הקדמה לסדרות
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! תחשבו על סדרה כמו על רשימת השמעה מסודרת: לכל שיר יש מקום קבוע ברשימה (ראשון, שני, שלישי...), ואפשר לתאר אותה בשתי דרכים שונות. או שיש לכם 'מפה' ישירה שאומרת בדיוק מה יהיה בכל מקום (זו ההגדרה המפורשת - קופצים ישר לאיבר ה-100 בלי לעבור על כולם), או שיש לכם כלל 'מהשיר הקודם לשיר הבא' (זו ההגדרה הרקורסיבית - חייבים לדעת מה היה קודם כדי להמשיך). שתי הדרכים מתארות בדיוק אותה סדרה, רק בצורה שונה - וזה בדיוק מה שנלמד לזהות ולעבור ביניהן.
מהי סדרה? ייצוגים שונים
סדרה היא רשימה מסודרת של מספרים: איבר ראשון, איבר שני, איבר שלישי, וכן הלאה, כאשר לכל מספר יש מקום (אינדקס) מוגדר ברשימה. את האיבר שנמצא במקום ה-n מסמנים aₙ (קוראים 'a תת n'), כך שהסדרה כולה היא a₁,a₂,a₃,...,aₙ,... אפשר לתאר סדרה בכמה דרכים שקולות: ייצוג מילולי (תיאור במילים של הכלל שיוצר את הסדרה), ייצוג מספרי (רשימת הערכים עצמם, למשל 3,5,7,9,...), וייצוג גרפי - מסמנים כל איבר כנקודה במערכת צירים, כאשר ציר ה-x הוא מקום האיבר (n=1,2,3,...) וציר ה-y הוא ערך האיבר (aₙ). בניגוד לגרף של פונקציה רציפה, גרף של סדרה הוא תמיד אוסף של נקודות בודדות ומנותקות - כי n יכול לקבל רק ערכים טבעיים (1,2,3,...), לא כל מספר ממשי.
הגדרה מפורשת (סגורה) לפי מקום
הגדרה מפורשת (או 'סגורה') נותנת נוסחה ישירה לחישוב האיבר ה-n מתוך n עצמו, בלי צורך לדעת איברים קודמים: aₙ = f(n). לדוגמה, בסדרה aₙ=2n+1, אפשר לחשב כל איבר ישירות על ידי הצבה: a₁=2·1+1=3, a₅=2·5+1=11, a₁₀=2·10+1=21 - בלי שום צורך לחשב קודם את האיברים שביניהם. זהו היתרון המרכזי של ייצוג מפורש: מציאת איבר רחוק (כמו האיבר ה-100) היא הצבה פשוטה אחת, ולא תהליך של מאה שלבים.
הגדרה רקורסיבית
הגדרה רקורסיבית מתארת סדרה בדרך אחרת: נותנים את האיבר הראשון (או האיברים הראשונים) במפורש, ובנוסף נותנים כלל שמסביר איך לחשב כל איבר מתוך האיבר (או האיברים) שלפניו: aₙ₊₁=g(aₙ). לדוגמה, ההגדרה a₁=3, aₙ₊₁=aₙ+4 אומרת: 'האיבר הראשון הוא 3, וכל איבר הבא מתקבל מהקודם על ידי הוספת 4' - ומכאן a₂=3+4=7, a₃=7+4=11, וכן הלאה. בניגוד לייצוג המפורש, כדי למצוא איבר מסוים בהגדרה רקורסיבית (למשל a₁₀) צריך לעבור דרך כל האיברים שלפניו בזה אחר זה - אי אפשר 'לקפוץ' ישירות אליו. לכל סדרה מוגדרת-כלל יש בדרך כלל גם ייצוג מפורש וגם ייצוג רקורסיבי, ולפעמים כדאי לדעת לעבור בין השניים - זה יהיה כלי מרכזי כשנלמד סדרות חשבוניות והנדסיות.
דוגמאות פתורות
נתונה הסדרה בהגדרה מפורשת aₙ = 2n+1. מצאו את a₁, a₂, a₅ ו-a₁₀.
- מציבים n=1: a₁=2·1+1=3.
- מציבים n=2: a₂=2·2+1=5.
- מציבים n=5: a₅=2·5+1=11.
- מציבים n=10: a₁₀=2·10+1=21.
תשובה: a₁=3, a₂=5, a₅=11, a₁₀=21.
נתונה הסדרה בהגדרה רקורסיבית: a₁=3, aₙ₊₁=aₙ+4 (לכל n≥1). מצאו את חמשת האיברים הראשונים.
- האיבר הראשון נתון ישירות: a₁=3.
- לפי הכלל, כל איבר הוא הקודם ועוד 4: a₂=a₁+4=3+4=7.
- a₃=a₂+4=7+4=11.
- a₄=a₃+4=11+4=15.
- a₅=a₄+4=15+4=19.
תשובה: חמשת האיברים הראשונים הם: 3, 7, 11, 15, 19.
תרגול
1. נתונה הסדרה aₙ = 3n-2. מצאו את a₁, a₄ ו-a₇.תרגול
- מציבים n=1: a₁=3·1-2=1.
- מציבים n=4: a₄=3·4-2=10.
- מציבים n=7: a₇=3·7-2=19.
תשובה: a₁=1, a₄=10, a₇=19.
2. נתונה הסדרה aₙ = n². מצאו את ארבעת האיברים הראשונים שלה.תרגול
- מציבים n=1,2,3,4 בזה אחר זה: a₁=1²=1, a₂=2²=4, a₃=3²=9, a₄=4²=16.
תשובה: האיברים הראשונים הם: 1, 4, 9, 16.
3. נתונה הסדרה הרקורסיבית: a₁=5, aₙ₊₁=2aₙ. מצאו את ארבעת האיברים הראשונים.תרגול
- a₁=5 (נתון).
- a₂=2·a₁=2·5=10.
- a₃=2·a₂=2·10=20.
- a₄=2·a₃=2·20=40.
תשובה: האיברים הראשונים הם: 5, 10, 20, 40.
4. נתונה הסדרה הרקורסיבית: a₁=100, aₙ₊₁=aₙ-7. מצאו את a₅.תרגול
- a₁=100.
- a₂=100-7=93.
- a₃=93-7=86.
- a₄=86-7=79.
- a₅=79-7=72.
תשובה: a₅ = 72.
5. נתונה הרשימה: 2, 5, 10, 17, 26, ... נסו לזהות נוסחה מפורשת aₙ שמתאימה לכל האיברים האלה (רמז: השוו ל-n²).שאלה בהקשר
- בודקים את n² עבור n=1,2,3,4,5: 1, 4, 9, 16, 25.
- משווים לסדרה הנתונה: 2, 5, 10, 17, 26 - כל איבר גדול ב-1 בדיוק מהערך המתאים של n².
- לכן הנוסחה המתאימה היא aₙ=n²+1.
- בדיקה: a₁=1+1=2 ✓, a₂=4+1=5 ✓, a₃=9+1=10 ✓, a₄=16+1=17 ✓, a₅=25+1=26 ✓.
תשובה: aₙ = n² + 1.
6. נתונה הסדרה הרקורסיבית: a₁=4, aₙ₊₁=aₙ+3n (לכל n≥1). מצאו את ארבעת האיברים הראשונים.שאלה בהקשר
- a₁=4 (נתון).
- a₂=a₁+3·1=4+3=7 (מציבים n=1 בכלל, כי אנחנו עוברים מ-a₁ ל-a₂).
- a₃=a₂+3·2=7+6=13 (מציבים n=2, כי עוברים מ-a₂ ל-a₃).
- a₄=a₃+3·3=13+9=22 (מציבים n=3, כי עוברים מ-a₃ ל-a₄).
תשובה: האיברים הראשונים הם: 4, 7, 13, 22.
לזכירה
- סדרה היא רשימה מסודרת של מספרים; האיבר במקום n מסומן aₙ.
- אפשר לתאר סדרה במילים, ברשימת ערכים, או בגרף (נקודות בודדות ומנותקות, כי n טבעי בלבד).
- הגדרה מפורשת (סגורה) aₙ=f(n) מאפשרת לחשב כל איבר ישירות מתוך n, בלי צורך באיברים קודמים.
- הגדרה רקורסיבית נותנת את האיבר הראשון וכלל aₙ₊₁=g(aₙ) לחישוב כל איבר מתוך הקודם לו - וכדי להגיע לאיבר מסוים צריך לעבור דרך כל הקודמים.