מקומות גאומטריים, נקודות מיוחדות במשולש ומשפט חפיפה רביעי
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! מקום גאומטרי הוא רעיון יפה: במקום לתאר נקודה בודדת, מתארים "חוק" שכל הנקודות שמצייתות לו יוצרות יחד צורה - מעגל, אנך למרכז קטע, או חוצה זווית. וכל משולש מסתיר בתוכו ארבע נקודות מיוחדות: מרכז המעגל החוסם, מרכז המעגל החסום, מרכז הכובד, ומרכז הגבהים - כל אחת נולדת מקבוצה אחרת של שלושה קווים מיוחדים שתמיד נפגשים באותה נקודה. וזכרו את הטריק המהיר לזהות משולש ישר-זווית בלי למדוד זוויות בכלל: פשוט לבדוק אם סכום ריבועי שתי הצלעות הקטנות שווה לריבוע הגדולה.
מהו מקום גאומטרי?
מקום גאומטרי הוא קבוצת כל הנקודות במישור שמקיימות תכונה מסוימת. ארבע דוגמאות יסודיות: מעגל הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן ממרכז נתון שווה לרדיוס נתון. האנך למרכז קטע (אמצע-האנך) הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות השוות מרחק משתי נקודות הקצה של הקטע. חוצה זווית הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות השוות מרחק משתי הקרניים של הזווית. ישר מקביל לישר נתון, במרחק קבוע ממנו, הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות השוות מרחק מהישר הנתון.
ארבע נקודות מיוחדות במשולש
שלושת האנכים למרכזי הצלעות של משולש (שלושת אמצעי-האנך) נפגשים תמיד בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש (העובר דרך שלושת קודקודיו). שלושת חוצי הזוויות של משולש נפגשים תמיד בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש (המשיק לשלוש צלעותיו). שלושת התיכונים של משולש נפגשים בנקודה אחת הנקראת מרכז הכובד, והיא מחלקת כל תיכון ביחס 2:1, כך שהחלק הקרוב לקודקוד גדול פי שניים מהחלק הקרוב לצלע. שלושת הגבהים של משולש נפגשים גם הם בנקודה אחת. לכל משולש (מכל סוג) אפשר לבנות גם מעגל חוסם וגם מעגל חסום.
משפט החפיפה הרביעי
משפט: אם בשני משולשים שתי צלעות שוות בהתאמה, והזוויות שמול הצלעות הגדולות שוות זו לזו, אז שני המשולשים חופפים. חשוב להבחין: זה לא נכון באופן כללי אם הזווית הנתונה היא זו שמול הצלע הקטנה יותר - במקרה הזה אי אפשר להסיק חפיפה (יש דוגמאות נגדיות: שני משולשים לא חופפים שבהם שתי צלעות שוות והזווית שמול הצלע הקטנה שווה). שימוש נפוץ במשפט: במשולש ישר-זווית, הזווית הישרה תמיד נמצאת מול הצלע הגדולה ביותר (היתר) - ולכן אם בשני משולשים ישרי-זווית היתר וניצב שווים בהתאמה, המשולשים חופפים (זהו מקרה פרטי של המשפט).
המשפט ההפוך למשפט פיתגורס
משפט פיתגורס עצמו קובע: במשולש ישר-זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. ההפוך שלו גם נכון, וזה כלי שימושי מאוד לזיהוי משולש ישר-זווית: משולש שבו סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית הוא משולש ישר-זווית (והזווית הישרה נמצאת מול הצלע השלישית הזו, שהיא הגדולה ביותר).
דוגמאות פתורות
משולש שצלעותיו 6 ס"מ, 8 ס"מ ו-10 ס"מ. קבעו אם הוא משולש ישר-זווית.
- בודקים את הצלע הגדולה ביותר (10) מול סכום ריבועי שתי האחרות: 6²+8²=36+64=100.
- משווים ל-10²=100.
- הסכום שווה בדיוק לריבוע הצלע הגדולה.
תשובה: לפי המשפט ההפוך למשפט פיתגורס, זהו משולש ישר-זווית, והזווית הישרה נמצאת מול הצלע 10 ס"מ.
במשולש ABC, AM הוא תיכון (M אמצע BC), ואורכו 12 ס"מ. מרכז הכובד G נמצא על AM. מצאו את AG ואת GM.
- מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס 2:1, כשהחלק הקרוב לקודקוד (AG) גדול פי שניים מהחלק הקרוב לצלע (GM).
- כלומר AG=2·GM, וגם AG+GM=12.
- מציבים: 2·GM+GM=12 ⟹ 3·GM=12 ⟹ GM=4.
- ולכן AG=2×4=8.
תשובה: AG=8 ס"מ, GM=4 ס"מ.
משולשים ישרי-זווית ABC ו-DEF, שבהם הזווית הישרה נמצאת בקודקוד C ובקודקוד F בהתאמה. נתון AB=DE=13 (היתרים), ו-BC=EF=5 (ניצבים). הוכיחו שהמשולשים חופפים.
- בכל משולש ישר-זווית, הזווית הישרה נמצאת מול היתר - הצלע הגדולה ביותר.
- נתון: שתי צלעות שוות בהתאמה (AB=DE, BC=EF), והזוויות שמול הצלעות הגדולות (הזוויות הישרות ב-C וב-F, שמול היתרים AB ו-DE) שוות זו לזו (שתיהן 90°).
- אלה בדיוק תנאי משפט החפיפה הרביעי: שתי צלעות שוות, והזווית שמול הצלע הגדולה שווה.
תשובה: לפי משפט החפיפה הרביעי, המשולשים ABC ו-DEF חופפים.
תרגול
1. משולש שצלעותיו 5 ס"מ, 12 ס"מ ו-13 ס"מ. קבעו אם הוא משולש ישר-זווית.תרגול
- בודקים: 5²+12²=25+144=169.
- משווים ל-13²=169.
- הסכום שווה בדיוק.
תשובה: כן, זהו משולש ישר-זווית (הזווית הישרה מול הצלע 13).
2. משולש שצלעותיו 7 ס"מ, 8 ס"מ ו-9 ס"מ. קבעו אם הוא משולש ישר-זווית.תרגול
- בודקים: 7²+8²=49+64=113.
- משווים ל-9²=81.
- 113≠81.
תשובה: לא, זה אינו משולש ישר-זווית.
3. תיכון במשולש שאורכו 15 ס"מ. מצאו את המרחק מהקודקוד למרכז הכובד, ואת המרחק ממרכז הכובד לאמצע הצלע.תרגול
- היחס הוא 2:1, כלומר AG=2·GM וגם AG+GM=15.
- 2·GM+GM=15 ⟹ GM=5, AG=10.
תשובה: מהקודקוד למרכז הכובד: 10 ס"מ. ממרכז הכובד לאמצע הצלע: 5 ס"מ.
4. מהו המקום הגאומטרי של כל הנקודות השוות מרחק משתי הנקודות A ו-B?תרגול
- לפי הגדרת המקום הגאומטרי, מחפשים תכונה משותפת - כאן, מרחק שווה משתי נקודות נתונות.
- זו בדיוק ההגדרה של אמצע-האנך לקטע AB.
תשובה: אמצע-האנך (האנך למרכז) של הקטע AB.
5. בשלושה חוצי הזוויות של משולש נפגשים בנקודה I. איך נקראת נקודה זו, ומהי התכונה המיוחדת של המעגל שסביבה?שאלה בהקשר
- שלושת חוצי הזוויות של משולש נפגשים תמיד בנקודה אחת.
- נקודה זו היא מרכז המעגל החסום במשולש.
- המעגל סביבה משיק לשלוש צלעות המשולש (נוגע בכל צלע בנקודה אחת בלבד).
תשובה: I היא מרכז המעגל החסום; המעגל סביבה משיק לשלוש צלעות המשולש.
6. במשולשים ABC ו-DEF, AB=DE=10 (הצלעות הגדולות ביותר בכל משולש), BC=EF=6, והזווית שמול AB שווה לזווית שמול DE. האם המשולשים בהכרח חופפים? נמקו.שאלה בהקשר
- נתונות שתי צלעות שוות בהתאמה בין שני המשולשים.
- הזווית הנתונה כשווה היא הזווית שמול הצלע הגדולה יותר (AB ו-DE).
- אלה בדיוק תנאי משפט החפיפה הרביעי.
תשובה: כן, לפי משפט החפיפה הרביעי המשולשים חופפים.
7. באותו תרגיל כמו הקודם, אבל הפעם נתון שהזווית השווה היא הזווית שמול BC ו-EF (הצלעות הקצרות יותר). האם עדיין אפשר להסיק שהמשולשים חופפים?שאלה בהקשר
- משפט החפיפה הרביעי דורש שהזווית השווה תהיה זו שמול הצלע הגדולה יותר.
- כאן הזווית הנתונה היא מול הצלע הקצרה יותר - התנאי של המשפט לא מתקיים.
- קיימות דוגמאות נגדיות למקרה הזה, ולכן אי אפשר להסיק חפיפה.
תשובה: לא, לא ניתן להסיק חפיפה - התנאי של משפט החפיפה הרביעי אינו מתקיים.
8. משולש שצלעותיו 9 ס"מ, 12 ס"מ ו-15 ס"מ. קבעו אם הוא ישר-זווית, ואם כן - מול איזו צלע נמצאת הזווית הישרה?שאלה בהקשר
- בודקים את הצלע הגדולה (15) מול סכום ריבועי השתיים האחרות: 9²+12²=81+144=225.
- משווים ל-15²=225.
- שווה בדיוק.
תשובה: כן, ישר-זווית; הזווית הישרה נמצאת מול הצלע 15 ס"מ.
לזכירה
- מקום גאומטרי הוא קבוצת כל הנקודות שמקיימות תכונה נתונה: מעגל (מרחק שווה מנקודה), אמצע-אנך (מרחק שווה משתי נקודות), חוצה זווית (מרחק שווה משתי קרניים).
- במשולש: אמצעי-האנך נפגשים במרכז המעגל החוסם; חוצי הזוויות נפגשים במרכז המעגל החסום; התיכונים נפגשים במרכז הכובד וחוצים זה את זה ביחס 2:1; הגבהים נפגשים בנקודה אחת.
- משפט החפיפה הרביעי: שתי צלעות שוות + זווית שווה מול הצלע הגדולה יותר ⟸ חפיפה. אם הזווית מול הצלע הקטנה - אי אפשר להסיק חפיפה.
- משפט פיתגורס ההפוך: אם סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית, המשולש ישר-זווית (הזווית הישרה מול הצלע השלישית).