לומדי

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! הפרק הזה נראה גדול, אבל שני חוקים פשוטים מסבירים כמעט הכול: הנגזרת של e^x היא e^x (הפונקציה היחידה בעולם ש'לא זזה' כשגוזרים אותה), והנגזרת של ln(x) היא 1/x. כל שאר הכללים - שרשרת, מכפלה, מנה - הם רק דרכים לחבר את שני החוקים האלה לביטויים מורכבים יותר. בחקירת פונקציה, תמיד תעבדו לפי אותה רשימת בדיקות בדיוק (תחום, חיתוכים, נגזרת, קיצון, אסימפטוטות) - וגם באינטגרלים, זכרו שקדומה זו פשוט 'שאלה הפוכה': לא 'מה הנגזרת של זה', אלא 'של מה זה הנגזרת'. שימו לב: נגזרת שנייה, קעירות ונקודות פיתול פשוט לא בתוכנית 4 היח"ל שלכם - אז אין צורך (ואין אפשרות) להשתמש בהן כדי להצדיק תשובה.

המספר e והנגזרות הבסיסיות

e הוא מספר קבוע ומיוחד (בערך 2.718), שנבחר בדיוק כך שהפונקציה f(x)=e^x היא הפונקציה המעריכית היחידה שהנגזרת שלה שווה לעצמה: f'(x)=e^x. זו התכונה שהופכת את e לבסיס הטבעי לכל חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי עם פונקציות מעריכיות. הלוגריתם בבסיס e נקרא לוגריתם טבעי ומסומן ln(x) (במקום log_e(x)) - כל חוקי הלוגריתמים מהפרק הקודם תקפים לו במלואם. הנגזרת של ln(x) היא f'(x)=1/x, עבור x>0 (תחום ההגדרה של ln). שני הכללים הבסיסיים האלה - הנגזרת של e^x היא e^x, והנגזרת של ln(x) היא 1/x - הם נקודת המוצא לכל שאר הנגזרות בפרק.

כללי גזירה: פונקציה מורכבת, מכפלה ומנה

כשהחזקה או הארגומנט של e/ln אינם x בעצמו אלא ביטוי אחר, צריך את כלל השרשרת: הנגזרת של g(x)=e^(f(x)), כאשר f(x) פולינום, היא g'(x)=f'(x)·e^(f(x)) (גוזרים את הפולינום שבחזקה, וכופלים בפונקציה המקורית ללא שינוי). באופן דומה, הנגזרת של g(x)=ln(f(x)), כאשר f(x) פולינום ממעלה שנייה לכל היותר, היא g'(x)=f'(x)/f(x) (הנגזרת של מה שבפנים, חלקי מה שבפנים). כשפונקציות כאלה משולבות עם פולינום נוסף בסכום, בהפרש, במכפלה או במנה, משתמשים בכללי הגזירה הרגילים: (u+v)'=u'+v'; כלל המכפלה (u·v)'=u'v+uv'; וכלל המנה (u/v)'=(u'v-uv')/v² (עבור v≠0). לדוגמה, נגזרת של x·e^x (מכפלה של הפולינום x בפונקציה e^x) היא, לפי כלל המכפלה: 1·e^x + x·e^x = e^x·(1+x).

חקירת פונקציה - חלק א': תחום, נקודות, משיק ומונוטוניות

חקירה מלאה של פונקציה מעריכית/לוגריתמית (או שילוב שלה עם פולינום) כוללת כמה שלבים קבועים. קודם תחום ההגדרה - עבור log(f(x)) צריך f(x)>0; עבור e בחזקת פולינום, אין הגבלה. אחר כך נקודות חיתוך עם הצירים: עם ציר ה-y מציבים x=0 (אם 0 בתחום); עם ציר ה-x פותרים f(x)=0. משוואת המשיק לגרף בנקודה (x₀,f(x₀)) נבנית לפי הנוסחה y-f(x₀)=f'(x₀)·(x-x₀) - כלומר קודם מחשבים את f(x₀) (גובה הנקודה) ואת f'(x₀) (שיפוע המשיק, לפי הנגזרת), ואז מציבים בנוסחת הישר. תחומי עלייה/ירידה ונקודות קיצון (מקומיים ומוחלטים) נמצאים כרגיל: פותרים f'(x)=0 ובודקים החלפת סימן של f' סביב כל פתרון - משלילי לחיובי נותן מינימום, ומחיובי לשלילי נותן מקסימום. בנוסף, לפעמים בודקים זוגיות/אי-זוגיות של הפונקציה (f(-x)=f(x) - זוגית, סימטרית לציר ה-y; f(-x)=-f(x) - אי-זוגית, סימטרית לראשית) - זהו כלי נוסף, לא תמיד חובה, שיכול לחסוך עבודה בשרטוט.

חקירת פונקציה - חלק ב': אסימפטוטות, סקיצה והקשר לנגזרת

עבור פונקציה מהצורה g(x)=ln(f(x)), נקודות אי-ההגדרה (איפה ש-f(x)=0) הן מועמדות לאסימפטוטות מאונכות (אנכיות) לציר ה-x, ותמיד יש לכל היותר שתי נקודות כאלה; בודקים את גבול הפונקציה משני צדי כל נקודה כדי לוודא שהיא באמת אסימפטוטה. עבור f(x)=e^x וההעתקות שלה, בודקים אסימפטוטה אופקית (מאונכת לציר ה-y): כש-x שואף למינוס אינסוף, e^x שואף ל-0, כך שההעתקות של e^x שואפות לערך הגבול המתאים (בהתאם להזזה האנכית). לאחר איסוף כל הנתונים - תחום, חיתוכים, עלייה/ירידה, קיצון, אסימפטוטות - אפשר לשרטט סקיצה של הגרף. יש גם קשר הדוק בין גרף פונקציה לגרף הנגזרת שלה: איפה שהפונקציה עולה, הנגזרת חיובית; איפה שהיא יורדת, הנגזרת שלילית; ובנקודת קיצון של הפונקציה, הנגזרת מתאפסת (חוצה את ציר ה-x). קשר זה מאפשר לזהות מבין שני גרפים נתונים איזה מהם הפונקציה ואיזה הנגזרת שלה, גם בלי לחשב נוסחאות. גם כאשר צריך למצוא ערך פרמטר לא ידוע בפונקציה (למשל מקדם בחזקה), משתמשים בנתון אחד שניתן בשאלה - למשל ערך הפונקציה או הנגזרת בנקודה מסוימת - ומציבים כדי לפתור משוואה עבור הפרמטר.

חשבון אינטגרלי: פונקציות קדומות, אינטגרל מסוים ושטחים

אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. הפונקציות הקדומות הבסיסיות בפרק זה: הקדומה של e^x היא e^x+C; הקדומה של e^(f(x)) כאשר f(x) ליניארי (f(x)=ax+b) היא (1/a)·e^(f(x))+C; הקדומה של 1/x היא ln(x)+C (עבור x>0); והקדומה של 1/f(x) כאשר f(x) ליניארי היא (1/a)·ln(f(x))+C (בתחום שבו f(x)>0). בכל מקרה, C הוא קבוע חופשי - כדי למצוא פונקציה קדומה ספציפית העוברת דרך נקודה נתונה, מציבים את הנקודה בפונקציה הקדומה הכללית ופותרים עבור C. האינטגרל המסוים ∫[a,b] f(x)dx מחושב לפי משפט ניוטון-לייבניץ: מוצאים פונקציה קדומה F, ומחשבים F(b)-F(a). כשהפונקציה חיובית בכל התחום [a,b], האינטגרל המסוים שווה בדיוק לשטח הכלוא בין הגרף לציר ה-x; אם הפונקציה משנה סימן, מחשבים את השטח על ידי חלוקת התחום לפי נקודות האפס וסכימת ערכים מוחלטים. שטח בין שני גרפים מחושב באמצעות האינטגרל של ההפרש בין הפונקציה העליונה לתחתונה בתחום הנתון. גם כאן אפשר להיתקל בפרמטר לא ידוע שיש למצוא מנתון בשאלה - למשל שטח נתון, שממנו בונים משוואה ופותרים.

דוגמאות פתורות

נתונה הפונקציה g(x) = e^(x²-4x). מצאו את הנגזרת g'(x), ואת נקודת הקיצון של הפונקציה (כולל סוגה).

  1. משתמשים בכלל השרשרת: g'(x) = (הנגזרת של x²-4x) · e^(x²-4x) = (2x-4)·e^(x²-4x).
  2. מוצאים נקודות חשודות לקיצון: g'(x)=0. מכיוון ש-e^(x²-4x) חיובי תמיד (פונקציה מעריכית אף פעם לא מתאפסת), חייב 2x-4=0, כלומר x=2.
  3. בודקים החלפת סימן סביב x=2: כש-x<2, הביטוי 2x-4 שלילי, ולכן g'(x)<0 (הפונקציה יורדת); כש-x>2, 2x-4 חיובי, ולכן g'(x)>0 (הפונקציה עולה).
  4. המעבר מירידה לעלייה מסביב ל-x=2 מעיד על נקודת מינימום.
  5. מחשבים את ערך הפונקציה שם: g(2)=e^(2²-4·2)=e^(4-8)=e^(-4).

תשובה: g'(x) = (2x-4)·e^(x²-4x). לפונקציה יש מינימום (מקומי, וגם מוחלט, מכיוון שזו נקודת הקיצון היחידה) בנקודה (2, e^(-4)).

נתונה הפונקציה f(x) = ln(x²-4). מצאו: תחום הגדרה, אסימפטוטות מאונכות, נקודות חיתוך עם ציר ה-x, ותחומי עלייה וירידה.

  1. תחום הגדרה: צריך x²-4>0, כלומר x²>4, ולכן x<-2 או x>2.
  2. אסימפטוטות מאונכות: בודקים את נקודות הקצה של התחום. כש-x שואף ל-2 מימין (בתוך התחום), x²-4 שואף ל-0+, ולכן ln(x²-4) שואף למינוס אינסוף - יש אסימפטוטה x=2. באופן דומה, כש-x שואף ל--2 משמאל, x²-4 שואף שוב ל-0+, ולכן יש אסימפטוטה גם ב-x=-2. אלה שתי נקודות האסימפטוטה המותרות לכל היותר בפונקציה מהצורה ln(f(x)).
  3. נקודות חיתוך עם ציר ה-x: פותרים ln(x²-4)=0, כלומר x²-4=e^0=1, ולכן x²=5, כלומר x=√5 או x=-√5 (שניהם מקיימים |x|>2, ולכן בתחום ההגדרה).
  4. נגזרת: f'(x) = (2x)/(x²-4) (כלל שרשרת עם פולינום ממעלה שנייה בתוך ln). בתחום x>2: המונה 2x חיובי והמכנה x²-4 חיובי, ולכן f'(x)>0 - הפונקציה עולה. בתחום x<-2: המונה 2x שלילי והמכנה x²-4 חיובי, ולכן f'(x)<0 - הפונקציה יורדת.

תשובה: תחום ההגדרה: x<-2 או x>2. אסימפטוטות: x=-2 ו-x=2. חיתוך עם ציר ה-x: x=√5 ו-x=-√5. הפונקציה יורדת על (-∞,-2) ועולה על (2,∞) (ואין לה נקודות קיצון, כי הנגזרת אף פעם לא מתאפסת בתחום).

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה y=e^x, הגרף של y=e (קבוע), ובין x=0 ל-x=1.

  1. בודקים איזו פונקציה 'עליונה' בקטע [0,1]: e^x פונקציה עולה, ולכן הערך המקסימלי שלה בקטע הוא ב-x=1: e^1=e. כלומר e^x≤e לכל x בקטע [0,1], עם שוויון רק ב-x=1 - הישר y=e הוא ה'עליון'.
  2. השטח מחושב באינטגרל של (הפונקציה העליונה פחות התחתונה): שטח = ∫[0,1] (e - e^x) dx.
  3. מוצאים פונקציה קדומה: הקדומה של e (קבוע) היא e·x; הקדומה של e^x היא e^x. כלומר הקדומה הכוללת היא F(x) = e·x - e^x.
  4. מציבים לפי ניוטון-לייבניץ: F(1)-F(0) = (e·1 - e^1) - (e·0 - e^0) = (e-e) - (0-1) = 0-(-1) = 1.

תשובה: השטח הכלוא שווה בדיוק ל-1.

תרגול

1. מצאו את הנגזרת של f(x) = e^(3x-1).תרגול
  1. משתמשים בכלל השרשרת: f'(x) = (הנגזרת של 3x-1) · e^(3x-1) = 3·e^(3x-1).

תשובה: f'(x) = 3e^(3x-1).

2. מצאו את הנגזרת של f(x) = ln(5x+2), וציינו את תחום ההגדרה שלה.תרגול
  1. תחום ההגדרה: 5x+2>0, כלומר x>-2/5.
  2. משתמשים בכלל השרשרת: f'(x) = (הנגזרת של 5x+2)/(5x+2) = 5/(5x+2).

תשובה: f'(x) = 5/(5x+2), עבור x>-2/5.

3. מצאו את הנגזרת של f(x) = x·e^x בעזרת כלל המכפלה.תרגול
  1. כלל המכפלה: (u·v)' = u'v+uv', כאשר u=x (u'=1) ו-v=e^x (v'=e^x).
  2. f'(x) = 1·e^x + x·e^x = e^x(1+x).

תשובה: f'(x) = e^x·(1+x).

4. מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)=e^x בנקודה שבה x=0.תרגול
  1. מחשבים את גובה הנקודה: f(0)=e^0=1, כלומר הנקודה (0,1).
  2. מחשבים את שיפוע המשיק: f'(x)=e^x (הנגזרת של e^x היא עצמה), ולכן f'(0)=e^0=1.
  3. מציבים בנוסחת המשיק: y-f(0)=f'(0)·(x-0), כלומר y-1=1·x, ולכן y=x+1.

תשובה: משוואת המשיק: y = x + 1.

5. נתונה הפונקציה f(x)=e^(kx), כאשר k פרמטר קבוע. ידוע כי f'(0)=4. מצאו את k.תרגול
  1. מוצאים את הנגזרת הכללית: f'(x) = k·e^(kx) (כלל שרשרת, הנגזרת של kx היא k).
  2. מציבים x=0: f'(0) = k·e^(k·0) = k·e^0 = k·1 = k.
  3. לפי הנתון f'(0)=4, ולכן k=4.

תשובה: k = 4.

6. נתון כי F'(x) = e^(2x), וכי הגרף של F עובר דרך הנקודה (0,3). מצאו את הפונקציה הקדומה F(x) המתאימה.שאלה בהקשר
  1. מוצאים פונקציה קדומה כללית: הקדומה של e^(2x) היא (1/2)·e^(2x)+C (בדיקה: הנגזרת של (1/2)e^(2x) היא (1/2)·2·e^(2x)=e^(2x), מתאים).
  2. מציבים את הנקודה (0,3): F(0) = (1/2)·e^0 + C = 0.5+C, וזה צריך להיות שווה ל-3.
  3. פותרים: C = 3-0.5 = 2.5.

תשובה: F(x) = (1/2)·e^(2x) + 2.5.

7. נתונה הפונקציה f(x) = (x-1)·e^x. מצאו את תחום ההגדרה, את נקודת הקיצון שלה (כולל סוגה - מקומית/מוחלטת), ואת תחומי העלייה והירידה.שאלה בהקשר
  1. תחום ההגדרה: כל הממשיים (אין הגבלה על e^x ואין הגבלה על x-1).
  2. מוצאים את הנגזרת בעזרת כלל המכפלה: u=x-1 (u'=1), v=e^x (v'=e^x): f'(x) = 1·e^x + (x-1)·e^x = e^x·[1+(x-1)] = e^x·x.
  3. מכיוון ש-e^x חיובי תמיד, הסימן של f'(x) נקבע לפי הסימן של x בלבד: כש-x<0, f'(x)<0 (יורדת); כש-x>0, f'(x)>0 (עולה).
  4. המעבר מירידה לעלייה ב-x=0 נותן נקודת מינימום. מכיוון שזו נקודת הקיצון היחידה בכל תחום ההגדרה והפונקציה יורדת לפניה ועולה אחריה, זהו גם מינימום מוחלט.
  5. מחשבים את ערך הפונקציה שם: f(0)=(0-1)·e^0=-1·1=-1.

תשובה: תחום ההגדרה: כל הממשיים. נקודת מינימום (מקומית וגם מוחלטת) ב-(0,-1). הפונקציה יורדת על (-∞,0) ועולה על (0,∞).

8. בדקו האם הפונקציה f(x) = ln(x²+1) זוגית, אי-זוגית, או אף אחת מהן, ונמקו גם את המשמעות הגרפית.שאלה בהקשר
  1. תחום ההגדרה: x²+1>0 מתקיים לכל x ממשי (סכום ריבוע ומספר חיובי הוא תמיד חיובי), ולכן התחום כל הממשיים - תחום סימטרי, תנאי הכרחי לבדיקת זוגיות.
  2. בודקים את f(-x): f(-x) = ln((-x)²+1) = ln(x²+1) = f(x).
  3. מכיוון ש-f(-x)=f(x) לכל x, הפונקציה זוגית.

תשובה: הפונקציה זוגית (f(-x)=f(x) לכל x), ומבחינה גרפית המשמעות היא שהגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה-y.

לזכירה

  • הנגזרת של e^x היא e^x עצמה; הנגזרת של ln(x) היא 1/x (עבור x>0).
  • כלל השרשרת: נגזרת של e^(f(x)) היא f'(x)·e^(f(x)); נגזרת של ln(f(x)), כאשר f פולינום ממעלה שנייה לכל היותר, היא f'(x)/f(x).
  • לצירופים עם פולינום משתמשים בכללי סכום, מכפלה ((uv)'=u'v+uv') ומנה כרגיל.
  • חקירת פונקציה כוללת: תחום, חיתוכים עם הצירים, משוואת משיק (y-f(x₀)=f'(x₀)(x-x₀)), תחומי עלייה/ירידה, נקודות קיצון (מקומי/מוחלט), ולעיתים זוגיות/אי-זוגיות.
  • לפונקציה g(x)=ln(f(x)) יש לכל היותר שתי אסימפטוטות מאונכות (אנכיות), בנקודות שבהן f(x)=0; ל-e^x ולהעתקותיה יש אסימפטוטה אופקית.
  • נגזרת שנייה, קעירות ונקודות פיתול אינן בתוכנית 4 יח"ל - חקירת הפונקציה נעצרת בנגזרת הראשונה בלבד.
  • פונקציות קדומות בפרק: e^x → e^x+C; e^(ax+b) → (1/a)e^(ax+b)+C; 1/x → ln(x)+C; 1/(ax+b) → (1/a)ln(ax+b)+C.
  • אינטגרל מסוים ∫[a,b]f(x)dx = F(b)-F(a); כשהפונקציה חיובית זהו שטח מתחת לגרף; שטח בין שני גרפים הוא האינטגרל של ההפרש בין העליון לתחתון.
הקודםבעיות גדילה ודעיכההבאישרים, מישורים והמצב ההדדי ביניהם, ותכונות הגופים