מכפלה סקלרית של וקטורים
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! המכפלה הסקלרית היא כלי שאני אוהב במיוחד, כי היא מודדת "כמה שני וקטורים מסכימים על כיוון", ונותנת לי בתמורה מספר אחד פשוט. אם הם מצביעים לאותו כיוון בערך - המכפלה חיובית וגדולה; אם הם כמעט מאונכים - היא קרובה ל-0; ואם המכפלה יוצאת בדיוק 0 - זה סימן בטוח שהם ניצבים, בלי שאני צריך לצייר או למדוד זווית בכלל! וכשעוברים להצגה האלגברית, המכפלה הסקלרית הופכת לפעולה שאני יכול לעשות עם שלישיות מספרים בלבד - כפל וחיבור, בלי סרגל ובלי מד-זווית.
זווית בין שני וקטורים
כל הפרק הזה עוסק בוקטורים שונים מוקטור האפס בלבד (לוקטור אפס אין כיוון, ולכן אין לו זווית מוגדרת מול וקטור אחר). הזווית בין שני וקטורים u ו-v מוגדרת כך: ממקמים את שניהם כך שהם יוצאים מאותה נקודה, והזווית ביניהם היא הזווית שנוצרת שם, בין 0° ל-180°. אם הזווית קהה (בין 90° ל-180°), אפשר למצוא את הקוסינוס שלה מתוך הזווית הצרה (הנילווית ל-180° ממנה) לפי הקשר cos(180°-α) = -cosα.
המכפלה הסקלרית - הגדרה ותכונות
המכפלה הסקלרית של שני וקטורים גאומטריים u ו-v מוגדרת u·v = |u|·|v|·cosθ, כאשר θ הזווית ביניהם - זהו מספר (סקלר), לא וקטור. תכונות חשובות: אורך וקטור אפשר לקבל מתוך המכפלה הסקלרית של הוקטור בעצמו: |u| = √(u·u) = √(u²) (כי הזווית של וקטור עם עצמו היא 0°, ו-cos0°=1). המכפלה הסקלרית מקיימת חוק חילוף: u·v = v·u. היא הומוגנית: u·(t·v) = t·(u·v). היא מקיימת חוק פילוג (ללא הוכחה): u·(v+w) = u·v + u·w. ומכאן נובעות זהויות כפל מקוצר, בדיוק כמו באלגברה רגילה: (u+v)² = u² + 2·u·v + v², וגם (u+v)·(u-v) = u² - v².
שימוש במכפלה הסקלרית לחישובי אורכים, זוויות ושטחים
אם ידועים |u|, |v| והזווית ביניהן - אפשר לחשב את u·v ישירות מההגדרה. ולהפך: אם ידועה המכפלה הסקלרית ואורכי הוקטורים, אפשר למצוא את הזווית ביניהם מתוך cosθ = u·v/(|u|·|v|). את המכפלה הסקלרית אפשר לנצל גם כדי לחשב אורכים של קטעים וזוויות בתוך צורות (כמו משולשים ומרובעים), באמצעות הצגתם כצירופים של וקטורים ושימוש בזהויות הכפל המקוצר.
ניצבות בין וקטורים, וניצבות בין וקטור למישור
שני וקטורים (שונים מאפס) מאונכים זה לזה אם ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה ל-0 (כי cos90°=0) - זהו כלי מרכזי להוכחת ניצבות בלי למדוד זוויות בעצמן. וקטור מאונך למישור אם הוא מאונך לכל וקטור באותו מישור. התנאי המספיק: אם וקטור מאונך לשני וקטורים לא קולינאריים שמגדירים מישור מסוים - הוא מאונך לכל אותו מישור. זהו בדיוק אותו רעיון של "ישר מאונך למישור" שפגשנו קודם, רק שעכשיו יש לנו כלי חדש - המכפלה הסקלרית - כדי להוכיח אותו במספרים.
מכפלה סקלרית בהצגה אלגברית
אם u=(x1,y1,z1) ו-v=(x2,y2,z2), המכפלה הסקלרית שלהם מחושבת לפי u·v = x1·x2 + y1·y2 + z1·z2 (כופלים שיעור מול שיעור ומחברים). מכאן גם נובע אורך וקטור בהצגה אלגברית: |u| = √(x1²+y1²+z1²). ההצגה האלגברית הופכת את כל השימושים שראינו - חישובי אורכים, זוויות, ניצבות בין וקטורים וניצבות בין וקטור למישור - לחישוב מספרי ישיר, בלי צורך בשרטוט.
דוגמאות פתורות
נתונים |u|=3, |v|=4, והזווית ביניהם 60°. חשבו את u·v.
- משתמשים בהגדרה: u·v = |u|·|v|·cosθ.
- מציבים: u·v = 3·4·cos60°.
- cos60° = 0.5.
- u·v = 12·0.5 = 6.
תשובה: u·v = 6.
נתונים |u|=5, |v|=2, וידוע ש-u·v=-5. מצאו את הזווית בין u ל-v.
- משתמשים בנוסחה cosθ = u·v/(|u|·|v|).
- מציבים: cosθ = -5/(5·2) = -5/10 = -0.5.
- מחפשים זווית θ שקוסינוס שלה הוא -0.5 - זו זווית קהה, ולפי הקשר cos(180°-α)=-cosα, אם α=60° (כי cos60°=0.5), אז cos(180°-60°)=cos120°=-0.5.
תשובה: הזווית בין u ל-v היא 120°.
נתונים u=(1,1,0), v=(1,0,1). חשבו את המכפלה הסקלרית, את אורכי הוקטורים, ואת הזווית ביניהם.
- המכפלה הסקלרית: u·v = 1·1 + 1·0 + 0·1 = 1.
- |u| = √(1²+1²+0²) = √2.
- |v| = √(1²+0²+1²) = √2.
- cosθ = u·v/(|u|·|v|) = 1/(√2·√2) = 1/2.
תשובה: u·v=1, |u|=√2, |v|=√2, והזווית ביניהם θ=60° (כי cos60°=0.5).
תרגול
1. נתונים |u|=6, |v|=5, והזווית ביניהם 90°. חשבו את u·v.תרגול
- u·v = |u|·|v|·cos90°.
- cos90° = 0.
- u·v = 6·5·0 = 0.
תשובה: u·v = 0.
2. נתונים |u|=4, |v|=3, והזווית ביניהם 180° (הוקטורים נגדיים בכיוון). חשבו את u·v.תרגול
- u·v = |u|·|v|·cos180°.
- cos180° = -1.
- u·v = 4·3·(-1) = -12.
תשובה: u·v = -12.
3. נתונים u=(3,-2,1), v=(0,4,2). חשבו את u·v.תרגול
- u·v = 3·0 + (-2)·4 + 1·2.
- = 0 - 8 + 2 = -6.
תשובה: u·v = -6.
4. נתון u=(2,-2,1). חשבו את אורך הוקטור |u|.תרגול
- |u| = √(2²+(-2)²+1²) = √(4+4+1) = √9.
תשובה: |u| = 3.
5. נתונים u=(1,2,2), v=(2,1,-2). הוכיחו כי u ו-v מאונכים.שאלה בהקשר
- מחשבים את המכפלה הסקלרית: u·v = 1·2 + 2·1 + 2·(-2).
- = 2 + 2 - 4 = 0.
- מכיוון שהמכפלה הסקלרית שווה 0, ולפי המשפט - שני וקטורים מאונכים אם ורק אם מכפלתם הסקלרית 0.
תשובה: u·v=0, ולכן u ו-v מאונכים.
6. נתון |u|=3, |v|=4, ו-u,v מאונכים (u·v=0). חשבו את |u+v|, בעזרת הזהות (u+v)²=u²+2u·v+v².שאלה בהקשר
- u² = |u|² = 9, v² = |v|² = 16.
- מציבים בזהות: (u+v)² = 9 + 2·0 + 16 = 25.
- לכן |u+v| = √25 = 5.
תשובה: |u+v| = 5.
7. בפירמידה ישרה SABCD שבסיסה מלבן, ו-O מרכז הבסיס (מפגש האלכסונים AC,BD). נתון SO·AC=0 וגם SO·BD=0. הסבירו מדוע ניתן להסיק מכך ש-SO מאונך למישור הבסיס ABCD.שאלה בהקשר
- AC ו-BD הם שני וקטורים לא קולינאריים (הם על שני אלכסונים שונים של המלבן) שמגדירים את מישור הבסיס.
- נתון ש-SO·AC=0 וגם SO·BD=0, כלומר SO מאונך לשני הוקטורים האלה.
- לפי התנאי המספיק לניצבות בין וקטור למישור, וקטור המאונך לשני וקטורים לא קולינאריים המגדירים מישור - מאונך לכל אותו מישור.
תשובה: כן: SO מאונך לשני וקטורים לא קולינאריים (AC,BD) המגדירים את מישור הבסיס, ולכן לפי התנאי המספיק SO מאונך למישור ABCD כולו.
לזכירה
- הזווית בין שני וקטורים נמדדת כשהם יוצאים מאותה נקודה, בין 0° ל-180°. עבור זווית קהה משתמשים בקשר cos(180°-α)=-cosα.
- המכפלה הסקלרית: u·v=|u|·|v|·cosθ (מספר, לא וקטור). |u|=√(u·u). מקיימת חוק חילוף, הומוגניות, וחוק פילוג (ללא הוכחה); (u+v)²=u²+2u·v+v², (u+v)(u-v)=u²-v².
- u,v (שונים מאפס) מאונכים אם ורק אם u·v=0. וקטור מאונך למישור אם הוא מאונך לכל וקטור בו; מספיק לבדוק ניצבות לשני וקטורים לא קולינאריים המגדירים את המישור.
- בהצגה אלגברית: u·v = x1x2+y1y2+z1z2, ו-|u|=√(x1²+y1²+z1²) - כך אפשר לחשב אורכים, זוויות וניצבות ישירות מהשיעורים.