טרנספורמציות של פונקציות
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! בשיעור הזה אתם בעצם לומדים "שפת עיצוב" לפונקציות: לוקחים פונקציה בסיסית שכבר מכירים - כמו x², x³ או √x - ובעזרת כמה תוספות פשוטות (חיבור מספר, הזזה, שיקוף, מתיחה) יוצרים ממנה משפחה שלמה של גרפים חדשים, בלי לחשב שום דבר מחדש מאפס. הטריק הכי חשוב: תמיד תשאלו את עצמכם "מה קורה לכל נקודה בודדת על הגרף?" - למשל בהזזה אנכית, ה-x נשאר אותו דבר וה-y מקבל תוספת; בשיקוף ביחס לציר ה-y, ה-y נשאר אותו דבר וה-x הופך לנגדי שלו. ברגע שמבינים מה קורה לנקודה אחת, מבינים מה קורה לכל הגרף!
חזרה: חקירת פונקציות לינאריות וריבועיות, ופונקציה זוגית/אי-זוגית
לפני שלומדים טרנספורמציות, חוזרים על התכונות שכבר מכירים מחקירת פונקציה קווית וריבועית: נקודות חיתוך עם הצירים, נקודת מינימום או מקסימום (עבור פונקציה ריבועית), תכונת הסימטריה שלה (ציר הסימטריה של פרבולה), תחומי עלייה וירידה, ותחומי חיוביות ושליליות. בנוסף, לומדים לסווג פונקציה כ**זוגית** או **אי-זוגית**: פונקציה זוגית מקיימת f(-x)=f(x) לכל x בתחום ההגדרה (הגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה-y), ופונקציה אי-זוגית מקיימת f(-x)=-f(x) לכל x (הגרף שלה סימטרי ביחס לראשית הצירים). כדי לבדוק זוגיות או אי-זוגיות, מציבים -x בכלל של הפונקציה ומשווים את התוצאה ל-f(x) ול-f(-x)-.
משפחת הפונקציות f(x)=xⁿ, והפונקציה f(x)=√x
פונקציות מהצורה f(x)=xⁿ, כאשר n מספר טבעי, יוצרות משפחה שלמה שאפשר לחקור לפי אותן תכונות: נקודות חיתוך עם הצירים (תמיד (0,0)), נקודת מינימום/מקסימום, סימטריה, עלייה/ירידה, חיוביות/שליליות, וזוגיות/אי-זוגיות. יש הבדל עקרוני לפי הזוגיות של המעריך n עצמו: כאשר n זוגי (כמו x², x⁴), הפונקציה זוגית, כל ערכיה אי-שליליים, ויש לה מינימום בראשית. כאשר n אי-זוגי (כמו x³, x⁵), הפונקציה אי-זוגית, עולה על כל תחום ההגדרה, ואין לה נקודת קיצון כלל. בנוסף לומדים את הפונקציה f(x)=√x: תחום הגדרתה הוא x≥0 בלבד (כי לא מגדירים שורש של מספר שלילי), ערכיה תמיד אי-שליליים, והיא עולה על כל תחום הגדרתה.
הזזות: אנכית ואופקית
הזזה אנכית: הפונקציה y=f(x)+k היא הגרף של y=f(x) שהוזז אנכית ב-k יחידות - כלפי מעלה אם k חיובי, וכלפי מטה אם k שלילי. כל נקודה (x, f(x)) על הגרף המקורי "זזה" לנקודה (x, f(x)+k). הזזה אופקית: הפונקציה y=f(x-p) היא הגרף של y=f(x) שהוזז אופקית ב-p יחידות - ימינה אם p חיובי, ושמאלה אם p שלילי (שימו לב לכיוון ההפוך-לכאורה: מחסירים p כדי לזוז ימינה!). כל נקודה (x, f(x)) זזה לנקודה (x+p, f(x)).
שיקופים, ומתיחה/כיווץ
שיקוף ביחס לציר ה-x: הפונקציה y=-f(x) היא שיקוף של y=f(x) ביחס לציר ה-x - כל ערך y הופך לערכו הנגדי, כאילו "הפכו" את הגרף למעלה-למטה. שיקוף ביחס לציר ה-y: הפונקציה y=f(-x) היא שיקוף ביחס לציר ה-y - כל נקודה (x, f(x)) זזה לנקודה (-x, f(x)), כאילו "הפכו" את הגרף ימין-שמאל. מתיחה או כיווץ: הפונקציה y=a·f(x) מותחת או מכווצת אנכית את הגרף של y=f(x) - אם |a|>1 הגרף נמתח (מתרחק מציר ה-x), ואם |a|<1 הגרף מתכווץ (מתקרב לציר ה-x). אם a עצמו שלילי, יש גם שיקוף ביחס לציר ה-x בנוסף למתיחה/כיווץ.
ערך מוחלט של פונקציה
הפונקציה y=|f(x)| מתקבלת מהגרף של y=f(x) על ידי "קיפול" כלפי מעלה של כל החלק שנמצא מתחת לציר ה-x: בכל תחום שבו f(x)≥0, הגרף של |f(x)| זהה לגרף של f(x); ובכל תחום שבו f(x)<0, הגרף של |f(x)| הוא השיקוף של f(x) ביחס לציר ה-x (כלומר -f(x)). התוצאה: הגרף של |f(x)| תמיד נמצא **מעל** ציר ה-x או עליו, ולעולם לא מתחתיו.
דוגמאות פתורות
נתונה הפונקציה f(x)=x². תארו את הפונקציה g(x)=-(x-2)²+1 כסדרת טרנספורמציות על f, ומצאו את קודקוד הפרבולה שמתקבלת.
- מזהים את סדר הטרנספורמציות מתוך הכלל, מבפנים החוצה: קודם (x-2) בתוך הסוגריים - הזזה אופקית ב-2 יחידות ימינה. אחר כך המינוס לפני הסוגריים - שיקוף ביחס לציר ה-x. ולבסוף ה-1+ בסוף - הזזה אנכית יחידה 1 כלפי מעלה.
- עוקבים אחרי הקודקוד המקורי של f(x)=x², שהוא (0,0): אחרי הזזה ימינה ב-2, הקודקוד עובר ל-(2,0).
- אחרי שיקוף ביחס לציר ה-x: קודקוד שנמצא על הציר עצמו (y=0) לא זז ממקומו, נשאר (2,0).
- אחרי הזזה כלפי מעלה ב-1: הקודקוד עובר ל-(2,1).
תשובה: g היא f לאחר הזזה ימינה ב-2, שיקוף ביחס לציר ה-x, והזזה כלפי מעלה ב-1; קודקוד הפרבולה החדשה הוא (2,1), והיא נפתחת כלפי מטה.
בדקו האם הפונקציה f(x)=x²-5 זוגית, אי-זוגית, או אף אחת מהשתיים. עשו זאת גם עבור g(x)=x³-x.
- עבור f(x)=x²-5: מציבים -x במקום x: f(-x)=(-x)²-5=x²-5.
- משווים: f(-x)=x²-5, וזה בדיוק שווה ל-f(x)=x²-5 - מתקיים f(-x)=f(x), ולכן f זוגית.
- עבור g(x)=x³-x: מציבים -x: g(-x)=(-x)³-(-x)=-x³+x.
- משווים ל--g(x): -g(x)=-(x³-x)=-x³+x. מקבלים g(-x)=-g(x), ולכן g אי-זוגית.
תשובה: f(x)=x²-5 זוגית. g(x)=x³-x אי-זוגית.
נתונה הפונקציה f(x)=√x. נגדיר g(x)=√(x-4)+2. מצאו את תחום ההגדרה של g, ותארו אותה כטרנספורמציה על f.
- g מתקבלת מ-f על ידי הזזה אופקית ב-4 יחידות ימינה (בגלל x-4 בתוך השורש) והזזה אנכית ב-2 יחידות כלפי מעלה (בגלל ה-2+ שבסוף).
- תחום ההגדרה של f(x)=√x הוא x≥0. אחרי הזזה ימינה ב-4, תחום ההגדרה זז גם הוא ב-4 יחידות: x-4≥0, כלומר x≥4.
- נקודת ההתחלה של f היא (0,0); אחרי הטרנספורמציות היא זזה ל-(0+4, 0+2)=(4,2) - זוהי גם נקודת ההתחלה של g.
תשובה: תחום ההגדרה של g הוא x≥4; g היא f לאחר הזזה ימינה ב-4 והזזה למעלה ב-2, ונקודת ההתחלה שלה היא (4,2).
תרגול
1. בדקו האם הפונקציה f(x)=x²-5 זוגית, אי-זוגית, או אף אחת מהשתיים (חשבו בעצמכם, ללא הסתמכות על הדוגמה בשיעור).תרגול
- מציבים -x: f(-x)=(-x)²-5=x²-5.
- משווים ל-f(x)=x²-5: הם שווים, ולכן f(-x)=f(x).
תשובה: f זוגית.
2. בדקו האם הפונקציה f(x)=x³-x זוגית, אי-זוגית, או אף אחת מהשתיים.תרגול
- מציבים -x: f(-x)=(-x)³-(-x)=-x³+x.
- משווים ל--f(x)=-(x³-x)=-x³+x: שווים, ולכן f(-x)=-f(x).
תשובה: f אי-זוגית.
3. נתונה f(x)=x². תארו את g(x)=x²-4 כטרנספורמציה על f, ומצאו את נקודות החיתוך של g עם ציר ה-x.תרגול
- g(x)=f(x)-4 - זו הזזה אנכית ב-4 יחידות כלפי מטה.
- נקודות חיתוך עם ציר ה-x: פותרים x²-4=0, כלומר x²=4, ולכן x=2 או x=-2.
תשובה: g היא f מוזזת למטה ב-4; נקודות חיתוך עם ציר ה-x: (2,0) ו-(-2,0).
4. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)=√(x+5).תרגול
- הביטוי מתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי: x+5≥0.
- פותרים: x≥-5.
תשובה: תחום ההגדרה: x≥-5.
5. נתונה f(x)=x². נגדיר g(x)=2f(x)=2x². תארו את היחס בין הגרפים של f ו-g, והשוו את g(1) ל-f(1).שאלה בהקשר
- מכיוון ש-|2|>1, הפונקציה g מתקבלת מ-f על ידי מתיחה אנכית - כל ערך y של f מוכפל פי 2, כך שהגרף "צר" ותלול יותר מזה של f, אבל שתי הפונקציות עדיין נחתכות באותן נקודות חיתוך עם הצירים (הרי 2·0=0).
- f(1)=1²=1. g(1)=2·1²=2.
- אכן g(1)=2·f(1), כמו שמצפים מהגדרת הטרנספורמציה g=2f.
תשובה: g נמתחת אנכית פי 2 ביחס ל-f; f(1)=1 ו-g(1)=2.
6. נתונה f(x)=x²-4. תארו את הגרף של h(x)=|x²-4|, וחשבו את h(0) ואת h(3).שאלה בהקשר
- בתחומים שבהם f(x)≥0 (כלומר |x|≥2), הגרף של h זהה לגרף של f. בתחומים שבהם f(x)<0 (כלומר -2<x<2), הגרף של h הוא השיקוף של f ביחס לציר ה-x - כלומר, החלק שהיה מתחת לציר "מתקפל" למעלה.
- h(0)=|0²-4|=|-4|=4 (כאן f(0)=-4 היה שלילי, ולכן h(0) הוא הערך הנגדי).
- h(3)=|3²-4|=|9-4|=|5|=5 (כאן f(3)=5 היה כבר אי-שלילי, ולכן h(3)=f(3)).
תשובה: h(0)=4, h(3)=5; הגרף של h זהה לזה של f במקומות שבהם f אי-שלילית, ומקופל למעלה במקומות שבהם f שלילית.
7. ידוע שהגרף של הפונקציה f עובר דרך הנקודה (3,5). לאיזו נקודה עוברת הנקודה המתאימה על הגרף של g(x)=f(x-2)+1?שאלה בהקשר
- g מתקבלת מ-f על ידי הזזה אופקית ב-2 ימינה (בגלל x-2) והזזה אנכית ב-1 למעלה (בגלל ה-1+).
- כל נקודה (a,b) על גרף f עוברת לנקודה (a+2, b+1) על גרף g.
- מציבים (a,b)=(3,5): הנקודה החדשה היא (3+2, 5+1)=(5,6).
תשובה: הנקודה המתאימה על גרף g היא (5,6).
לזכירה
- פונקציה זוגית: f(-x)=f(x) לכל x (סימטרית ביחס לציר ה-y). פונקציה אי-זוגית: f(-x)=-f(x) לכל x (סימטרית ביחס לראשית).
- משפחת f(x)=xⁿ: n זוגי - הפונקציה זוגית ואי-שלילית; n אי-זוגי - הפונקציה אי-זוגית ועולה תמיד. הפונקציה f(x)=√x מוגדרת רק עבור x≥0.
- הזזה אנכית y=f(x)+k: כלפי מעלה עבור k חיובי, כלפי מטה עבור k שלילי. הזזה אופקית y=f(x-p): ימינה עבור p חיובי, שמאלה עבור p שלילי.
- שיקוף ביחס לציר x: y=-f(x). שיקוף ביחס לציר y: y=f(-x). מתיחה/כיווץ: y=a·f(x) - נמתח עבור |a|>1, מתכווץ עבור |a|<1.
- ערך מוחלט y=|f(x)|: זהה ל-f(x) היכן ש-f(x)≥0, ומשתקף מעל ציר ה-x (כלומר -f(x)) היכן ש-f(x)<0 - התוצאה תמיד נמצאת מעל ציר ה-x או עליו.