לומדי

וקטורים בגישה גאומטרית ואלגברית (כולל טריגונומטריה במרחב)

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! וקטורים הם אולי הכלי הכי חזק שתפגשו השנה - הם מתארים בעולם האמיתי כוח, מהירות או תזוזה (גם גודל וגם כיוון!), ובעולם המתמטי הם פותחים דלת שלמה בין גאומטריה לאלגברה. תחשבו על זה ככה: כל בעיה גאומטרית מסובכת במרחב אפשר "לתרגם" לחישוב עם שלשות מספרים (x,y,z) - וכל מה שידעתם על משוואות מכיתה ז' פתאום עוזר לכם להוכיח משפטים על ישרים ומישורים. תתחילו מהבסיס - חיבור, חיסור, כפל בסקלר - וכל השאר, כולל הזוויות והמרחקים במרחב, נבנה בדיוק עליו, צעד אחר צעד. אני איתכם בכל שלב!

וקטור גאומטרי – הגדרה ופעולות יסוד

וקטור גאומטרי הוא קטע מכוון: יש לו אורך (גודל) וכיוון. וקטור שראשו בנקודה A וסופו בנקודה B מסומן AB⃗ (או באות בודדת עם חץ, כגון u⃗). שני וקטורים שווים אם יש להם אותם אורך וכיוון, גם אם הם ממוקמים במקומות שונים במרחב - כלומר וקטור הוא "חופשי", לא מקובע לנקודת התחלה מסוימת. מגדירים חיבור של שני וקטורים (כלל המקבילית או חיבור "ראש לזנב"), חיסור (u⃗-v⃗ = u⃗+(-v⃗), כאשר -v⃗ הוא הווקטור הנגדי, באותו אורך ובכיוון הפוך), וכפל של וקטור בסקלר (מספר ממשי) - כפל באורך, ושינוי כיוון אם הסקלר שלילי. וקטור האפס 0⃗ הוא הווקטור AA⃗ (מנקודה לעצמה), באורך 0 וללא כיוון מוגדר.

תכונות היסוד של מרחב וקטורי

פעולות החיבור והכפל בסקלר מקיימות קבוצת תכונות שמגדירות "מרחב וקטורי": חיבור וקטורים הוא פעולה סגורה (סכום שני וקטורים הוא וקטור), חילופי (u⃗+v⃗=v⃗+u⃗) וקיבוצי ((u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)), קיים איבר אפס (u⃗+0⃗=u⃗) וקיים לכל וקטור וקטור נגדי (u⃗+(-u⃗)=0⃗). כפל בסקלר הוא גם פעולה סגורה, מקיים 1·u⃗=u⃗, קיבוצי (s·(t·u⃗)=(s·t)·u⃗) ושני חוקי פילוג: (s+t)·u⃗=s·u⃗+t·u⃗ וגם t·(u⃗+v⃗)=t·u⃗+t·v⃗. אלה בדיוק אותן תכונות שמוכרות לכם ממספרים ממשיים, רק שכאן הן חלות על אובייקטים חדשים - וקטורים.

צירוף לינארי, תלות לינארית ויחידות ההצגה

צירוף לינארי של וקטורים u⃗ ו-v⃗ הוא כל ביטוי מהצורה a·u⃗+b·v⃗ (a,b סקלרים). וקטור נקרא תלוי-לינארית בקבוצת וקטורים אחרים אם אפשר להציג אותו כצירוף לינארי שלהם; קבוצה נקראת בלתי-תלויה-לינארית אם אף וקטור בה אינו צירוף לינארי של האחרים. עבור שלוש נקודות שונות שאינן על ישר אחד A,B,C: וקטור הוא צירוף לינארי של AB⃗ ו-AC⃗ אם ורק אם הוא נמצא במישור שמוגדר על ידי A,B,C (או במישור מקביל לו). כל שלושה וקטורים במישור הם בהכרח תלויים לינארית, וכל וקטור במישור ניתן להצגה יחידה באמצעות שני וקטורים בלתי-תלויים בו. באופן דומה במרחב: שלושה וקטורים בלתי-תלויים לינארית (כמו AB⃗, AC⃗, AD⃗ עבור ארבע נקודות שאינן על אותו מישור) פורשים את המרחב התלת-ממדי כולו, וכל וקטור במרחב ניתן להצגה יחידה על ידיהם. עיקרון ההצגה היחידה הוא כלי מרכזי להוכחת יחסי קטעים ומשפטים גאומטריים.

מכפלה סקלרית ושימושיה

המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים u⃗ ו-v⃗ מוגדרת כמספר (סקלר): u⃗•v⃗ = |u⃗|•|v⃗|•cos α, כאשר α הזווית ביניהם ו-|u⃗| מסמן את אורך הווקטור. שימו לב: אגף שמאל הוא פעולה בין וקטורים, אגף ימין - כפל בין מספרים רגילים. אם u⃗•v⃗=0 (ושני הווקטורים אינם וקטור האפס), אז cos α=0 ולכן α=90° - כלומר הווקטורים מאונכים. זהו כלי מרכזי: אפשר להשתמש במכפלה הסקלרית כדי לחשב זוויות ואורכים, וגם כדי להוכיח משפטים גאומטריים - למשל שישר ניצב למישור אם ורק אם הוא מאונך לשני ישרים לא-מקבילים באותו מישור.

ייצוג אלגברי במרחב: נקודות, ישרים ומישורים

במערכת צירים במרחב כל וקטור אפשר לייצג כשלשה סדורה של מספרים (x,y,z), ופעולות החיבור, החיסור והכפל בסקלר מתבצעות רכיב-רכיב: u⃗±v⃗=(x₁±x₂, y₁±y₂, z₁±z₂), וגם t·u⃗=(t·x, t·y, t·z). המכפלה הסקלרית בייצוג אלגברי: u⃗•v⃗=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂, ואורך וקטור: |u⃗|=√(x²+y²+z²). ישר במרחב מוצג באופן פרמטרי: נקודה על הישר ועוד t כפול וקטור כיוון. מישור אפשר להציג פרמטרית (נקודה ועוד שני וקטורים בלתי-תלויים הפורשים אותו) או באמצעות משוואה מהצורה Ax+By+Cz+D=0. באמצעות ההצגה הזו אפשר לקבוע את המצב ההדדי בין שני ישרים (נחתכים, מקבילים, מצטלבים - "עוברים זה ליד זה" בלי להיפגש ובלי להיות מקבילים), בין שני מישורים, ובין ישר למישור.

יישומים בגאומטריית המרחב: מרחקים, זוויות וגופים

הכלים הווקטוריים מאפשרים לחשב מרחקים מכל סוג: בין שתי נקודות, בין נקודה לישר, בין נקודה למישור (המרחק בין נקודה (x₀,y₀,z₀) למישור Ax+By+Cz+D=0 הוא |Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)), בין ישרים מקבילים, בין ישרים מצטלבים, בין ישר למישור, ובין שני מישורים. באותה שיטה מחשבים זוויות: בין שני ישרים, בין שני מישורים, ובין ישר למישור - הן בכלים וקטוריים (מכפלה סקלרית) והן בכלים טריגונומטריים. חשוב ללמוד לזהות את הזווית לפי הגדרתה לפני שמחשבים אותה בנוסחה. את כל הכלים האלה מיישמים על גופים במרחב - גליל ישר, חרוט ישר, כדור, מנסרה ישרה ופירמידה ישרה - לחישוב זוויות, אורכי קטעים, שטחים ונפחים.

דוגמאות פתורות

בתוך משולש ABC נמצאת נקודה D על הצלע BC, כך ש-BD:DC = 1:2. סמנו u⃗=AB⃗ ו-v⃗=AC⃗. הביעו את הווקטור AD⃗ כצירוף לינארי של u⃗ ו-v⃗.

  1. מכיוון ש-D נמצאת על BC כך שהיא מחלקת אותה ביחס BD:DC=1:2, המרחק BD הוא בדיוק שליש מהמרחק BC כולו: BD⃗ = (1/3)·BC⃗.
  2. מבטאים את BC⃗ באמצעות u⃗ ו-v⃗: BC⃗ = AC⃗ - AB⃗ = v⃗ - u⃗.
  3. מרכיבים את AD⃗ דרך B: AD⃗ = AB⃗ + BD⃗ = u⃗ + (1/3)(v⃗-u⃗).
  4. פותחים סוגריים ומכנסים איברים דומים: AD⃗ = u⃗ - (1/3)u⃗ + (1/3)v⃗ = (2/3)u⃗ + (1/3)v⃗.
  5. בדיקה בעזרת קואורדינטות: אם A=(0,0), B=(3,0), C=(0,3), אז u⃗=(3,0), v⃗=(0,3), ו-D=B+(1/3)(C-B)=(2,1). אכן (2/3)u⃗+(1/3)v⃗=(2,0)+(0,1)=(2,1) - תואם.

תשובה: AD⃗ = (2/3)u⃗ + (1/3)v⃗

נתונים הווקטורים (בייצוג אלגברי) u⃗=(1,2,-2) ו-v⃗=(2,-1,0). מצאו את המכפלה הסקלרית שלהם וקבעו אם הם מאונכים.

  1. מחשבים את המכפלה הסקלרית רכיב-רכיב: u⃗•v⃗ = 1·2 + 2·(-1) + (-2)·0 = 2 - 2 + 0 = 0.
  2. מכיוון ש-u⃗•v⃗=0 ואף אחד מהווקטורים אינו וקטור האפס (|u⃗|=√(1+4+4)=3≠0, |v⃗|=√(4+1+0)=√5≠0), מתקיים cos α = 0/(3·√5) = 0.
  3. הזווית שקוסינוס שלה 0 היא 90°.

תשובה: u⃗•v⃗=0, ולכן הווקטורים מאונכים (הזווית ביניהם 90°).

קובייה (מנסרה ישרה עם בסיס ריבועי) ABCDA'B'C'D' עם אורך צלע 4. מקמו אותה במערכת צירים כך ש-A=(0,0,0), B=(4,0,0), D=(0,4,0), A'=(0,0,4), ולכן C=(4,4,0) ו-C'=(4,4,4). מצאו את הזווית בין האלכסון AC'⃗ לצלע AB⃗.

  1. AB⃗ = (4,0,0). AC'⃗ = (4,4,4).
  2. מחשבים מכפלה סקלרית: AB⃗•AC'⃗ = 4·4 + 0·4 + 0·4 = 16.
  3. מחשבים אורכים: |AB⃗| = 4. |AC'⃗| = √(16+16+16) = √48 = 4√3.
  4. cos α = 16/(4·4√3) = 16/(16√3) = 1/√3.
  5. α = arccos(1/√3) ≈ 54.7°.

תשובה: הזווית בין אלכסון הקובייה לצלע היא arccos(1/√3) ≈ 54.7°.

תרגול

1. נתונים u⃗=(2,-1,3) ו-v⃗=(0,4,-2). חשבו את u⃗+v⃗, u⃗-v⃗ ו-3u⃗.תרגול
  1. חיבור וחיסור וכפל בסקלר מתבצעים רכיב-רכיב.
  2. u⃗+v⃗ = (2+0, -1+4, 3-2) = (2,3,1).
  3. u⃗-v⃗ = (2-0, -1-4, 3-(-2)) = (2,-5,5).
  4. 3u⃗ = (3·2, 3·(-1), 3·3) = (6,-3,9).

תשובה: u⃗+v⃗=(2,3,1), u⃗-v⃗=(2,-5,5), 3u⃗=(6,-3,9).

2. נתונים u⃗=(1,0,1) ו-v⃗=(0,1,1). מצאו את הזווית ביניהם.תרגול
  1. u⃗•v⃗ = 1·0+0·1+1·1 = 1.
  2. |u⃗| = √(1+0+1) = √2. |v⃗| = √(0+1+1) = √2.
  3. cos α = 1/(√2·√2) = 1/2.
  4. α = 60°.

תשובה: הזווית בין u⃗ ל-v⃗ היא 60°.

3. נתונים u⃗=(1,2,3), v⃗=(2,4,6), w⃗=(1,0,0). האם הקבוצה {u⃗,v⃗,w⃗} תלויה לינארית? נמקו.תרגול
  1. בודקים קודם יחסים בין הווקטורים בקבוצה: v⃗ = 2·u⃗ (כי (2,4,6)=2·(1,2,3)).
  2. v⃗ הוא צירוף לינארי (כפולה) של u⃗, ולכן כבר {u⃗,v⃗} תלויה לינארית.
  3. קבוצה שמכילה תת-קבוצה תלויה לינארית היא עצמה תלויה לינארית.

תשובה: כן, הקבוצה תלויה לינארית, כי v⃗=2u⃗.

4. מצאו את המרחק מהנקודה P(1,2,3) למישור 2x+y-2z+3=0.תרגול
  1. משתמשים בנוסחת המרחק מנקודה למישור: מרחק = |Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²).
  2. מציבים: |2·1+1·2-2·3+3|/√(4+1+4) = |2+2-6+3|/√9 = |1|/3.

תשובה: המרחק הוא 1/3.

5. במקבילית ABCD, סמנו u⃗=AB⃗ ו-v⃗=AD⃗ (כלומר A ראשית, B=A+u⃗, D=A+v⃗, C=A+u⃗+v⃗). הוכיחו באמצעות וקטורים שאלכסוני המקבילית (AC ו-BD) חוצים זה את זה.שאלה בהקשר
  1. אמצע האלכסון AC: M₁ = A + (1/2)AC⃗ = A + (1/2)(u⃗+v⃗).
  2. אמצע האלכסון BD: M₂ = B + (1/2)BD⃗ = (A+u⃗) + (1/2)((A+v⃗)-(A+u⃗)) = A+u⃗+(1/2)(v⃗-u⃗) = A + u⃗ - (1/2)u⃗ + (1/2)v⃗ = A + (1/2)u⃗ + (1/2)v⃗.
  3. M₁ = A + (1/2)u⃗ + (1/2)v⃗ ו-M₂ = A + (1/2)u⃗ + (1/2)v⃗ - אותה נקודה בדיוק.

תשובה: מכיוון ש-M₁=M₂, אמצע AC ואמצע BD הם אותה נקודה, כלומר האלכסונים חוצים זה את זה.

6. נקודה M נמצאת על הקטע AB כך ש-AM:MB=3:2. הביעו את OM⃗ (עבור נקודת ייחוס כלשהי O) באמצעות OA⃗ ו-OB⃗.שאלה בהקשר
  1. AM היא 3/5 מהקטע AB כולו (כי AM:MB=3:2 מחלק את AB ל-5 חלקים שווים, 3 מהם עד M).
  2. OM⃗ = OA⃗ + AM⃗ = OA⃗ + (3/5)(OB⃗-OA⃗).
  3. פותחים סוגריים: OM⃗ = OA⃗ - (3/5)OA⃗ + (3/5)OB⃗ = (2/5)OA⃗ + (3/5)OB⃗.

תשובה: OM⃗ = (2OA⃗+3OB⃗)/5.

7. פירמידה ישרה עם בסיס ריבועי ABCD (אורך צלע 6) ופסגה E מעל מרכז הבסיס בגובה 4. מקמו את מרכז הבסיס בראשית: A=(3,3,0), B=(-3,3,0), C=(-3,-3,0), D=(3,-3,0), E=(0,0,4). מצאו את הזווית בין הצלע EA למישור הבסיס.שאלה בהקשר
  1. וקטור הצלע: EA⃗ = A-E = (3,3,-4). וקטור נורמל למישור הבסיס (z=0): n⃗=(0,0,1).
  2. הזווית בין ישר למישור מקיימת sin(זווית) = |EA⃗•n⃗| / (|EA⃗|·|n⃗|).
  3. EA⃗•n⃗ = -4. |EA⃗| = √(9+9+16) = √34. |n⃗|=1.
  4. sin(זווית) = 4/√34 ≈ 0.686, ולכן הזווית ≈ arcsin(0.686) ≈ 43.3°.

תשובה: הזווית בין הצלע EA למישור הבסיס היא arcsin(4/√34) ≈ 43.3°.

8. נתון הישר (x,y,z) = (0,0,0) + t·(1,1,1) והמישור x+2y+3z=12. בדקו אם הישר חותך את המישור, ואם כן מצאו את נקודת החיתוך.תרגול
  1. מציבים את ההצגה הפרמטרית של הישר במשוואת המישור: t + 2t + 3t = 12.
  2. 6t = 12, ולכן t=2.
  3. מציבים t=2 בהצגת הישר: (x,y,z)=(2,2,2). בדיקה: 2+2·2+3·2=2+4+6=12 - מתאים.

תשובה: הישר חותך את המישור בנקודה (2,2,2).

לזכירה

  • וקטור גאומטרי הוא קטע מכוון (אורך + כיוון); חיבור, חיסור וכפל בסקלר מקיימים תכונות מרחב וקטורי (סגירות, חילוף, קיבוץ, איבר אפס, איבר נגדי, ושני חוקי פילוג).
  • צירוף לינארי, תלות ואי-תלות לינארית: שני וקטורים בלתי-תלויים פורשים את המישור בהצגה יחידה, ושלושה בלתי-תלויים פורשים את המרחב בהצגה יחידה - כלי מרכזי ליחסי קטעים ולהוכחות גאומטריות.
  • המכפלה הסקלרית u⃗•v⃗=|u⃗||v⃗|cos α משמשת לחישוב זוויות ואורכים, ומאפשרת לזהות ניצבות (u⃗•v⃗=0) ולהוכיח משפטים גאומטריים.
  • בייצוג אלגברי במרחב, וקטורים הם שלשות (x,y,z), פעולות מתבצעות רכיב-רכיב; ישרים מוצגים פרמטרית, מישורים פרמטרית או במשוואה Ax+By+Cz+D=0.
  • מחשבים מרחקים (נקודה-נקודה, נקודה-ישר, נקודה-מישור ועוד) וזוויות (ישר-ישר, מישור-מישור, ישר-מישור) בכלים וקטוריים וטריגונומטריים, ומיישמים על גופים כמו גליל, חרוט, כדור, מנסרה ופירמידה.
הבאגאומטריה אנליטית