתוך שלם, כאשר זווית כל פרוסה = 360°·שכיחות יחסית.
  • היסטוגרמה מתאימה למשתנה כמותי רציף המאורגן בקבוצות שוות רוחב - העמודות צמודות זו לזו ללא רווחים.
  • בגרף לאורך זמן בודקים עלייה/ירידה/קביעות, נקודות מינימום/מקסימום, חיוביות/שליליות ומגמה כללית; אפשר להציג כמה גרפים על אותה מערכת צירים ולהשוות ביניהם.
  • כדי להשוות בין קבוצות נתונים בגדלים שונים, יש להשתמש בשכיחות יחסית (אחוזים) ולא בשכיחות מוחלטת - כדי שההשוואה תהיה הוגנת.
הקודםהמשתנההבאעיבוד הנתונים