עיבוד הנתונים
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! חשבו על שלושת מדדי המרכז כמו על שלוש דרכים שונות לענות על אותה שאלה - 'מה אופייני לקבוצה הזאת?' הממוצע 'מתחשב בכולם' אבל נבהל מערך קיצוני אחד; החציון 'לא מתרגש' מערכים קיצוניים כי הוא מסתכל רק על המיקום באמצע; והשכיח פשוט אומר 'מה הכי נפוץ'. וכשמדברים על פיזור - סטיית תקן קטנה אומרת שהקבוצה 'ממושמעת' וכולם קרובים לממוצע, וסטיית תקן גדולה אומרת שיש הרבה שונות בין הפרטים. שני מספרים בלבד - ממוצע וסטיית תקן - כבר מספרים לכם סיפור שלם על קבוצת נתונים.
ממוצע וממוצע משוקלל
הממוצע (החשבוני) הוא מדד המרכז הנפוץ ביותר: מחשבים אותו כסכום כל ערכי המשתנה חלקי מספר הפרטים. כשהנתונים מוצגים בטבלת שכיחויות שבה כל עמודה מייצגת ערך בודד, מחשבים את הממוצע כממוצע משוקלל - סכום של (ערך כפול שכיחותו) חלקי סך כל השכיחויות. כשכל עמודה בטבלה מייצגת תחום שלם של ערכים (קבוצות שוות רוחב), מייצגים כל קבוצה באמצעות אמצע הקבוצה (הממוצע בין הגבול התחתון לעליון שלה), ומחשבים באותו אופן ממוצע משוקלל לפי אמצעי הקבוצות ושכיחויותיהן. לממוצע כמה תכונות חשובות: הוא מתחשב בכל הנתונים (לא רק בחלקם), ולכן ערכו נמצא תמיד בין הערך הקטן ביותר לערך הגדול ביותר בנתונים - אך הוא לא בהכרח שווה לאחד הערכים הנתונים בפועל. יתרונו: פשוט לחישוב, ויש לו אותה יחידת מידה כמו למשתנה עצמו. חסרונו: הוא מושפע חזק מערכים קיצוניים (חריגים), ולכן לפעמים אינו מייצג נאמנה את רוב הנתונים; בנוסף, אי אפשר לחשב אותו כלל למשתנה איכותי, וגם לא כאשר אחת מקבוצות הקצה בטבלה היא תחום פתוח (בלי גבול). כאשר מוסיפים/מחסרים/מכפילים/מחלקים מספר קבוע מכל ערכי המשתנה, הממוצע עובר בדיוק את אותה פעולה.
שכיח
השכיח (Mode) הוא הערך (או הקטגוריה) שמופיע הכי הרבה פעמים בנתונים. בשונה מהממוצע והחציון, אפשר למצוא שכיח לכל סוגי המשתנים - גם למשתנה איכותי (הקטגוריה הנפוצה ביותר) וגם לכמותי. יתרונות השכיח: השימוש בו טבעי וקל למציאה, הוא לא מושפע מערכים קיצוניים, ויש לו אותה יחידת מידה כמו למשתנה - ולמעשה, במשתנה איכותי הוא המדד היחיד שאפשר לחשב בכלל. חסרונותיו: לפעמים אין שכיח כלל (כשכל הערכים מופיעים אותו מספר פעמים), ולפעמים יש יותר משכיח אחד (כמה ערכים 'מובילים' יחד) - ובמצבים כאלה למונח 'שכיח' אין הרבה משמעות כמדד מרכז. כאשר מוסיפים/מחסרים/מכפילים/מחלקים מספר קבוע מכל ערכי המשתנה, גם השכיח עובר בדיוק את אותה פעולה (כי הערך שהיה הכי נפוץ נשאר הכי נפוץ אחרי אותו שינוי אחיד).
חציון, עשירונים ורבעונים
החציון (Median) הוא הערך האמצעי ברשימת הנתונים, לאחר שסודרו לפי גודל. כשמספר הפרטים אי-זוגי, החציון הוא הערך האמצעי ממש; כשמספר הפרטים זוגי, החציון הוא הממוצע של שני הערכים האמצעיים. אפשר לחשב חציון מרשימה מסודרת, או מטבלת שכיחויות - אך רק כאשר כל עמודה בטבלה מייצגת ערך בודד של המשתנה (ולא כאשר הנתונים מאורגנים בקבוצות של תחומים). יתרונות החציון: הוא לא מושפע מערכים קיצוניים (כי הוא תלוי רק במיקום הנתונים, לא בגודלם המדויק), וחישובו פשוט כשהנתונים מסודרים. חסרונותיו: אי אפשר לחשב אותו למשתנה איכותי, והוא מושפע רק מסדר הנתונים (לא מהערכים עצמם, פרט לנתונים שבאמצע). באופן דומה לחציון, אפשר לחשב רבעונים (המחלקים את הנתונים המסודרים לארבעה חלקים שווים בגודלם) ועשירונים (המחלקים לעשרה חלקים) - עבור משתנה כמותי בדיד. מקרים פרטיים חשובים הם למשל הרבעון העליון (25% העליונים של הנתונים) או העשירון העליון (10% העליונים).
מדדי פיזור - טווח, שונות וסטיית תקן
מדדי מרכז (ממוצע, שכיח, חציון) לא מספרים הכול - שתי קבוצות נתונים יכולות להיות בעלות אותו ממוצע בדיוק, ובכל זאת להיות שונות מאוד בפיזור שלהן (עד כמה הנתונים מרוכזים סביב המרכז או מפוזרים ממנו). הטווח הוא מדד הפיזור הפשוט ביותר: ההפרש בין הערך הגדול ביותר לערך הקטן ביותר בנתונים. יתרונו: פשוט מאוד לחישוב, ותואם את התחושה האינטואיטיבית של 'פיזור'. חסרונו: אינו אמין, כי הוא מתבסס רק על שני הערכים הקיצוניים (ומתעלם מכל שאר הנתונים) - ולכן ערך חריג בודד יכול לעוות אותו לגמרי. מדד פיזור מדויק ומקיף יותר הוא סטיית התקן (וריבועה, השונות). מחשבים אותה כך: מחשבים את הממוצע, מחשבים את סטיית כל ערך מהממוצע (ההפרש), מעלים כל סטייה בריבוע, מחשבים את הממוצע של הריבועים - זו השונות - ולבסוף מוציאים שורש כדי לקבל את סטיית התקן, ביחידות המקוריות של המשתנה. יתרונות סטיית התקן: היא מתחשבת בכל הנתונים (לא רק בקצוות), ויש לה אותה יחידת מידה כמו למשתנה. חסרונותיה: ערכים קיצוניים 'תורמים' לה תרומה גדולה יותר ממשקלם היחסי (כי הם מועלים בריבוע), והשונות עצמה (לפני הוצאת השורש) היא ביחידות מרובעות ופחות אינטואיטיבית. כאשר מוסיפים/מחסרים מספר קבוע מכל הערכים, הטווח וסטיית התקן אינם משתנים כלל (כי המרחקים בין הערכים לא השתנו); כאשר מכפילים/מחלקים במספר קבוע, שניהם מוכפלים/מתחלקים באותו מספר (בערכו המוחלט).
בחירת מדד מתאים והשוואת קבוצות נתונים
הבחירה במדד המרכז ה'נכון' תלויה במצב: כשיש ערכים קיצוניים חריגים בנתונים, עדיף להשתמש בחציון (שלא מושפע מהם) ולא בממוצע; כשהמשתנה איכותי, השכיח הוא המדד היחיד האפשרי; וכשרוצים מדד שמתחשב בכל הנתונים ואין חשש מערכים קיצוניים, הממוצע הוא הבחירה הטבעית. כדי להשוות בין שתי קבוצות נתונים (או יותר) המתייחסות לאותו משתנה ובאותן יחידות, לא מספיק להסתכל רק על מדד מרכז אחד - חשוב לשלב גם מדד פיזור: שתי קבוצות עם אותו ממוצע יכולות להיות שונות מאוד באחידות שלהן, וקבוצה עם סטיית תקן קטנה יותר 'עקבית' יותר סביב הממוצע שלה מקבוצה עם סטיית תקן גדולה.
דוגמאות פתורות
נבדק מספר האחים והאחיות של 10 תלמידים, והתקבלה טבלת שכיחויות: 0 אחים - תלמיד אחד, 1 אח - 2 תלמידים, 2 אחים - 3 תלמידים, 3 אחים - 2 תלמידים, 4 אחים - תלמיד אחד, 5 אחים - תלמיד אחד. חשבו את הממוצע המשוקלל.
- בודקים שסך השכיחויות הוא 10: 1+2+3+2+1+1=10 ✓.
- ממוצע משוקלל = (0·1 + 1·2 + 2·3 + 3·2 + 4·1 + 5·1) / 10.
- מונה: 0+2+6+6+4+5 = 23.
- ממוצע = 23/10 = 2.3.
תשובה: הממוצע הוא 2.3 אחים.
לפניכם שתי קבוצות ציונים. קבוצה A (7 תלמידים): 12,15,18,18,20,25,30. קבוצה B (6 תלמידים): 10,12,14,16,18,20. מצאו את החציון והשכיח של כל קבוצה.
- קבוצה A: מספר אי-זוגי (7) של ערכים, מסודרים כבר לפי גודל. החציון הוא הערך האמצעי - המקום הרביעי: 12,15,18,[18],20,25,30 - החציון הוא 18.
- בקבוצה A, הערך 18 מופיע פעמיים - יותר מכל ערך אחר - ולכן השכיח הוא 18.
- קבוצה B: מספר זוגי (6) של ערכים. החציון הוא ממוצע שני הערכים האמצעיים (מקום 3 ו-4): 10,12,[14,16],18,20 - חציון = (14+16)/2=15.
- בקבוצה B כל הערכים שונים זה מזה - אין שום ערך שחוזר - ולכן אין לקבוצה זו שכיח.
תשובה: קבוצה A: חציון 18, שכיח 18. קבוצה B: חציון 15, אין שכיח.
לפניכם קבוצת הנתונים: 2,4,4,6. חשבו את הממוצע, השונות וסטיית התקן.
- ממוצע = (2+4+4+6)/4 = 16/4 = 4.
- סטיות מהממוצע: 2-4=-2, 4-4=0, 4-4=0, 6-4=2.
- מעלים בריבוע: (-2)²=4, 0²=0, 0²=0, 2²=4.
- שונות = ממוצע הריבועים = (4+0+0+4)/4 = 8/4 = 2.
- סטיית תקן = √שונות = √2.
תשובה: ממוצע = 4, שונות = 2, סטיית תקן = √2.
תרגול
1. בקבוצת נתונים: 5,8,12,15,20,30. חשבו את הטווח.תרגול
- טווח = ערך מקסימלי - ערך מינימלי = 30-5=25.
תשובה: 25.
2. בסקר על צבע אהוב, התקבלה טבלת שכיחויות: אדום-5, כחול-9, ירוק-3. מהו השכיח?תרגול
- השכיח הוא הקטגוריה עם השכיחות הגבוהה ביותר - כחול, עם 9.
תשובה: כחול.
3. ממוצע ציוני קבוצה הוא 50. אם כל ציון בקבוצה גדל ב-10% (כלומר מוכפל ב-1.1), מהו הממוצע החדש?תרגול
- כשמכפילים כל ערך במספר קבוע, הממוצע מוכפל באותו מספר.
- ממוצע חדש = 50·1.1 = 55.
תשובה: 55.
4. בקבוצת נתונים, החציון המקורי הוא 40 והטווח המקורי הוא 20. אם לכל ערך בקבוצה מוסיפים 5, מה יהיה החציון החדש? ומה יהיה הטווח החדש?תרגול
- כשמוסיפים מספר קבוע לכל הערכים, החציון עובר את אותה תוספת: חציון חדש = 40+5=45.
- הטווח אינו משתנה כשמוסיפים מספר קבוע לכל הערכים (כי ההפרש בין המקסימום למינימום נשאר זהה): טווח חדש = 20.
תשובה: חציון חדש = 45, טווח חדש = 20 (ללא שינוי).
5. לפניכם 11 ציונים מסודרים לפי גודל: 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22. מצאו את הרבעון התחתון (Q1), החציון (Q2) והרבעון העליון (Q3).תרגול
- מספר הערכים אי-זוגי (11), ולכן החציון (Q2) הוא הערך האמצעי - המקום השישי: 12.
- החצי התחתון (ללא החציון עצמו) הוא 5 הערכים הראשונים: 2,4,6,8,10 - Q1 הוא האמצעי שלהם, המקום השלישי: 6.
- החצי העליון הוא 5 הערכים האחרונים: 14,16,18,20,22 - Q3 הוא האמצעי שלהם: 18.
תשובה: Q1=6, Q2 (חציון)=12, Q3=18.
6. בשתי כיתות נערך אותו מבחן. בכיתה A הממוצע 75 וסטיית התקן 5. בכיתה B הממוצע 75 וסטיית התקן 12. מה אפשר להסיק על ההבדל בין שתי הכיתות, על אף שהממוצע זהה?שאלה בהקשר
- שתי הכיתות בעלות אותו ממוצע בדיוק (75), כך שמדד המרכז אינו מבדיל ביניהן.
- אך סטיית התקן של כיתה A קטנה בהרבה (5 לעומת 12) - כלומר הציונים בכיתה A מרוכזים ועקביים יותר סביב הממוצע.
- בכיתה B יש פיזור גדול בהרבה סביב הממוצע - כנראה יש בה גם ציונים גבוהים מאוד וגם נמוכים מאוד, בהשוואה לכיתה A.
תשובה: הממוצעים זהים, אך כיתה A אחידה ועקבית הרבה יותר מכיתה B, שבה יש פיזור גדול הרבה יותר סביב הממוצע.
7. בשכונה מסוימת יש 19 דירות רגילות שמחירן דומה, ווילה אחת יקרה במיוחד. רוצים לתאר את 'מחיר הדירה האופייני' בשכונה. האם עדיף להשתמש בממוצע או בחציון? נמקו.שאלה בהקשר
- הווילה היקרה היא ערך קיצוני (חריג) שיזניק את הממוצע כלפי מעלה, כך שהממוצע לא ייצג נאמנה את מחיר הדירה ה'טיפוסי' בשכונה.
- החציון אינו מושפע מערכים קיצוניים (הוא תלוי רק במיקום הדירה האמצעית לפי מחיר), ולכן הוא ישקף טוב יותר את המחיר האופייני של רוב הדירות בשכונה.
תשובה: עדיף להשתמש בחציון, כי הוא אינו מושפע מהערך הקיצוני (הווילה היקרה), בניגוד לממוצע.
8. לפניכם קבוצת נתונים: 4,6,8,10. חשבו את הממוצע, החציון, השכיח, הטווח, השונות וסטיית התקן.שאלה בהקשר
- ממוצע = (4+6+8+10)/4 = 28/4 = 7.
- חציון: מספר זוגי של ערכים, חציון = ממוצע שני האמצעיים = (6+8)/2 = 7.
- שכיח: כל הערכים שונים זה מזה - אין שכיח.
- טווח = 10-4 = 6.
- סטיות מהממוצע: -3,-1,1,3. בריבוע: 9,1,1,9. שונות = (9+1+1+9)/4 = 20/4 = 5. סטיית תקן = √5.
תשובה: ממוצע=7, חציון=7, אין שכיח, טווח=6, שונות=5, סטיית תקן=√5.
לזכירה
- ממוצע = סכום הערכים חלקי מספרם (או ממוצע משוקלל מטבלת שכיחויות, ולנתונים מקובצים - לפי אמצעי הקבוצות). מתחשב בכל הנתונים אך מושפע מערכים קיצוניים; משתנה כמו הערכים עצמם כשמוסיפים/מכפילים מספר קבוע.
- שכיח = הערך הנפוץ ביותר; אפשר לחשב לכל סוגי המשתנים (גם איכותי); יכול לא להתקיים או להתקיים כמה פעמים.
- חציון = הערך האמצעי ברשימה מסודרת (או ממוצע שני האמצעיים אם המספר זוגי); מחושב מרשימה או מטבלה שבה כל עמודה = ערך בודד (לא מקבוצות); אינו מושפע מערכים קיצוניים. רבעונים ועשירונים מחלקים את הנתונים המסודרים ל-4 או 10 חלקים שווים.
- מדדי פיזור: טווח = מקסימום פחות מינימום (פשוט אך לא אמין); סטיית תקן = שורש ממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע (מתחשבת בכל הנתונים). בהוספה/חיסור קבוע - טווח וסטיית תקן לא משתנים; בכפל/חילוק - שניהם מוכפלים/מתחלקים באותו גורם.
- בחירת מדד: כשיש ערכים קיצוניים - עדיף חציון על פני ממוצע; למשתנה איכותי - רק שכיח אפשרי. השוואת קבוצות דורשת גם מדד מרכז וגם מדד פיזור - שתי קבוצות עם אותו ממוצע יכולות להיות שונות מאוד בעקביות שלהן.