לומדי

חשבון דיפרנציאלי – פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! הפרק הזה מציג שתי פונקציות שבאמת "רצות" בעולם האמיתי - גדילת אוכלוסייה, התפרקות תרופה בגוף, קרינה רדיואקטיבית, וגם סולם ריכטר לרעידות אדמה. הסוד הגדול הוא שהפונקציה המעריכית y=a^x והפונקציה הלוגריתמית y=log_a(x) הן זוג - כל אחת "מבטלת" את השנייה, בדיוק כמו חיבור וחיסור. וכשמגיעים לנגזרות, יש הפתעה יפה: הנגזרת של e^x היא e^x בעצמה! זה הופך את e לבסיס הכי "טבעי" בכל המתמטיקה (מכאן השם "לוגריתם טבעי"). קחו את זה צעד-צעד: קודם תכירו את הפונקציות עצמן ואת הגרפים שלהן, ואז כל הנגזרות והאינטגרלים יתחברו הרבה יותר בקלות.

רקע אלגברי: חוקי חזקות ולוגריתמים

לפני העבודה עם הפונקציות עצמן, חוזרים ומחזקים חוקי חזקות ושורשים, כולל חזקה עם מעריך רציונלי (x^(p/q) מוגדרת כשורש ה-q-י של x^p). לוגריתם log_a(x) הוא המעריך שבו צריך להעלות את a כדי לקבל x. חוקי הלוגריתמים המרכזיים: log_a(xy)=log_a(x)+log_a(y) (לוגריתם של מכפלה), log_a(x/y)=log_a(x)-log_a(y) (מנה), log_a(x^r)=r·log_a(x) (חזקה, כולל שורש כמעריך שברי), ומעבר בסיס: log_a(x)=log_b(x)/log_b(a). חוקים אלה משמשים לפתרון משוואות ואי-שוויונות מעריכיים ולוגריתמיים - בעיקר ככלי עזר בחקירת הפונקציות ובבעיות יישומיות, לא כנושא בפני עצמו.

הפונקציה המעריכית: תכונות, גרף והמספר e

הפונקציה המעריכית y=a^x (עם a>0, a≠1) מוגדרת לכל x ממשי; אם a>1 הפונקציה עולה, אם 0<a<1 היא יורדת, ובכל מקרה a^0=1 ולכן הגרף עובר דרך (0,1), והפונקציה חיובית לכל x. יש קשר ישיר בין פונקציה מעריכית לסדרה הנדסית, בדומה לקשר בין פונקציה לינארית לסדרה חשבונית: הערכים של y=a^x בנקודות שלמות עוקבות (x=0,1,2,...) יוצרים סדרה הנדסית עם מנה a. מספר מיוחד וחשוב הוא e (≈2.71828...), והפונקציה y=e^(kx) (או באופן כללי יותר y=e^f(x)) חוזרת שוב ושוב לאורך כל הפרק, במיוחד בתיאור תהליכי גדילה ודעיכה: N(t)=N₀·e^(kt), כאשר k>0 מתאר גדילה מעריכית ו-k<0 מתאר דעיכה מעריכית. גודל חשוב בתהליכי דעיכה הוא זמן מחצית החיים - הזמן שבו הכמות יורדת למחצית מערכה.

הפונקציה הלוגריתמית כהפוכה לפונקציה המעריכית

הפונקציה הלוגריתמית y=log_a(x) היא הפונקציה ההפוכה לפונקציה המעריכית y=a^x - כלומר אם b=a^x אז x=log_a(b). מוגדרת רק עבור x>0, והגרף שלה הוא שיקוף הגרף המעריכי ביחס לישר y=x. הלוגריתם הטבעי (ln, בבסיס e) הוא המרכזי ביותר בפרק. הצגת ההיפוכיות הזו באופן גרפי - הקשר בין y=e^f(x) לגרף הפונקציה הפנימית f(x), ובין y=ln(f(x)) לגרף הפנימית - עוזרת להבין את שתי המשפחות יחד, כולל הקשר בין הנגזרות שלהן שנובע מהיותן הפוכות זו לזו.

נגזרות וחקירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

כללי הנגזרת המרכזיים: (e^x)′=e^x, (a^x)′=a^x·ln(a), (ln x)′=1/x (עבור x>0), (log_a x)′=1/(x·ln a). בשילוב עם כלל השרשרת: (e^f(x))′=f′(x)·e^f(x), (ln(f(x)))′=f′(x)/f(x) (עבור f(x)>0). באמצעות נגזרות אלה חוקרים פונקציות שמשלבות מעריכיות/לוגריתמיות עם פונקציות שכבר נלמדו (פולינומים, שורשים, טריגונומטריות) - מוצאים תחומי עלייה וירידה, נקודות קיצון, קעירות ונקודות פיתול, בדיוק כמו בחקירת כל פונקציה אחרת, רק עם כללי הנגזרת החדשים האלה.

חשבון אינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

האינטגרלים המיידים המרכזיים: ∫e^x dx = e^x+C, ∫a^x dx = a^x/ln(a)+C. חשוב במיוחד האינטגרל שהקדומה שלו היא לוגריתמית: ∫f′(x)/f(x) dx = ln|f(x)|+C, כאשר f(x) לינארית; וכן ∫f′(x)·e^f(x) dx = e^f(x)+C, כאשר ניתנת לתלמיד הכוונה לזיהוי הנגזרת הפנימית. אינטגרלים אלה משולבים גם עם פונקציות רציונליות וטריגונומטריות. משתמשים באינטגרל למציאת פונקציה קדומה לפי נגזרת ונקודה על גרף הפונקציה, לפתרון בעיות הצטברות יישומיות, ולחישוב שטחים: שטח בין גרף לציר x (כשהפונקציה יכולה להיות חיובית, שלילית או להחליף סימן), שטח בין שני גרפים, ושטחים מורכבים יותר.

דוגמאות פתורות

חומר רדיואקטיבי דועך לפי הנוסחה N(t)=N₀·e^(-0.02t), כאשר t בשנים. מצאו את זמן מחצית החיים של החומר.

  1. זמן מחצית החיים הוא הזמן t שבו N(t)=N₀/2.
  2. מציבים: N₀/2 = N₀·e^(-0.02t), ומחלקים ב-N₀: 1/2 = e^(-0.02t).
  3. מפעילים ln על שני האגפים: ln(1/2) = -0.02t, כלומר -ln(2) = -0.02t.
  4. t = ln(2)/0.02 ≈ 0.6931/0.02 ≈ 34.66.

תשובה: זמן מחצית החיים הוא כ-34.66 שנים.

נתונה הפונקציה f(x)=x·e^(-x) עבור x≥0. מצאו את נקודת הקיצון שלה וסוגה.

  1. גוזרים לפי כלל המכפלה: f′(x) = 1·e^(-x) + x·(-e^(-x)) = e^(-x)(1-x).
  2. e^(-x) חיובי תמיד, ולכן f′(x)=0 רק כאשר 1-x=0, כלומר x=1.
  3. בודקים סימן: עבור 0≤x<1, f′(x)>0 (עולה); עבור x>1, f′(x)<0 (יורדת).
  4. המעבר מעלייה לירידה ב-x=1 מעיד על מקסימום: f(1)=1·e^(-1)=1/e.

תשובה: ל-f יש מקסימום בנקודה x=1, כאשר f(1)=1/e.

חשבו את ∫₀⁴ 2/(2x+1) dx.

  1. הנגזרת של f(x)=2x+1 היא f′(x)=2, כלומר האינטגרנד הוא בדיוק בצורה f′(x)/f(x).
  2. לכן הקדומה היא ln|2x+1|, ו-∫2/(2x+1)dx = ln|2x+1|+C.
  3. מציבים את גבולות האינטגרציה: [ln|2x+1|] מ-0 עד 4 = ln(9) - ln(1) = ln(9) - 0.
  4. ln(9)=ln(3²)=2ln(3).

תשובה: ∫₀⁴ 2/(2x+1) dx = ln(9) = 2ln(3).

תרגול

1. פתרו את המשוואה log₃(x) + log₃(x-2) = 1.תרגול
  1. תחום ההגדרה: x>0 וגם x-2>0, כלומר x>2.
  2. מאחדים לוגריתמים: log₃(x·(x-2)) = 1, כלומר x(x-2)=3¹=3.
  3. פותחים משוואה ריבועית: x²-2x-3=0, ומפרקים: (x-3)(x+1)=0, ולכן x=3 או x=-1.
  4. x=-1 אינו בתחום ההגדרה (x>2), ולכן נפסל. x=3 מקיים x>2.

תשובה: x=3.

2. מצאו את הנגזרת של f(x)=ln(x²+4).תרגול
  1. לפי כלל השרשרת: f′(x) = (x²+4)′/(x²+4) = 2x/(x²+4).

תשובה: f′(x) = 2x/(x²+4).

3. מצאו את הנגזרת של f(x)=5^x.תרגול
  1. לפי כלל הנגזרת (a^x)′=a^x·ln(a): f′(x) = 5^x·ln(5).

תשובה: f′(x) = 5^x·ln(5).

4. מצאו את הנגזרת של f(x)=e^x/x (עבור x≠0).תרגול
  1. משתמשים בכלל המנה: (u/v)′=(u′v-uv′)/v², כאשר u=e^x (u′=e^x) ו-v=x (v′=1).
  2. f′(x) = (e^x·x - e^x·1)/x² = e^x(x-1)/x².

תשובה: f′(x) = e^x(x-1)/x².

5. אוכלוסיית חיידקים גדלה לפי P(t)=P₀·e^(0.05t). מצאו כעבור כמה זמן האוכלוסייה תוכפל.שאלה בהקשר
  1. מחפשים t כך ש-P(t)=2P₀: 2P₀=P₀·e^(0.05t), ולכן 2=e^(0.05t).
  2. מפעילים ln: ln(2)=0.05t, ולכן t=ln(2)/0.05.
  3. t ≈ 0.6931/0.05 ≈ 13.86.

תשובה: האוכלוסייה תוכפל כעבור כ-13.86 יחידות זמן.

6. מצאו את ערך הקיצון של הפונקציה g(x)=ln(x)-x עבור x>0, וקבעו את סוגו.שאלה בהקשר
  1. g′(x) = 1/x - 1. משווים לאפס: 1/x=1, ולכן x=1.
  2. g″(x) = -1/x², ולכל x>0 זה שלילי - כלומר בנקודה x=1 יש מקסימום.
  3. g(1) = ln(1) - 1 = 0 - 1 = -1.

תשובה: ל-g יש מקסימום בנקודה x=1, וערכו -1.

7. חשבו את השטח התחום בין גרף הפונקציה y=e^(-x), ציר ה-x, ובין x=0 ל-x=2.שאלה בהקשר
  1. הפונקציה e^(-x) חיובית לכל x, ולכן השטח שווה לאינטגרל המובהק שלה.
  2. הקדומה: ∫e^(-x)dx = -e^(-x)+C.
  3. שטח = [-e^(-x)] מ-0 עד 2 = (-e^(-2)) - (-e^0) = 1 - e^(-2).

תשובה: השטח שווה ל-1-e^(-2) (כ-0.865).

8. חשבו את השטח בין הגרפים y=e^x ו-y=x+1, בקטע שבין x=0 ל-x=1 (ידוע כי e^x≥x+1 לכל x).שאלה בהקשר
  1. שטח = ∫₀¹ (e^x - (x+1)) dx.
  2. הקדומה: e^x - x²/2 - x + C.
  3. מציבים גבולות: [e^x - x²/2 - x] מ-0 עד 1 = (e - 1/2 - 1) - (1 - 0 - 0) = (e-1.5) - 1 = e - 2.5.

תשובה: השטח שווה ל-e-2.5 (כ-0.218).

לזכירה

  • חוקי לוגריתמים: log_a(xy)=log_a x+log_a y, log_a(x/y)=log_a x-log_a y, log_a(x^r)=r·log_a x, ומעבר בסיס log_a x=log_b x/log_b a.
  • y=a^x עולה כש-a>1, יורדת כש-0<a<1, עוברת תמיד דרך (0,1); N(t)=N₀e^(kt) מתאר גדילה (k>0) או דעיכה (k<0) מעריכית, כולל זמן מחצית חיים.
  • y=log_a(x) היא ההפוכה של y=a^x, מוגדרת רק עבור x>0; ln הוא הלוגריתם הטבעי (בבסיס e).
  • כללי נגזרת: (e^x)′=e^x, (a^x)′=a^x ln a, (ln x)′=1/x, (log_a x)′=1/(x ln a); עם כלל השרשרת: (e^f(x))′=f′(x)e^f(x), (ln f(x))′=f′(x)/f(x).
  • אינטגרלים מיידים: ∫e^x dx=e^x+C, ∫a^x dx=a^x/ln a+C, ∫f′(x)/f(x) dx=ln|f(x)|+C (f לינארית); משמשים לחישוב שטחים בין גרף לציר או בין שני גרפים.
הקודםגאומטריה אנליטיתהבאמספרים מרוכבים