לומדי

בעיות גדילה ודעיכה

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! גדילה ודעיכה מעריכית נמצאות בכל מקום סביבנו - בחיסכון בבנק, במגפות, בתרופות בגוף, ואפילו במחיר של טלפון סלולרי שיורד עם הזמן. הטריק המרכזי בכל התהליכים האלה זהה: קודם מזהים מהי יחידת הזמן הקבועה ומהו הקצב q ביחס אליה (מהאחוזים שנתונים, או משתי נקודות מידע), בונים את הנוסחה f(t)=f(0)·q^t, ורק אז מציבים כדי לענות על השאלה. אם תזכרו תמיד לשאול 'מה יחידת הזמן פה, ומה q עבורה' - כל בעיית גדילה ודעיכה הופכת לתרגיל הצבה פשוט בפונקציה מעריכית שכבר מכירים.

תהליכי גדילה ודעיכה בקצב קבוע

הרבה תופעות אמיתיות - כסף בריבית, אוכלוסיית חיידקים, חומר רדיואקטיבי, ערך של רכב - משתנות בתהליך רב-שלבי שבו הקצב קבוע ביחס לשלב הקודם. חשוב להבדיל בין שני סוגי 'קצב קבוע': שינוי בקבוע חיבורי (כל שלב מוסיפים/מורידים אותו מספר, כמו בסדרה חשבונית), לעומת שינוי בקצב יחסי קבוע - כל שלב הכמות מוכפלת באותו מספר q (למשל גדילה של 5% בכל שנה, או דעיכה שבה הכמות נחתכת בחצי). כשמדובר בקצב יחסי קבוע - אחוז קבוע שמתווסף או פוחת ביחס לשלב הקודם - מקבלים תהליך מעריכי, וזהו סוג התהליך שבו נתמקד בפרק הזה.

בניית הפונקציה המעריכית המתארת את התהליך

תהליך גדילה/דעיכה בקצב יחסי קבוע מתואר על ידי הפונקציה f(t) = f(0)·q^t, כאשר f(0) היא הכמות ההתחלתית (בזמן t=0), q הוא בסיס הקצב ליחידת הזמן שנבחרה, ו-t נמדד באותה יחידת זמן קבועה לאורך כל התהליך. אם הכמות גדלה ב-p אחוזים בכל יחידת זמן, אז q=1+p/100 (למשל גידול של 5% נותן q=1.05); אם הכמות קטנה (דועכת) ב-p אחוזים בכל יחידת זמן, אז q=1-p/100 (למשל דעיכה של 12% נותנת q=0.88). חשוב לזהות בכל בעיה מהי יחידת הזמן הבסיסית (שעה? יום? שנה?) ולהישאר עקביים איתה לאורך כל החישוב - t חייב להיות מספר יחידות הזמן הללו, לא מספר גולמי כלשהו.

שימוש בפונקציה לחישוב כמויות ולפתרון משוואות

מרגע שיש לנו את הפונקציה f(t)=f(0)·q^t, אפשר להשתמש בה בשני כיוונים: להציב t נתון ולמצוא את הכמות באותו רגע, או להציב כמות נתונה f(t) ולמצוא את t. הצבת t היא פשוטה - חישוב ישיר. מציאת t דורשת פתרון משוואה מעריכית: לפעמים, אם הכמות המבוקשת היא חזקה 'נקייה' של q (כמו כפולה, מחצית, פי שמונה), אפשר להשוות מעריכים ישירות בלי מחשבון, בדיוק כמו במשוואות המעריכיות שפתרתם בפרק הקודם. לפעמים נתונות שתי נקודות מידע על התהליך (למשל הכמות בשני זמנים שונים) ומהן צריך למצוא קודם את q עצמו, ורק אז להשתמש בו כדי לענות על שאלת ההמשך.

זמן מחצית חיים

מקרה פרטי וחשוב של דעיכה מעריכית הוא זמן מחצית חיים (half-life): פרק הזמן הקבוע שבו כל כמות נתונה של חומר יורדת בדיוק לחצי ממנה. אם זמן מחצית החיים של חומר הוא T, אז q=0.5 כאשר t נמדד ביחידות של T (כלומר, כל 'יחידת זמן' אחת שווה לפרק זמן אחד של T). כדי למצוא כמה חומר נותר אחרי n תקופות מחצית חיים, מספיק להכפיל ב-0.5 בכל פעם: f = f(0)·0.5^n. תכונה זו נכונה לכל חומר וכל כמות התחלתית - הרעיון המרכזי הוא שבכל פרק זמן T נוסף, מה שנשאר תמיד נחתך בדיוק לחצי, ללא תלות בכמות שהייתה קודם.

דוגמאות פתורות

קרן חיסכון שסכומה ההתחלתי 20,000 ש"ח גדלה ב-5% בכל שנה, ביחס לשנה הקודמת. א. כתבו את הנוסחה f(t) המתארת את הסכום (בש"ח) כפונקציה של הזמן t בשנים. ב. מה יהיה הסכום לאחר 2 שנים?

  1. גדילה של 5% בכל שנה נותנת בסיס q=1+5/100=1.05.
  2. הסכום ההתחלתי הוא f(0)=20,000, ויחידת הזמן היא שנה. הנוסחה: f(t) = 20,000·1.05^t.
  3. לסעיף ב מציבים t=2: f(2) = 20,000·1.05² = 20,000·1.1025 = 22,050.

תשובה: א. f(t)=20,000·1.05^t. ב. לאחר שנתיים בקרן יהיו 22,050 ש"ח.

חומר רדיואקטיבי דועך כך שזמן מחצית החיים שלו הוא 8 שנים. כמות ההתחלה הייתה 160 גרם. א. מהו q כאשר t נמדד ביחידות של 8 שנים? ב. כתבו נוסחה לכמות שנותרה לאחר t יחידות כאלה. ג. כמה חומר נותר לאחר 24 שנים?

  1. מזמן מחצית חיים - בכל יחידת זמן אחת (8 שנים) הכמות נחתכת בדיוק לחצי, ולכן q=0.5.
  2. הנוסחה: f(t) = 160·0.5^t, כאשר t נמדד ביחידות של 8 שנים (ולא בשנים בודדות!).
  3. 24 שנים שוות ל-24/8=3 יחידות של 8 שנים, כלומר t=3.
  4. מציבים: f(3) = 160·0.5³ = 160·(1/8) = 20.

תשובה: א. q=0.5. ב. f(t)=160·0.5^t (t ביחידות של 8 שנים). ג. לאחר 24 שנים נותרו 20 גרם.

מספר החיידקים במושבה גדל בקצב קבוע מדי שעה. בשעה 0 היו 100 חיידקים, ובשעה 2 היו 400 חיידקים. א. מצאו את קצב הגידול השעתי q. ב. מצאו כמה חיידקים יהיו בשעה 4.

  1. הנוסחה הכללית: f(t)=100·q^t (f(0)=100 נתון).
  2. מציבים את הנתון השני, t=2, f(2)=400: 100·q² = 400.
  3. מחלקים ב-100: q² = 4, ומכיוון ש-q חייב להיות חיובי (זהו בסיס של פונקציה מעריכית), q=2.
  4. כעת f(t)=100·2^t, ומציבים t=4: f(4) = 100·2⁴ = 100·16 = 1600.

תשובה: א. q=2 (המושבה מכפילה את עצמה בכל שעה). ב. בשעה 4 יהיו 1,600 חיידקים.

תרגול

1. ערך של רכב יורד ב-12% בכל שנה, ביחס לשנה הקודמת. ערכו ההתחלתי (בזמן הקנייה) הוא 50,000 ש"ח. כתבו את הנוסחה V(t) המתארת את ערך הרכב (בש"ח) כפונקציה של הזמן t בשנים.תרגול
  1. ירידה של 12% בכל שנה נותנת בסיס q=1-12/100=0.88.
  2. הערך ההתחלתי הוא V(0)=50,000.

תשובה: V(t) = 50,000·0.88^t.

2. נתונה הפונקציה f(t) = 500·1.2^t, המתארת תהליך גדילה. מצאו את f(0) ואת f(1), והסבירו מה משמעות כל אחד מהם.תרגול
  1. f(0) = 500·1.2^0 = 500·1 = 500 - זו הכמות ההתחלתית, לפני שעבר זמן כלשהו.
  2. f(1) = 500·1.2^1 = 600 - זו הכמות לאחר יחידת זמן אחת.

תשובה: f(0)=500 (הכמות ההתחלתית), f(1)=600 (הכמות לאחר יחידת זמן אחת).

3. זמן מחצית החיים של חומר מסוים הוא 5 שנים, וכמות ההתחלה היא 800 גרם. מצאו כמה חומר נותר לאחר 15 שנים.תרגול
  1. 15 שנים שוות ל-15/5=3 תקופות מחצית חיים.
  2. בכל תקופת מחצית חיים הכמות נחתכת לחצי: 800 → 400 (אחרי תקופה אחת) → 200 (אחרי שתיים) → 100 (אחרי שלוש).

תשובה: לאחר 15 שנים נותרו 100 גרם.

4. כמות גדלה ב-8% בכל שנה. מהו בסיס הקצב q השנתי המתאים?תרגול
  1. גדילה של p אחוזים נותנת בסיס q=1+p/100.
  2. כאן p=8, ולכן q=1+8/100=1.08.

תשובה: q = 1.08.

5. אוכלוסיית עיר הייתה 10,000 תושבים בשנת 2020, וגדלה ב-4% בכל שנה. מצאו את מספר התושבים בשנת 2022 (כעבור שנתיים).שאלה בהקשר
  1. בסיס הקצב השנתי: q=1+4/100=1.04.
  2. הנוסחה: P(t)=10,000·1.04^t, כאשר t נמדד בשנים מ-2020.
  3. מציבים t=2 (שנת 2022): P(2) = 10,000·1.04² = 10,000·1.0816 = 10,816.

תשובה: בשנת 2022 יהיו בעיר 10,816 תושבים.

6. כמות חומר רדיואקטיבי הייתה 300 גרם, וירדה בקצב מחצית-חיים קבוע עד שהפכה ל-75 גרם. ידוע שזמן מחצית החיים של החומר הוא 6 שנים. כמה שנים עברו?שאלה בהקשר
  1. בודקים כמה פעמים הכמות נחתכה לחצי: 300 → 150 (חיתוך אחד) → 75 (חיתוך שני). כלומר עברו בדיוק 2 תקופות של מחצית חיים.
  2. כל תקופת מחצית חיים אורכת 6 שנים, ולכן הזמן הכולל שעבר הוא 2·6=12 שנים.

תשובה: עברו 12 שנים (שתי תקופות מחצית חיים).

7. מספר המנויים לאתר שירות גדל פי 3 בכל שנה (כלומר q=3 ביחידת זמן של שנה). בשנה הראשונה (t=0) היו 50 מנויים. באיזה ערך של t (כמה שנים לאחר ההתחלה) יהיו לאתר 4,050 מנויים?שאלה בהקשר
  1. הנוסחה: f(t) = 50·3^t.
  2. מציבים את היעד: 50·3^t = 4,050.
  3. מחלקים ב-50: 3^t = 81.
  4. מבטאים את 81 כחזקה של 3: 81=3⁴, ולכן t=4.

תשובה: לאחר 4 שנים (t=4) יהיו לאתר 4,050 מנויים.

לזכירה

  • תהליך שבו כמות גדלה/קטנה באחוז קבוע ביחס לשלב הקודם, ביחידת זמן קבועה, הוא תהליך מעריכי ומתואר על ידי f(t)=f(0)·q^t.
  • גדילה של p% נותנת q=1+p/100; דעיכה (ירידה) של p% נותנת q=1-p/100.
  • חובה לזהות ולהישאר עקביים עם יחידת הזמן הבסיסית של התהליך - t נמדד במספר יחידות זמן כאלה, לא במספר גולמי.
  • אם נתונות שתי נקודות מידע על התהליך (כמות בשני זמנים שונים), אפשר למצוא מהן את q, ורק אחר כך להשתמש בו לחישוב נוסף.
  • זמן מחצית חיים T הוא פרק זמן קבוע שבו כל כמות נחתכת בדיוק לחצי: q=0.5 כאשר t נמדד ביחידות של T.
הקודםקדם אנליזה של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיותהבאחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות