לומדי

סדרה הנדסית

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! אם בסדרה חשבונית כל צעד מוסיפים מספר קבוע, בסדרה הנדסית כל צעד מכפילים במספר קבוע q - זה ההבדל המרכזי, וכדאי לזכור אותו כל הזמן. מכאן נובע הכול: הממוצע ההנדסי (כפל וריבוע במקום חיבור וחילוק), הגידול המהיר של הסכום (כי מכפילים, לא מוסיפים), ואפילו הרעיון שאם q קטן מ-1 בערכו המוחלט, כל האיברים 'מתכווצים' לעבר אפס - ואז יש טעם לדבר על סכום של אינסוף איברים בלי שהוא יתפוצץ. וכמו תמיד: אם רוצים להוכיח שסדרה הנדסית, מראים שהמנה בין שכנים קבועה לכל n - לא רק לכמה איברים שבדקתם.

הגדרת סדרה הנדסית וייצוגיה

סדרה הנדסית היא סדרה שבה המנה (היחס) בין כל שני איברים עוקבים קבועה - אותו מספר q (נקרא 'מנת הסדרה', q≠0) לאורך כל הסדרה, כאשר גם a₁≠0. שני ייצוגים סימבוליים שקולים: ייצוג מפורש, aₙ=a₁·q^(n-1), וייצוג רקורסיבי, a₁=a, aₙ₊₁=aₙ·q. בייצוג הגרפי, איברי הסדרה ההנדסית יושבים כנקודות בודדות על גרף של פונקציה מעריכית - וזה הגיוני, כי הנוסחה aₙ=a₁·q^(n-1) מבטאת את aₙ כמכפלה של קבוע בחזקה של q, בדיוק כמו פונקציה מעריכית ב-n.

מעבר בין הייצוגים ותכונות הסדרה

המעבר בין הייצוג המפורש לרקורסיבי דומה לזה שבסדרה חשבונית: מהנוסחה המפורשת aₙ=a₁·q^(n-1) קוראים ישירות את a₁ ואת q (הבסיס), ובונים a₁=..., aₙ₊₁=aₙ·q; ולהפך, q הוא תמיד המנה בין איבר לקודמו, q=aₙ₊₁/aₙ לכל n - זו הדרך המהירה למצוא q מרשימת איברים נתונה. בסדרה הנדסית, כל איבר (מהשני ואילך) הוא הממוצע ההנדסי של שני שכניו: aₙ²=aₙ₋₁·aₙ₊₁ - ומכאן השם 'סדרה הנדסית'. הסדרה עולה, יורדת או קבועה בהתאם לערכי a₁ ו-q; וכשל q שלילי, סימני האיברים מתחלפים לסירוגין (חיובי, שלילי, חיובי, שלילי...) - בניגוד לסדרה חשבונית, כאן יש שינוי סימן חוזר ולא רק פעם אחת.

סכום n האיברים הראשונים והוכחת סדרה הנדסית

סכום n האיברים הראשונים בסדרה הנדסית (עבור q≠1) מחושב לפי הנוסחה: Sₙ = a₁·(q^n-1)/(q-1). כמו בסדרה חשבונית, מתקיים גם כאן הקשר Sₙ-Sₙ₋₁=aₙ לכל n≥2. כדי להוכיח שסדרה נתונה היא הנדסית, אפשר: (1) מהאיבר הכללי - להראות שהמנה aₙ₊₁/aₙ יוצאת קבועה (לא תלויה ב-n); (2) מההגדרה הרקורסיבית - אם היא כבר נתונה בצורה aₙ₊₁=aₙ·q, זו הוכחה מיידית; (3) מנוסחת הסכום. גם כאן ההוכחה חייבת להיות כללית - לא מספיק לבדוק כמה איברים ספציפיים, ומספיק זוג אחד של איברים עוקבים עם מנה שונה כדי להפריך שהסדרה הנדסית. שאלות רבות עם סדרה הנדסית דורשות שליטה בפתרון משוואות חזקות (חוקי חזקות, השוואת בסיסים או מעריכים) - בדיוק כמו בפרק הפונקציה המעריכית.

תת-סדרות הנדסיות

בדיוק כמו בסדרה חשבונית, גם מסדרה הנדסית אפשר לבנות תת-סדרות באופן שיטתי - למשל לקחת רק את האיברים במקומות הזוגיים (a₂,a₄,a₆,...) או רק במקומות האי-זוגיים. תת-סדרה כזו נשארת בעצמה סדרה הנדסית, אך עם מנה חדשה שהיא חזקה של המנה המקורית (למשל, סדרת האיברים הזוגיים של סדרה עם מנה q היא עצמה הנדסית עם מנה q²).

סכום סדרה הנדסית אינסופית

כאשר מנת הסדרה q מקיימת -1<q<1 (וגם q≠0), סכום כל אינסוף האיברים בסדרה ההנדסית מתכנס (מתקרב) לערך סופי, הנתון בנוסחה S = a₁/(1-q). באופן אינטואיטיבי: ככל שמעלים q (שערכו המוחלט קטן מ-1) בחזקה גבוהה יותר, q^n מתקרב ל-0, ולכן תרומת האיברים הרחוקים לסכום הופכת זניחה. הנוסחה ניתנת לשימוש ישירות, ללא צורך בהוכחה של תחום ההתכנסות. חשוב לזכור את התנאי -1<q<1: כאשר |q|≥1, אין לסדרה הנדסית סכום אינסופי סופי, והנוסחה לא ישימה.

דוגמאות פתורות

נתונה סדרה הנדסית עם a₁=3, q=2. מצאו את הנוסחה המפורשת aₙ, את a₆, ואת ההגדרה הרקורסיבית שלה.

  1. מציבים בנוסחת האיבר הכללי: aₙ=a₁·q^(n-1) = 3·2^(n-1).
  2. מציבים n=6: a₆=3·2⁵=3·32=96.
  3. ההגדרה הרקורסיבית נבנית ישירות מ-a₁ ו-q: a₁=3, aₙ₊₁=2·aₙ.

תשובה: aₙ=3·2^(n-1). a₆=96. הגדרה רקורסיבית: a₁=3, aₙ₊₁=2aₙ.

בסדרה הנדסית ידוע כי a₂=6 ו-a₅=48. מצאו את q ואת a₁, ואת S₅ (סכום 5 האיברים הראשונים).

  1. בין a₂ ל-a₅ יש בדיוק 3 'קפיצות' של q (מ-2 עד 5 זה 3 מקומות), ולכן a₅/a₂=q³: 48/6=8, כלומר q³=8, ולכן q=2 (השורש השלישי הממשי היחיד של 8).
  2. משתמשים ב-a₂=a₁·q=6: a₁=6/2=3.
  3. בדיקה: a₁=3, a₂=6, a₃=12, a₄=24, a₅=48 - מתאים.
  4. מציבים בנוסחת הסכום: S₅ = a₁·(q⁵-1)/(q-1) = 3·(32-1)/(2-1) = 3·31/1 = 93.
  5. בדיקה ישירה: 3+6+12+24+48=93 - מתאים.

תשובה: q=2, a₁=3, ו-S₅=93.

מצאו את סכום הסדרה ההנדסית האינסופית שאיברה הראשון a₁=6 ומנתה q=1/2.

  1. בודקים את תנאי ההתכנסות: q=1/2 מקיים -1<1/2<1, ולכן לסדרה יש סכום אינסופי סופי.
  2. מציבים בנוסחה: S = a₁/(1-q) = 6/(1-1/2) = 6/(1/2).
  3. 6 חלקי חצי שווה 6·2=12.

תשובה: סכום הסדרה האינסופית הוא 12.

תרגול

1. בסדרה הנדסית a₁=5, q=3. מצאו את הנוסחה המפורשת aₙ ואת a₄.תרגול
  1. aₙ=a₁·q^(n-1) = 5·3^(n-1).
  2. מציבים n=4: a₄=5·3³=5·27=135.

תשובה: aₙ=5·3^(n-1), ו-a₄=135.

2. נתונה הסדרה הרקורסיבית a₁=2, aₙ₊₁=-2·aₙ. מצאו את חמשת האיברים הראשונים.תרגול
  1. a₁=2 (נתון).
  2. a₂=-2·2=-4.
  3. a₃=-2·(-4)=8.
  4. a₄=-2·8=-16.
  5. a₅=-2·(-16)=32.

תשובה: האיברים הראשונים הם: 2, -4, 8, -16, 32 (הסימנים מתחלפים לסירוגין, כי q שלילי).

3. נתונה הסדרה ההנדסית: 4, 12, 36, 108, ... מצאו את מנת הסדרה q ואת a₆.תרגול
  1. המנה: q=12/4=3 (בודקים גם 36/12=3, 108/36=3 - מתאים).
  2. a₁=4. מציבים בנוסחה: a₆=a₁·q⁵=4·3⁵=4·243=972.

תשובה: q=3, ו-a₆=972.

4. מצאו את סכום הסדרה ההנדסית האינסופית עם a₁=20, q=1/5.תרגול
  1. בודקים תנאי התכנסות: q=1/5 מקיים -1<1/5<1, מתאים.
  2. מציבים בנוסחה: S = a₁/(1-q) = 20/(1-1/5) = 20/(4/5) = 20·5/4 = 100/4 = 25.

תשובה: סכום הסדרה האינסופית הוא 25.

5. בסדרה הנדסית a₁=1, q=2. מצאו את S₅ (סכום 5 האיברים הראשונים).תרגול
  1. מציבים בנוסחת הסכום: S₅ = a₁·(q⁵-1)/(q-1) = 1·(32-1)/(2-1) = 31/1 = 31.
  2. בדיקה ישירה: האיברים 1,2,4,8,16, וסכומם 1+2+4+8+16=31 - מתאים.

תשובה: S₅ = 31.

6. הוכיחו שהסדרה עם איבר כללי aₙ=4·5ⁿ היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה q.שאלה בהקשר
  1. כדי להוכיח שסדרה הנדסית, בודקים אם המנה aₙ₊₁/aₙ יוצאת קבועה (לא תלויה ב-n).
  2. aₙ₊₁=4·5^(n+1).
  3. aₙ₊₁/aₙ = (4·5^(n+1))/(4·5ⁿ) = 5^(n+1)/5ⁿ = 5^((n+1)-n) = 5¹ = 5.
  4. המנה יצאה 5, קבועה ולא תלויה ב-n. לכן הסדרה הנדסית עם q=5.

תשובה: הסדרה הנדסית (המנה aₙ₊₁/aₙ=5 לכל n, קבועה), עם q=5.

7. כדור מוטל מגובה 10 מטר. בכל נגיחה בקרקע הוא מקפץ לגובה השווה ל-60% מהגובה שממנו נפל בפעם הקודמת. מצאו את גובה הקפיצה השלישית.שאלה בהקשר
  1. גובה הקפיצה הראשונה: 60% מ-10 מטר, כלומר a₁=10·0.6=6 מטר.
  2. גבהי הקפיצות יוצרים סדרה הנדסית עם a₁=6, q=0.6 (כל קפיצה מגיעה ל-60% מהקפיצה הקודמת).
  3. מוצאים את גובה הקפיצה השלישית: a₃=a₁·q²=6·0.6²=6·0.36=2.16.

תשובה: גובה הקפיצה השלישית הוא 2.16 מטר.

8. בסדרה חשבונית עם הפרש d≠0, האיבר הראשון הוא a₁=2. ידוע שהאיברים a₁, a₂ ו-a₆ (של אותה סדרה חשבונית, בסדר הזה) מהווים שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית. מצאו את d ואת מנת הסדרה ההנדסית q.שאלה בהקשר
  1. מבטאים לפי הסדרה החשבונית: a₁=2, a₂=2+d, a₆=2+5d.
  2. תנאי להיות שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית: האיבר האמצעי בריבוע שווה למכפלת השכנים - a₂²=a₁·a₆.
  3. מציבים: (2+d)² = 2·(2+5d).
  4. פותחים: 4+4d+d² = 4+10d.
  5. מעבירים אגף: d²+4d-10d=0, כלומר d²-6d=0, ולכן d(d-6)=0.
  6. מקבלים d=0 או d=6 - אבל נתון ש-d≠0, ולכן d=6.
  7. מוצאים את שלושת האיברים: a₁=2, a₂=2+6=8, a₆=2+5·6=32. מנת הסדרה ההנדסית: q=8/2=4 (בודקים גם 32/8=4 - מתאים).

תשובה: d=6, ומנת הסדרה ההנדסית q=4.

לזכירה

  • בסדרה הנדסית המנה בין כל שני איברים עוקבים קבועה: aₙ₊₁/aₙ=q לכל n (q≠0, a₁≠0).
  • ייצוג מפורש: aₙ=a₁·q^(n-1). ייצוג רקורסיבי: a₁=a, aₙ₊₁=aₙ·q.
  • כל איבר הוא הממוצע ההנדסי של שני שכניו: aₙ²=aₙ₋₁·aₙ₊₁. כש-q שלילי, סימני האיברים מתחלפים לסירוגין.
  • סכום n האיברים הראשונים (q≠1): Sₙ=a₁(q^n-1)/(q-1), וכן Sₙ-Sₙ₋₁=aₙ לכל n≥2.
  • כדי להוכיח שסדרה הנדסית: מראים ש-aₙ₊₁/aₙ קבוע (לא תלוי ב-n) - הוכחה כללית, לא בדיקת מקרים.
  • סכום סדרה הנדסית אינסופית: S=a₁/(1-q), רק כאשר -1<q<1 (וq≠0); כש-|q|≥1 אין סכום סופי.
  • שאלות שילוב בין סדרה חשבונית והנדסית (למשל שלושה איברים בסדרה אחת שיוצרים סדרה מהסוג השני) פותרים בעזרת ביטוי כל האיברים לפי אותה סדרה, והצבה בתנאי של הסדרה השנייה.
הקודםסדרה חשבונית