לומדי

הסתברות

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני שבלול, ואני זוחל לאט ובזהירות - בדיוק כמו שכדאי להתקדם דרך עץ הסתברויות: צעד אחד בכל פעם, ענף אחרי ענף. כל 'מסלול' בעץ הוא בעצם שרשרת של תנאים - קודם קורה משהו, ואז, בהינתן שהוא קרה, קורה משהו נוסף - ולכן מכפילים את ההסתברויות לאורך המסלול. הכלל הכי חשוב לזכור על תלות: אם לדעת ש-B קרה משנה לכם את ההסתברות של A - הם תלויים; ואם זה לא משנה כלום - הם בלתי תלויים. ותמיד שימו לב היטב אם ההסתברות שאתם מחשבים היא 'רגילה' או 'מותנית' - כי P(A/B) ו-P(B/A) הן כמעט תמיד שני מספרים שונים לגמרי.

מרחב מדגם ומאורעות

מרחב המדגם (מסומן לרוב U) הוא קבוצת כל התוצאות האפשריות של ניסוי אקראי - למשל, בהטלת קובייה מרחב המדגם הוא {1,2,3,4,5,6}. מאורע הוא תת-קבוצה של מרחב המדגם - כלומר, קבוצה של תוצאות שמעניינות אותנו (למשל, המאורע 'התקבל מספר זוגי' הוא {2,4,6}). מאורע ודאי הוא מרחב המדגם כולו (חייב לקרות), ומאורע בלתי אפשרי הוא הקבוצה הריקה ∅ (לא יכול לקרות בשום פנים). שני מאורעות נקראים זרים אם אין להם אף תוצאה משותפת (לא יכולים לקרות יחד באותו ניסוי), ומאורעות משלימים הם שני מאורעות שיחד מכסים את כל מרחב המדגם ואין להם אף תוצאה משותפת - כלומר, בדיוק אחד מהם קורה תמיד. שתי פעולות בסיסיות בין מאורעות הן איחוד (A∪B - כל התוצאות ששייכות ל-A או ל-B או לשניהם) וחיתוך (A∩B - רק התוצאות ששייכות גם ל-A וגם ל-B); לרוב נעזרים בדיאגרמת ון כדי להמחיש אותן.

הגדרת ההסתברות וחוקי ההסתברות

ההסתברות של מאורע A, מסומנת P(A), מודדת את הסיכוי שהוא יתרחש - ואפשר לחשב אותה כשכיחות יחסית (מספר התוצאות השייכות ל-A, חלקי מספר כל התוצאות במרחב המדגם - כאשר כל התוצאות שוות סיכוי) או, במקרים גיאומטריים, כיחס שטחים. מכאן נובעים כמה חוקי הסתברות בסיסיים: ההסתברות של כל מאורע נמצאת בין 0 ל-1 (0 ≤ P(A) ≤ 1); ההסתברות של המאורע הוודאי היא 1 (P(U)=1); ההסתברות של המאורע הבלתי אפשרי היא 0 (P(∅)=0); אם A מוכל ב-B, אז P(A) ≤ P(B); ההסתברות של המאורע המשלים ל-A היא P(A')=1-P(A). לגבי איחוד מאורעות: לכל שני מאורעות A ו-B מתקיים P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) (כי כשמחברים את שתי ההסתברויות, החיתוך ביניהם נספר פעמיים, ולכן צריך לחסר אותו פעם אחת); אם A ו-B מאורעות זרים (החיתוך ביניהם ריק), הנוסחה מתפשטת ל-P(A∪B)=P(A)+P(B); ובאופן כללי, לכל אוסף של מאורעות זרים בזוגות A1,A2,...,An מתקיים P(A1∪A2∪...∪An) = P(A1)+P(A2)+...+P(An).

הסתברות מותנית

הסתברות מותנית P(A/B) מודדת את ההסתברות שהמאורע A יתרחש, בהינתן שכבר ידוע שהמאורע B התרחש - כלומר, 'מצמצמים' את מרחב המדגם רק לתוצאות של B, ובודקים איזה חלק מהן שייך גם ל-A. באופן פורמלי, P(A/B) = P(A∩B) / P(B) (כאשר P(B)≠0). חשוב להבחין בין P(A/B) לבין P(B/A) - אלה שתי הסתברויות שונות בדרך כלל (למעט מקרים פרטיים), כי בכל אחת מהן 'מצמצמים' את מרחב המדגם למאורע אחר. דרך נוחה להציג ולחשב הסתברויות מותנות היא באמצעות טבלה דו-ממדית (למשל 2×2 או 2×3), שבה כל תא מציג את מספר (או הסתברות) התוצאות בחיתוך שתי קטגוריות - שורה מסוימת ועמודה מסוימת.

נוסחת ההסתברות השלמה ונוסחת בייס

כאשר מאורע A יכול להתרחש בכמה 'דרכים' התלויות במאורע נוסף B (ובמשלים שלו B'), אפשר לחשב את ההסתברות הכוללת של A באמצעות נוסחת ההסתברות השלמה: P(A) = P(A/B)·P(B) + P(A/B')·P(B') - למעשה, ממוצע משוקלל של ההסתברויות המותנות החלקיות, לפי המשקל (ההסתברות) של כל תרחיש. נוסחת בייס מאפשרת 'להפוך כיוון' בין שתי הסתברויות מותנות, ומבוססת על כך ששני האגפים של ההגדרה שווים ל-P(A∩B): P(A/B)·P(B) = P(B/A)·P(A).

ניסוי רב-שלבי, עץ הסתברויות ומאורעות בלתי תלויים

כשניסוי מורכב מכמה שלבים עוקבים (למשל, הגרלת שני כדורים בזה אחר זה), נוח לייצג אותו באמצעות עץ הסתברויות: מכל 'צומת' יוצאים ענפים לכל התוצאות האפשריות באותו שלב, וכל ענף מסומן בהסתברות שלו (בשלבים שאחרי הראשון - זוהי הסתברות מותנית, בהינתן מה שקרה בשלבים הקודמים). ההסתברות של 'מסלול' שלם בעץ (רצף תוצאות בכל השלבים) מתקבלת מכפל ההסתברויות המסומנות על הענפים לאורך אותו מסלול - וזהו למעשה שימוש בהגדרת ההסתברות המותנית. אפשר לייצג בעזרת עץ גם מאורעות רב-שלביים (דו-שלביים או תלת-שלביים). שני מאורעות A ו-B נקראים בלתי תלויים אם התרחשות אחד מהם לא משנה את ההסתברות של השני - ויש שלוש דרכים שקולות לבדוק זאת: (1) P(A/B) = P(A); (2) P(A∩B) = P(A)·P(B); (3) P(A/B) = P(A/B') (ההסתברות של A זהה בין אם B התרחש ובין אם לא). שלושת התנאים שקולים זה לזה: אם P(A/B)=P(A), אז לפי הגדרת ההסתברות המותנית P(A∩B)=P(A/B)·P(B)=P(A)·P(B) - וזה בדיוק התנאי השני; ואם P(A∩B)=P(A)·P(B), אפשר להראות גם ש-P(A/B')=P(A) (כי P(A) הוא ממוצע משוקלל של P(A/B) ו-P(A/B'), ואם אחד מהם שווה ל-P(A) אז גם השני). אם המאורעות אינם בלתי תלויים, קוראים להם מאורעות תלויים.

דוגמאות פתורות

בשקית יש 5 כדורים אדומים, 3 כדורים כחולים ו-2 כדורים ירוקים (10 כדורים בסך הכול). מגרילים כדור אחד באקראי. יהי A המאורע 'הכדור אדום' ו-B המאורע 'הכדור כחול'. חשבו את P(A), P(B), P(A∪B) ו-P(A') (המאורע המשלים ל-A).

  1. P(A) = מספר הכדורים האדומים / סך הכדורים = 5/10 = 1/2.
  2. P(B) = 3/10.
  3. A ו-B זרים (כדור בודד לא יכול להיות גם אדום וגם כחול), ולכן P(A∪B) = P(A)+P(B) = 1/2 + 3/10 = 5/10+3/10 = 8/10 = 4/5.
  4. P(A') = 1 - P(A) = 1 - 1/2 = 1/2 (וזה אכן שווה להסתברות 'לא אדום', כלומר כחול או ירוק: 3/10+2/10=5/10=1/2 ✓).

תשובה: P(A)=1/2, P(B)=3/10, P(A∪B)=4/5, P(A')=1/2.

בסקר בקרב 100 תלמידים: 60 לומדים מתמטיקה מוגברת, ומתוכם 45 לומדים גם פיזיקה מוגברת. מבין 40 התלמידים שאינם לומדים מתמטיקה מוגברת, 10 לומדים פיזיקה מוגברת. בנו טבלה דו-ממדית, וחשבו את P(פיזיקה/מתמטיקה) ואת P(מתמטיקה/פיזיקה).

  1. בונים טבלה: מתמטיקה ופיזיקה: 45. מתמטיקה ולא-פיזיקה: 60-45=15. לא-מתמטיקה ופיזיקה: 10. לא-מתמטיקה ולא-פיזיקה: 40-10=30.
  2. סך לומדי פיזיקה: 45+10=55. סך לא לומדי פיזיקה: 15+30=45. סך הכול: 55+45=100 ✓.
  3. P(פיזיקה/מתמטיקה) = מספר הלומדים גם מתמטיקה וגם פיזיקה / מספר לומדי מתמטיקה = 45/60 = 3/4.
  4. P(מתמטיקה/פיזיקה) = מספר הלומדים גם מתמטיקה וגם פיזיקה / מספר לומדי פיזיקה = 45/55 = 9/11.
  5. שימו לב: 3/4 ≠ 9/11 - אלו שתי הסתברויות מותנות שונות, למרות שהמונה זהה.

תשובה: P(פיזיקה/מתמטיקה) = 3/4. P(מתמטיקה/פיזיקה) = 9/11 - שתי הסתברויות שונות.

בקופסה 4 כדורים אדומים ו-6 כדורים כחולים (10 בסך הכול). מגרילים שני כדורים בזה אחר זה, בלי החזרה. (א) בנו עץ הסתברויות עבור שני השלבים. (ב) חשבו את ההסתברות ששני הכדורים אדומים. (ג) בדקו האם המאורעות 'הכדור הראשון אדום' ו'הכדור השני אדום' הם מאורעות בלתי תלויים.

  1. שלב ראשון: P(אדום)=4/10=2/5, P(כחול)=6/10=3/5.
  2. אם הכדור הראשון אדום נותרו 3 אדומים ו-6 כחולים (9 בסך הכול): P(אדום/אדום)=3/9=1/3, P(כחול/אדום)=6/9=2/3.
  3. אם הכדור הראשון כחול נותרו 4 אדומים ו-5 כחולים (9 בסך הכול): P(אדום/כחול)=4/9, P(כחול/כחול)=5/9.
  4. (ב) P(שני אדומים) = P(אדום ראשון)·P(אדום שני/אדום ראשון) = (2/5)·(1/3) = 2/15.
  5. (ג) לפי נוסחת ההסתברות השלמה: P(כדור שני אדום) = P(אדום)·P(אדום/אדום) + P(כחול)·P(אדום/כחול) = (2/5)(1/3) + (3/5)(4/9) = 2/15 + 12/45 = 6/45+12/45 = 18/45 = 2/5.
  6. משווים: P(כדור שני אדום) = 2/5, אך P(כדור שני אדום / כדור ראשון אדום) = 1/3 - שני מספרים שונים (2/5 ≠ 1/3), ולכן המאורעות תלויים (וזה הגיוני - כי הגרלנו בלי החזרה, ולכן הכדור הראשון משנה את ההרכב שנותר בקופסה).

תשובה: (ב) P(שני אדומים) = 2/15. (ג) המאורעות תלויים, כי P(אדום שני)=2/5 שונה מ-P(אדום שני/אדום ראשון)=1/3.

תרגול

1. מטילים קובייה הוגנת פעם אחת. יהי A המאורע 'התקבל מספר זוגי'. חשבו את P(A) ואת P(A') (המאורע המשלים).תרגול
  1. מרחב המדגם {1,2,3,4,5,6}, 6 תוצאות שוות סיכוי. A={2,4,6}, כלומר 3 תוצאות.
  2. P(A)=3/6=1/2.
  3. P(A')=1-1/2=1/2.

תשובה: P(A)=1/2, P(A')=1/2.

2. מגרילים כרטיס אחד מתוך 20 כרטיסים ממוספרים 1 עד 20. יהי A המאורע 'המספר כפולה של 5' ו-B המאורע 'המספר כפולה של 7'. הראו ש-A ו-B זרים, וחשבו את P(A∪B).תרגול
  1. A={5,10,15,20}, כלומר P(A)=4/20=1/5.
  2. B={7,14}, כלומר P(B)=2/20=1/10.
  3. A ו-B זרים כי אין מספר בין 1 ל-20 שהוא גם כפולה של 5 וגם כפולה של 7 (הכפולה המשותפת הראשונה היא 35, מחוץ לתחום).
  4. לכן P(A∪B) = P(A)+P(B) = 1/5+1/10 = 2/10+1/10 = 3/10.

תשובה: P(A∪B)=3/10.

3. בכיתה של 40 תלמידים, 25 לומדים אנגלית ברמה מוגברת (A), 15 לומדים צרפתית (B), ו-8 לומדים את שתי השפות. מגרילים תלמיד אחד באקראי. חשבו את P(A∪B) - ההסתברות שהתלמיד לומד לפחות שפה אחת מהשתיים.תרגול
  1. P(A)=25/40, P(B)=15/40, P(A∩B)=8/40.
  2. A ו-B אינם זרים (יש חפיפה של 8 תלמידים), ולכן משתמשים בנוסחה הכללית: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) = 25/40+15/40-8/40 = 32/40 = 4/5.

תשובה: P(A∪B)=4/5.

4. בסקר בקרב 50 אנשים, 30 אוהבים קפה, ומתוכם 18 אוהבים גם תה. חשבו את P(אוהב תה / אוהב קפה).תרגול
  1. P(תה/קפה) = מספר האוהבים גם תה וגם קפה / מספר האוהבים קפה = 18/30 = 3/5.

תשובה: 3/5.

5. במפעל מיוצרים 200 פריטים: 120 על ידי מכונה A, ו-80 על ידי מכונה B. נמצא כי מתוך תוצרת מכונה A, 6 פריטים פגומים; מתוך תוצרת מכונה B, 4 פריטים פגומים. בוחרים פריט אחד באקראי מתוך ה-200. (א) בנו טבלה דו-ממדית. (ב) חשבו את P(פגום). (ג) חשבו את P(מכונה A/פגום). (ד) האם המאורעות 'יוצר על ידי מכונה A' ו'פגום' בלתי תלויים?שאלה בהקשר
  1. (א) A ופגום: 6. A ולא-פגום: 120-6=114. B ופגום: 4. B ולא-פגום: 80-4=76. סך פגומים: 6+4=10. סך לא-פגומים: 114+76=190. סך הכול: 200 ✓.
  2. (ב) P(פגום) = 10/200 = 1/20.
  3. (ג) P(A/פגום) = 6/10 = 3/5.
  4. (ד) בודקים אם P(A∩פגום) = P(A)·P(פגום): P(A)=120/200=3/5. P(A)·P(פגום) = (3/5)·(1/20) = 3/100. P(A∩פגום) = 6/200 = 3/100. שני הצדדים שווים (3/100=3/100), ולכן המאורעות בלתי תלויים.

תשובה: (ב) P(פגום)=1/20. (ג) P(A/פגום)=3/5. (ד) בלתי תלויים, כי P(A∩פגום)=P(A)·P(פגום)=3/100.

6. בחברה, 60% מהמוצרים מגיעים מספק X ו-40% מספק Y. 5% ממוצרי ספק X פגומים, ו-10% ממוצרי ספק Y פגומים. בוחרים מוצר אקראי. באמצעות נוסחת ההסתברות השלמה, חשבו את ההסתברות שהמוצר שנבחר פגום.שאלה בהקשר
  1. P(פגום) = P(פגום/X)·P(X) + P(פגום/Y)·P(Y).
  2. = 0.05·0.6 + 0.10·0.4 = 0.03 + 0.04 = 0.07.

תשובה: P(פגום) = 0.07 (כלומר 7%).

7. בשקית 3 כדורים אדומים ו-5 כדורים לבנים (8 בסך הכול). מגרילים שני כדורים בזה אחר זה, בלי החזרה. בנו עץ הסתברויות וחשבו: (א) P(שני הכדורים לבנים). (ב) P(בדיוק כדור אחד אדום).שאלה בהקשר
  1. שלב ראשון: P(אדום)=3/8, P(לבן)=5/8.
  2. אם הראשון אדום, נותרו 2 אדומים ו-5 לבנים (7 בסך הכול): P(אדום/אדום)=2/7, P(לבן/אדום)=5/7.
  3. אם הראשון לבן, נותרו 3 אדומים ו-4 לבנים (7 בסך הכול): P(אדום/לבן)=3/7, P(לבן/לבן)=4/7.
  4. (א) P(שני לבנים) = P(לבן)·P(לבן/לבן) = (5/8)·(4/7) = 20/56 = 5/14.
  5. (ב) בדיוק כדור אחד אדום = (אדום ואז לבן) או (לבן ואז אדום): (3/8)(5/7) + (5/8)(3/7) = 15/56+15/56 = 30/56 = 15/28.

תשובה: (א) 5/14. (ב) 15/28.

8. נתון P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A∩B)=0.2. בדקו האם A ו-B מאורעות בלתי תלויים, והוכיחו את תשובתכם באמצעות שני תנאים שונים לבדיקת אי-תלות.שאלה בהקשר
  1. תנאי ראשון: P(A)·P(B) = 0.4·0.5 = 0.2 = P(A∩B) - מתקיים, כלומר בלתי תלויים.
  2. תנאי שני (לבדיקה נוספת): P(A/B) = P(A∩B)/P(B) = 0.2/0.5 = 0.4 = P(A) - מתקיים גם כן, ומאשר שוב שהמאורעות בלתי תלויים.

תשובה: A ו-B בלתי תלויים - מתקיים גם P(A∩B)=P(A)·P(B) וגם P(A/B)=P(A).

לזכירה

  • מרחב מדגם = כל התוצאות האפשריות; מאורע = תת-קבוצה שלו. מאורעות זרים - אין ביניהם תוצאה משותפת; מאורעות משלימים - יחד מכסים את הכול ואין חפיפה.
  • 0≤P(A)≤1, P(U)=1, P(∅)=0, P(A')=1-P(A). לאיחוד: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B), ולמאורעות זרים P(A∪B)=P(A)+P(B).
  • הסתברות מותנית: P(A/B)=P(A∩B)/P(B). חשוב: P(A/B) ו-P(B/A) הן בדרך כלל הסתברויות שונות. טבלה דו-ממדית עוזרת לארגן ולחשב אותן.
  • נוסחת ההסתברות השלמה: P(A)=P(A/B)·P(B)+P(A/B')·P(B'). נוסחת בייס: P(A/B)·P(B)=P(B/A)·P(A) - מאפשרת 'להפוך' בין הסתברויות מותנות.
  • בניסוי רב-שלבי בונים עץ הסתברויות: מכפילים הסתברויות (חלקן מותנות) לאורך מסלול. שני מאורעות בלתי תלויים אם ורק אם מתקיים P(A/B)=P(A) (ובאופן שקול P(A∩B)=P(A)·P(B), או P(A/B)=P(A/B')).
הקודםעיבוד הנתונים