טריגונומטריה במישור
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! חשבו על sin, cos ו-tan כמו על 'טביעת אצבע' של זווית - לכל זווית יש שלושה מספרים קבועים שהיא 'נושאת איתה' בכל משולש ישר זווית שבו היא מופיעה, לא משנה כמה גדול או קטן המשולש. שלוש הזוויות 30°, 45° ו-60° הן כמו חברות ותיקות - כדאי להכיר את הערכים המדויקים שלהן בעל פה, כי הן חוזרות המון. וכשמגיעה זווית קהה או שרוצים למצוא זווית לא 'עגולה' - שם בדיוק נכנס המחשבון לתמונה. הכלל הכי חשוב לזכור: כשאתם יכולים להישאר עם מספר מדויק (כמו √3/2), השאירו אותו כך, ורק כשממש מבקשים למצוא זווית ממחשבון - שם מותר קירוב.
הפונקציות הטריגונומטריות של זווית חדה
במשולש ישר זווית, לכל זווית חדה α מגדירים שלוש פונקציות טריגונומטריות, כיחסים בין צלעות המשולש: הסינוס של α הוא היחס בין הניצב שמול הזווית ליתר (sinα = ניצב נגדי / יתר); הקוסינוס הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית ליתר (cosα = ניצב סמוך / יתר); והטנגנס הוא היחס בין הניצב שמול הזווית לניצב הסמוך לה (tanα = ניצב נגדי / ניצב סמוך). באמצעות דמיון משולשים אפשר להוכיח שהיחסים האלה תלויים רק בגודל הזווית α עצמה, ולא בגודל המשולש - כי כל שני משולשים ישרי זווית עם אותה זווית חדה הם משולשים דומים, ולכן היחסים בין הצלעות המתאימות שווים בשניהם. הערה חשובה: בתכנית זו מודדים זוויות תמיד במעלות, ולא ברדיאנים.
איך משתנות הפונקציות הטריגונומטריות
כאשר הזווית החדה α גדלה בתחום שבין 0° ל-90°, ערכי הסינוס גדלים בהתמדה מ-0 עד 1; ערכי הקוסינוס קטנים בהתמדה מ-1 עד 0 (התנהגות הפוכה מהסינוס); וערכי הטנגנס גדלים בהתמדה מ-0 עד אינסוף. אפשר גם להרחיב את הגדרת הפונקציות לזוויות הקצה עצמן: עבור 0° מקבלים sin0°=0 ו-cos0°=1, ועבור 90° מקבלים sin90°=1 ו-cos90°=0. לעומת זאת tan90° אינו מוגדר (כי הוא היה דורש חלוקה ב-cos90°=0). קשר יפה נוסף: הטנגנס של הזווית שיוצר ישר עם ציר ה-x שווה בדיוק לשיפוע של הישר - כך שהטנגנס מחבר בין טריגונומטריה לגאומטריה אנליטית.
זוויות מיוחדות וזהויות בסיסיות
לשלוש הזוויות 'הקלאסיות' 30°, 45° ו-60° יש ערכים מדויקים (לא מקורבים) שכדאי להכיר, ואפשר להוכיח אותם מתכונות של משולש ישר זווית שווה שוקיים (עבור 45°) ומשולש ישר זווית עם זווית 30° (עבור 30° ו-60°): sin30°=1/2, cos30°=√3/2; sin45°=cos45°=√2/2; sin60°=√3/2, cos60°=1/2. בכל זווית חדה α מתקיים גם הקשר tanα = sinα / cosα, וכן הזהות הפיתגורית sin²α + cos²α = 1 (הנובעת ישירות ממשפט פיתגורס, כשמציבים את ניצבי המשולש ביחידות של היתר). שימו לב שכשמדובר בזווית α ובזווית המשלימה לה (90°-α), מתקיימת החלפה נאה: sin(90°-α)=cosα, ו-cos(90°-α)=sinα.
זווית קהה ומציאת זווית ממחשבון
עד כה דיברנו רק על זוויות חדות שבתוך משולש ישר זווית, אבל אפשר להרחיב את הגדרת הסינוס גם לזווית קהה α (זווית שבין 90° ל-180°), לפי הקשר sin(180°-α) = sinα - כלומר, הסינוס של זווית קהה שווה לסינוס של הזווית המשלימה אותה ל-180°. למשל, sin150° = sin(180°-150°) = sin30° = 1/2. כיוון הפוך: כאשר יודעים את ערך הפונקציה הטריגונומטרית של זווית (למשל sinα=0.6) ורוצים למצוא את גודל הזווית עצמה, משתמשים במחשבון (בפעולה ההפוכה - sin⁻¹, cos⁻¹ או tan⁻¹) - וכאן, בשונה מחישובי אורכים מדויקים, מקובל להשתמש בקירוב עשרוני, כי לרוב לא מתקבלת זווית 'עגולה'.
חישובים במשולש ישר זווית ובצורות מורכבות
בעזרת הפונקציות הטריגונומטריות (וגם משפט פיתגורס ותכונות המשולשים שנלמדו) אפשר לחשב אורכים, זוויות, היקף ושטח של משולש ישר זווית מכל נתונים מספיקים עליו. נוסחה שימושית לשטח משולש כלשהו (לא רק ישר זווית), כאשר ידועות שתי צלעות a ו-b והזווית הכלואה ביניהן γ, היא S = (1/2)·a·b·sinγ - נוסחה שמכלילה את הנוסחה הרגילה 'מחצית בסיס כפול גובה'. כלים אלה מאפשרים גם לחשב אורכים, זוויות, היקף ושטח של צורות מורכבות יותר - כל עוד אפשר לפרק אותן, בשלב אחד או בשניים, למשולשים ישרי זווית ו/או למרובעים מוכרים (כמו מלבן או טרפז), ולחשב כל חלק בנפרד.
דוגמאות פתורות
במשולש ישר זווית זווית אחת שווה 30°, והיתר שלו שווה 20 ס"מ. חשבו את שני הניצבים.
- הניצב שמול הזווית 30°: hyp·sin30° = 20·(1/2) = 10 ס"מ.
- הניצב הסמוך לזווית 30°: hyp·cos30° = 20·(√3/2) = 10√3 ס"מ.
תשובה: הניצב שמול הזווית: 10 ס"מ. הניצב הסמוך לה: 10√3 ס"מ.
במשולש ישר זווית, אורכי הניצבים הם 5 ס"מ ו-12 ס"מ (והיתר 13 ס"מ). מצאו, באמצעות מחשבון, את הזווית α שמול הניצב שאורכו 5 ס"מ (עגלו לעשירית המעלה הקרובה).
- sinα = ניצב נגדי/יתר = 5/13.
- α = sin⁻¹(5/13) ≈ 22.6° (באמצעות מחשבון).
תשובה: α ≈ 22.6°.
חשבו את שטח המשולש שצלעותיו 8 ס"מ ו-10 ס"מ, כאשר הזווית הכלואה ביניהן שווה ל-30°.
- משתמשים בנוסחה S = (1/2)·a·b·sinγ, כאשר a=8, b=10, γ=30°.
- S = (1/2)·8·10·sin30° = 40·(1/2) = 20 סמ"ר.
תשובה: S = 20 סמ"ר.
תרגול
1. במשולש ישר זווית זווית אחת שווה 45°, והיתר שלו שווה 8√2 ס"מ. חשבו את אורכי שני הניצבים.תרגול
- במשולש ישר זווית עם זווית 45°, הזווית השלישית היא גם 45° (כי 90+45+45=180), ולכן המשולש שווה שוקיים - שני הניצבים שווים.
- כל ניצב = יתר·sin45° = 8√2·(√2/2).
- 8√2·√2/2 = 8·(√2·√2)/2 = 8·2/2 = 8.
- לכן שני הניצבים שווים ל-8 ס"מ.
תשובה: שני הניצבים שווים, כל אחד 8 ס"מ.
2. במשולש ישר זווית זווית אחת שווה 60°, והניצב הסמוך לה שווה 5 ס"מ. חשבו את הניצב שמול הזווית ואת אורך היתר.תרגול
- הניצב שמול הזווית: tan60° = ניצב נגדי/ניצב סמוך, ולכן ניצב נגדי = 5·tan60° = 5√3 ס"מ.
- היתר: cos60° = ניצב סמוך/יתר, ולכן יתר = ניצב סמוך/cos60° = 5/(1/2) = 10 ס"מ.
תשובה: הניצב הנגדי = 5√3 ס"מ, היתר = 10 ס"מ.
3. נתון כי α זווית חדה, ו-sinα = 3/5. חשבו את cosα באמצעות הזהות sin²α+cos²α=1.תרגול
- sin²α+cos²α=1, ולכן cos²α = 1 - sin²α = 1 - (3/5)² = 1 - 9/25 = 16/25.
- מכיוון ש-α זווית חדה, cosα חיובי: cosα = √(16/25) = 4/5.
תשובה: cosα = 4/5.
4. חשבו את sin150° באמצעות הקשר בין סינוס של זווית קהה לסינוס של הזווית המשלימה ל-180°.תרגול
- לפי ההגדרה, sin(180°-α) = sinα. עבור α=150°, הזווית המשלימה ל-180° היא 180°-150°=30°.
- לכן sin150° = sin30° = 1/2.
תשובה: sin150° = 1/2.
5. חשבו את שטח המשולש שצלעותיו 7 ס"מ ו-9 ס"מ, כאשר הזווית הכלואה ביניהן שווה ל-60°.שאלה בהקשר
- משתמשים בנוסחה S = (1/2)·a·b·sinγ, כאשר a=7, b=9, γ=60°.
- S = (1/2)·7·9·sin60° = (63/2)·(√3/2) = 63√3/4 סמ"ר.
תשובה: S = 63√3/4 סמ"ר.
6. חלקת אדמה בצורת טרפז ישר זווית ABCD, כאשר AB ו-CD הן הצלעות המקבילות (AB=15 מ', CD=9 מ'), והזוויות ב-A וב-D ישרות. גובה הטרפז (הצלע AD) הוא 8 מ'. חשבו את אורך הצלע המשופעת BC, ואת שטח והיקף חלקת האדמה.שאלה בהקשר
- מורידים גובה מהקודקוד C אל הצלע AB, בנקודה E. כך מתקבל מלבן AECD (כי AD⊥AB ו-DC⊥AD), ולכן AE=DC=9 מ' ו-CE=AD=8 מ'.
- EB = AB - AE = 15 - 9 = 6 מ'.
- במשולש ישר זווית CEB: CE=8, EB=6, ולפי משפט פיתגורס BC=√(8²+6²)=√(64+36)=√100=10 מ'.
- שטח הטרפז: S=(1/2)(AB+CD)·גובה = (1/2)(15+9)·8 = (1/2)(24)(8)=96 מ"ר.
- היקף: AB+BC+CD+DA = 15+10+9+8 = 42 מ'.
תשובה: BC=10 מ', שטח החלקה 96 מ"ר, היקף החלקה 42 מ'.
7. במשולש ישר זווית, אורכי הניצבים הם 8 ס"מ ו-15 ס"מ (והיתר 17 ס"מ). חשבו, באמצעות מחשבון, את הזווית שמול הניצב שאורכו 8 ס"מ (עגלו לעשירית המעלה הקרובה).שאלה בהקשר
- הזווית α שמול הניצב 8: sinα = ניצב נגדי/יתר = 8/17.
- α = sin⁻¹(8/17) ≈ 28.1° (באמצעות מחשבון).
תשובה: α ≈ 28.1°.
לזכירה
- בכל משולש ישר זווית, לזווית חדה α מגדירים sinα=ניצב נגדי/יתר, cosα=ניצב סמוך/יתר, tanα=ניצב נגדי/ניצב סמוך - יחסים התלויים רק בגודל α (לא בגודל המשולש), כי כל שני משולשים ישרי זווית עם אותה זווית חדה דומים.
- כש-α גדלה מ-0° ל-90°: sinα עולה מ-0 ל-1, cosα יורד מ-1 ל-0, tanα עולה מ-0 עד אינסוף (ואינו מוגדר ב-90°). tanα שווה גם לשיפוע הישר שיוצר הזווית α עם ציר ה-x.
- ערכים מדויקים לזכור: sin30°=1/2, cos30°=√3/2; sin45°=cos45°=√2/2; sin60°=√3/2, cos60°=1/2. תמיד: sin²α+cos²α=1, ו-sin(90°-α)=cosα.
- לזווית קהה α מגדירים sinα=sin(180°-α). כדי למצוא זווית מתוך ערך טריגונומטרי (למשל sinα=0.6) משתמשים במחשבון - וכאן, בשונה מחישובי אורכים, מותר קירוב עשרוני.
- שטח משולש עם שתי צלעות a,b והזווית הכלואה γ ביניהן: S=(1/2)·a·b·sinγ. צורות מורכבות אפשר לפרק למשולשים ישרי זווית ו/או למרובעים מוכרים ולחשב כל חלק בנפרד.