לומדי

סדרה חשבונית

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! סדרה חשבונית היא הכי פשוטה שיש: כל צעד מוסיפים בדיוק אותו מספר d. אם תדמיינו מדרגות שכל מדרגה גבוהה מקודמתה באותו גובה קבוע - זו סדרה חשבונית בדיוק. כל התכונות שלה נובעות מהרעיון הזה: הממוצע של שני שכנים נותן את מי שביניהם (כי הם באותו 'מרחק' משני הצדדים), הסכום הוא בעצם 'ממוצע כפול מספר איברים', וכדי להוכיח שסדרה חשבונית - פשוט מראים שההפרש בין כל שני שכנים באמת קבוע, לכל n, לא רק באיברים שבדקתם.

הגדרת סדרה חשבונית וייצוגיה

סדרה חשבונית היא סדרה שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים קבוע - אותו מספר d (הנקרא ההפרש הקבוע של הסדרה) לאורך כל הסדרה. יש לה שני ייצוגים סימבוליים שקולים: ייצוג מפורש (לפי מקום), aₙ = a₁ + (n-1)·d, שבו מחשבים כל איבר ישירות מהמקום n שלו; וייצוג רקורסיבי (כלל נסיגה), a₁=a, aₙ₊₁=aₙ+d, שבו כל איבר מתקבל מקודמו על ידי הוספת d. בייצוג הגרפי, איברי הסדרה החשבונית יושבים כנקודות בודדות בדיוק על גרף של פונקציה ליניארית - וזה הגיוני, כי הנוסחה aₙ=a₁+(n-1)d=dn+(a₁-d) היא ביטוי ליניארי במקום n, עם d בתפקיד השיפוע.

מעבר בין הייצוג המפורש לרקורסיבי

לרוב קל לעבור מייצוג מפורש לרקורסיבי: מהנוסחה aₙ=a₁+(n-1)d קוראים ישירות את a₁ (האיבר הראשון) ואת d (מקדם n, ההפרש הקבוע), ובונים a₁=..., aₙ₊₁=aₙ+d. לכיוון ההפוך - מרקורסיבי למפורש - פשוט מציבים את a₁ ואת d (שכבר מוכרים מהכלל aₙ₊₁=aₙ+d) בנוסחת האיבר הכללי aₙ=a₁+(n-1)d. חשוב לזכור: d הוא תמיד ההפרש בין איבר לאיבר שקדם לו, כלומר d=aₙ₊₁-aₙ לכל n - זו הדרך המהירה ביותר לחשב d כשנתונה רשימת איברים.

תכונות של סדרה חשבונית

בסדרה חשבונית, כל איבר (מהאיבר השני ואילך) שווה בדיוק לממוצע של שני שכניו: aₙ=(aₙ₋₁+aₙ₊₁)/2 - ומכאן בדיוק השם 'סדרה חשבונית' (ממוצע חשבוני). הסדרה עולה כאשר d>0 (כל איבר גדול מקודמו), יורדת כאשר d<0, וקבועה (כל האיברים שווים) כאשר d=0. איברי הסדרה יכולים להיות כולם חיוביים, כולם שליליים, או לעבור מסימן לסימן פעם אחת בדיוק לאורך הסדרה (בהתאם לערך a₁ ול-d) - בניגוד לסדרה הנדסית, אין כאן החלפת סימן חוזרת.

סכום n האיברים הראשונים

סכום n האיברים הראשונים בסדרה חשבונית, Sₙ=a₁+a₂+...+aₙ, מחושב באחת משתי נוסחאות שקולות: Sₙ = n·[2a₁+(n-1)d]/2, או Sₙ = n·(a₁+aₙ)/2 (n כפול הממוצע של האיבר הראשון והאחרון - נוח כאשר כבר יודעים את aₙ). יש קשר ישיר בין הסכום לבין האיבר הכללי: Sₙ-Sₙ₋₁=aₙ לכל n≥2 - כלומר, ההפרש בין סכום n האיברים הראשונים לסכום n-1 הראשונים הוא בדיוק האיבר ה-n עצמו (הגיוני: מוסיפים בדיוק איבר אחד). קשר זה שימושי כשנתונה נוסחה לסכום Sₙ כפונקציה של n, ורוצים למצוא ממנה את האיבר הכללי aₙ.

הוכחת סדרה חשבונית ותת-סדרות

כדי להוכיח שסדרה נתונה היא חשבונית, צריך להראות זאת באופן כללי - לא מספיק לבדוק כמה איברים ספציפיים. שלוש דרכים מקובלות: (1) מהאיבר הכללי - מראים ש-aₙ₊₁-aₙ יוצא קבוע (לא תלוי ב-n); (2) מההגדרה הרקורסיבית - אם היא כבר נתונה בצורה aₙ₊₁=aₙ+d, זו הוכחה מיידית; (3) מנוסחת הסכום - אם Sₙ הוא ביטוי ריבועי ב-n בלי איבר חופשי (מהצורה An²+Bn), אפשר להראות שהסדרה חשבונית. לעומת זאת, כדי להפריך טענה שסדרה חשבונית, מספיק למצוא זוג אחד של איברים עוקבים עם הפרש שונה מהשאר. תת-סדרות שנבנות מסדרה חשבונית באופן שיטתי - למשל רק האיברים במקומות הזוגיים (a₂,a₄,a₆,...) - שומרות בעצמן על תכונת החשבוניות, אך עם הפרש קבוע חדש (כפולה של ה-d המקורי).

דוגמאות פתורות

נתונה סדרה חשבונית עם a₁=5, d=3. מצאו את הנוסחה המפורשת aₙ, את a₁₀, ואת ההגדרה הרקורסיבית שלה.

  1. מציבים בנוסחת האיבר הכללי: aₙ=a₁+(n-1)d = 5+(n-1)·3 = 5+3n-3 = 3n+2.
  2. בדיקה: aₙ=3n+2 עבור n=1 נותן 3+2=5, מתאים ל-a₁.
  3. מציבים n=10: a₁₀=3·10+2=32.
  4. ההגדרה הרקורסיבית נבנית ישירות מ-a₁ ו-d: a₁=5, aₙ₊₁=aₙ+3.

תשובה: aₙ=3n+2. a₁₀=32. הגדרה רקורסיבית: a₁=5, aₙ₊₁=aₙ+3.

בסדרה חשבונית ידוע כי a₃=11 ו-a₇=27. מצאו את a₁ ואת d, ואת S₁₀ (סכום 10 האיברים הראשונים).

  1. בין a₃ ל-a₇ יש בדיוק 4 'קפיצות' של d (מ-3 עד 7 זה 4 מקומות), ולכן a₇-a₃=4d: 27-11=4d, כלומר 16=4d, ולכן d=4.
  2. משתמשים ב-a₃=a₁+2d=11: a₁=11-2·4=11-8=3.
  3. בדיקה: a₁=3, a₂=7, a₃=11 ✓, ...וב-a₇=3+6·4=3+24=27 ✓.
  4. מוצאים את a₁₀ כדי להשתמש בנוסחת הסכום השנייה: a₁₀=a₁+9d=3+9·4=3+36=39.
  5. מציבים בנוסחת הסכום: S₁₀ = 10·(a₁+a₁₀)/2 = 10·(3+39)/2 = 10·42/2 = 210.

תשובה: a₁=3, d=4, S₁₀=210.

הוכיחו שהסדרה עם איבר כללי aₙ=5n-2 היא סדרה חשבונית, ומצאו את ההפרש הקבוע d שלה.

  1. כדי להוכיח שסדרה חשבונית, בודקים אם ההפרש aₙ₊₁-aₙ יוצא קבוע (לא תלוי ב-n).
  2. מחשבים aₙ₊₁: מציבים n+1 במקום n בנוסחה: aₙ₊₁=5(n+1)-2=5n+5-2=5n+3.
  3. מחשבים את ההפרש: aₙ₊₁-aₙ = (5n+3)-(5n-2) = 5n+3-5n+2 = 5.
  4. ההפרש יצא 5 - מספר קבוע, שאינו תלוי כלל ב-n. לכן הסדרה חשבונית, וההפרש הקבוע שלה הוא d=5.

תשובה: הסדרה חשבונית (aₙ₊₁-aₙ=5 לכל n, קבוע), עם הפרש d=5.

תרגול

1. בסדרה חשבונית a₁=10, d=-2. מצאו את הנוסחה המפורשת aₙ ואת a₁₅.תרגול
  1. aₙ=a₁+(n-1)d = 10+(n-1)·(-2) = 10-2n+2 = 12-2n.
  2. מציבים n=15: a₁₅=12-2·15=12-30=-18.

תשובה: aₙ=12-2n, ו-a₁₅=-18.

2. נתונה הסדרה הרקורסיבית a₁=7, aₙ₊₁=aₙ+5. מצאו את הנוסחה המפורשת aₙ.תרגול
  1. ההגדרה הרקורסיבית נותנת ישירות a₁=7 ו-d=5 (ההפרש הקבוע שמתווסף בכל שלב).
  2. מציבים בנוסחת האיבר הכללי: aₙ=a₁+(n-1)d = 7+(n-1)·5 = 7+5n-5 = 5n+2.

תשובה: aₙ = 5n+2.

3. נתונה הסדרה החשבונית: 4, 9, 14, 19, ... מצאו את ההפרש הקבוע d ואת a₂₀.תרגול
  1. ההפרש הקבוע: d=9-4=5 (בודקים גם 14-9=5, 19-14=5 - מתאים).
  2. a₁=4. מציבים בנוסחה: a₂₀=a₁+19d=4+19·5=4+95=99.

תשובה: d=5, ו-a₂₀=99.

4. בסדרה חשבונית a₁=3, d=2. מצאו את S₂₀ (סכום 20 האיברים הראשונים).תרגול
  1. מציבים בנוסחת הסכום: S₂₀ = n·[2a₁+(n-1)d]/2 = 20·[2·3+19·2]/2 = 20·[6+38]/2 = 20·44/2.
  2. 20·44=880, ו-880/2=440.

תשובה: S₂₀ = 440.

5. הוכיחו שהסדרה עם איבר כללי aₙ=7-4n היא סדרה חשבונית, ומצאו את a₁ ואת ההפרש הקבוע d.שאלה בהקשר
  1. בודקים את aₙ₊₁-aₙ: aₙ₊₁=7-4(n+1)=7-4n-4=3-4n.
  2. aₙ₊₁-aₙ = (3-4n)-(7-4n) = 3-4n-7+4n = -4 - קבוע, לא תלוי ב-n. לכן הסדרה חשבונית עם d=-4.
  3. מוצאים את a₁ ישירות מהנוסחה: a₁=7-4·1=3.

תשובה: הסדרה חשבונית עם d=-4 ו-a₁=3.

6. באולם תיאטרון 20 שורות. בשורה הראשונה יש 18 מושבים, ובכל שורה הבאה יש 3 מושבים יותר מבשורה שלפניה. כמה מושבים יש בשורה ה-20, וכמה מושבים יש בסך הכול באולם?שאלה בהקשר
  1. מספר המושבים בכל שורה יוצר סדרה חשבונית: a₁=18, d=3.
  2. מספר המושבים בשורה ה-20: a₂₀=a₁+19d=18+19·3=18+57=75.
  3. סך כל המושבים הוא סכום 20 האיברים הראשונים: S₂₀=20·(a₁+a₂₀)/2=20·(18+75)/2=20·93/2=1860/2=930.

תשובה: בשורה ה-20 יש 75 מושבים, ובסך הכול באולם יש 930 מושבים.

7. בסדרה חשבונית ידוע כי סכום n האיברים הראשונים הוא Sₙ=3n²+5n. מצאו את ההפרש הקבוע d, את האיבר הראשון a₁, ואת a₅.שאלה בהקשר
  1. מוצאים a₁ ישירות: a₁=S₁=3·1²+5·1=3+5=8.
  2. מוצאים את האיבר הכללי לפי aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁ (עבור n≥2): Sₙ₋₁=3(n-1)²+5(n-1)=3(n²-2n+1)+5n-5=3n²-6n+3+5n-5=3n²-n-2.
  3. aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=(3n²+5n)-(3n²-n-2)=3n²+5n-3n²+n+2=6n+2.
  4. בודקים שהנוסחה עקבית גם ב-n=1: 6·1+2=8, מתאים ל-a₁ שכבר מצאנו.
  5. הנוסחה aₙ=6n+2 היא ליניארית ב-n, כלומר הסדרה חשבונית עם d=6 (המקדם של n).
  6. מוצאים a₅ בהצבה ישירה: a₅=6·5+2=32.

תשובה: d=6, a₁=8, ו-a₅=32.

לזכירה

  • בסדרה חשבונית ההפרש בין כל שני איברים עוקבים קבוע: aₙ₊₁-aₙ=d לכל n.
  • ייצוג מפורש: aₙ=a₁+(n-1)d. ייצוג רקורסיבי: a₁=a, aₙ₊₁=aₙ+d.
  • כל איבר שווה לממוצע של שני שכניו: aₙ=(aₙ₋₁+aₙ₊₁)/2. הסדרה עולה כש-d>0, יורדת כש-d<0, וקבועה כש-d=0.
  • סכום n האיברים הראשונים: Sₙ=n[2a₁+(n-1)d]/2 = n(a₁+aₙ)/2, וכן Sₙ-Sₙ₋₁=aₙ לכל n≥2.
  • כדי להוכיח שסדרה חשבונית: מראים ש-aₙ₊₁-aₙ קבוע (לא תלוי ב-n) - לא מספיק לבדוק מקרים ספציפיים; דוגמה נגדית אחת מספיקה כדי להפריך.
הקודםהקדמה לסדרותהבאסדרה הנדסית