לומדי

קדם אנליזה של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! את הצמד הזה - פונקציה מעריכית ופונקציה לוגריתמית - כדאי לכם לחשוב עליהן כעל שתי צדדים של אותו מטבע: הלוגריתם פשוט 'שואל בחזרה' על החזקה - a^x=b שואל 'a בחזקת מה נותן b', ו-log_a(b)=x עונה בדיוק את אותה תשובה. לכן כל תכונה של הפונקציה המעריכית מתהפכת בדיוק אצל הפונקציה הלוגריתמית: איפה שהייתה נקודת עיגון (0,1) יש עכשיו (1,0), ואיפה שהייתה אסימפטוטה אופקית (ציר ה-x) יש עכשיו אסימפטוטה אנכית (ציר ה-y). וכשאתם פותרים משוואה או אי-שוויון, תמיד שאלו קודם: 'איזה בסיס יש כאן, ומה זה אומר על כיוון האי-שוויון?' - אם תזכרו את זה, כל התרגילים בפרק הזה נפתרים לפי אותו דפוס בדיוק.

חוקי חזקות – בסיס להמשך

לפני שמתחילים בפונקציה המעריכית והלוגריתמית, שווה לרענן את כל חוקי החזקות שאיתם נעבוד לאורך כל הפרק, כולל חזקה עם מעריך רציונלי: a^m·a^n=a^(m+n) (כפל חזקות עם אותו בסיס - מחברים מעריכים); a^m/a^n=a^(m-n) (חילוק - מחסרים מעריכים); (a^m)^n=a^(m·n) (חזקה של חזקה - כופלים מעריכים); (a·b)^n=a^n·b^n (חזקה של מכפלה); a^0=1 לכל a≠0; a^(-n)=1/a^n (מעריך שלילי הופך לשבר); ו-a^(1/n) הוא בדיוק השורש ה-n-י של a, כך ש-a^(m/n) = השורש ה-n-י של a^m. בכל הפרק נניח a>0, כדי שהחזקה תהיה מוגדרת עבור כל מעריך ממשי.

הפונקציה המעריכית – הגדרה ותכונות

פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה f(x)=a^x, כאשר a הוא מספר קבוע המקיים a>0 ו-a≠1 (אם a=1 הפונקציה קבועה וחסרת עניין, ואם a≤0 היא לא מוגדרת עבור כל x). תחום ההגדרה של הפונקציה הוא כל הממשיים, והיא תמיד חיובית (a^x>0 לכל x). לכל פונקציה כזו יש נקודת חיתוך קבועה עם ציר ה-y: מכיוון ש-a^0=1 לכל a, הנקודה (0,1) נמצאת תמיד על הגרף - זו נקודת העיגון של המשפחה כולה. לגרף יש אסימפטוטה אופקית y=0 (ציר ה-x): כאשר a>1 הפונקציה שואפת ל-0 כש-x שואף למינוס אינסוף, וכאשר 0<a<1 היא שואפת ל-0 כש-x שואף לפלוס אינסוף. המונוטוניות תלויה לגמרי בבסיס: אם a>1 הפונקציה עולה על כל התחום (ככל שהבסיס גדול יותר, העלייה תלולה יותר), ואם 0<a<1 הפונקציה יורדת על כל התחום.

העתקות (טרנספורמציות) של גרף הפונקציה המעריכית

כמו כל פונקציה, אפשר להזיז, לשקף ולמתוח את הגרף של a^x ולקבל משפחה שלמה של פונקציות מהצורה g(x)=k·a^(x-p)+m. הזזה אופקית (x-p) מזיזה את נקודת העיגון (0,1) שעל גרף a^x לנקודה (p,1); היא לא משנה את האסימפטוטה. הזזה אנכית (+m) מזיזה את האסימפטוטה האופקית מ-y=0 ל-y=m, ומזיזה כל נקודה בגרף (כולל נקודת העיגון) באותו גובה. הכפלה בקבוע k משפיעה על ציר ה-y של כל נקודה: אם k שלילי, הגרף משתקף ביחס לאסימפטוטה שלו, וכיוון המונוטוניות מתהפך (עולה הופך ליורד ולהפך); |k|>1 מותח את הגרף אנכית, ו-0<|k|<1 מכווץ אותו. טרנספורמציה נוספת היא ערך מוחלט: אם הביטוי בתוך המקבילית עלול לקבל ערכים שליליים (למשל |k·a^(x-p)+m|), הערך המוחלט 'מקפל' כלפי מעלה, סביב ציר ה-x, כל חלק מהגרף שהיה נמצא מתחתיו - כך שהגרף החדש כולו אי-שלילי. חשוב לעקוב אחרי כל טרנספורמציה לפי הסדר שבו היא מופיעה בנוסחה, כדי לדעת בכל שלב מה תחום ההגדרה (תמיד כל הממשיים, טרנספורמציות לא משנות זאת), מהי האסימפטוטה, ומהי המונוטוניות של הגרף החדש.

הלוגריתם וחוקי הלוגריתמים

הלוגריתם מוגדר כפעולה ההפוכה לחזקה: log_a(b)=c פירושו בדיוק a^c=b (כאשר a>0, a≠1, ו-b>0 - אי אפשר להעלות בסיס חיובי בשום חזקה ולקבל תוצאה לא-חיובית). לדוגמה log_2(8)=3 כי 2^3=8. משלושת חוקי החזקות הבסיסיים נובעים שלושה חוקי לוגריתמים מקבילים: log_a(x·y)=log_a(x)+log_a(y) (לוגריתם של מכפלה הוא סכום הלוגריתמים - תקף רק כאשר x>0 ו-y>0); log_a(x/y)=log_a(x)-log_a(y) (לוגריתם של מנה הוא הפרש); ו-log_a(x^k)=k·log_a(x) (לוגריתם של חזקה - המעריך יורד וכופל את הלוגריתם). חוקים אלה מאפשרים לפרק ביטוי לוגריתמי מורכב לביטויים פשוטים יותר, או להפך - לאחד כמה לוגריתמים לביטוי לוגריתמי יחיד, וזהו הכלי המרכזי לפתרון משוואות לוגריתמיות.

הפונקציה הלוגריתמית ופתרון משוואות ואי-שוויונות

הפונקציה הלוגריתמית f(x)=log_a(x) (a>0, a≠1) היא הפונקציה ההופכית לפונקציה המעריכית, ולכן תכונותיה 'מראה' של תכונות a^x: תחום ההגדרה הוא x>0 בלבד (אי אפשר לקחת לוגריתם של מספר לא-חיובי); הנקודה הקבועה על הגרף היא (1,0), כי log_a(1)=0 לכל בסיס a; האסימפטוטה אנכית, x=0 (ציר ה-y) - כש-x שואף ל-0 מימין, log_a(x) שואף לאינסוף (עם סימן שתלוי בבסיס); וכשם שבפונקציה המעריכית, a>1 נותן פונקציה עולה ו-0<a<1 נותנת פונקציה יורדת. גם על הגרף שלה חל אותו ארגז כלים של טרנספורמציות שראינו עבור הפונקציה המעריכית - הזזה אנכית ואופקית, שיקוף, מתיחה/כיווץ וערך מוחלט - כאשר הזזה אופקית מזיזה גם את האסימפטוטה האנכית (מ-x=0 לערך חדש), וערך מוחלט מקפל כלפי מעלה כל חלק מהגרף שמתחת לציר ה-x. לפתרון משוואה מעריכית או לוגריתמית, הכלל המרכזי הוא: כשמגיעים לשני הצדדים לאותו בסיס, אפשר להשוות את המעריכים (או את הארגומנטים, במשוואה לוגריתמית) ישירות. במשוואה לוגריתמית חובה קודם למצוא את תחום ההגדרה (כל הביטויים שבתוך הלוגריתם חייבים להיות חיוביים) ולבדוק בסוף שהפתרון שהתקבל אכן נמצא בתחום - אחרת הוא נפסל. אי-שוויון פשוט מהצורה a^f(x)≥a^g(x) נפתר על ידי השוואת החזקות f(x) ו-g(x), אך בכיוון האי-שוויון המקורי רק כאשר a>1; כאשר 0<a<1 (בסיס בין 0 ל-1, שם הפונקציה יורדת) הכיוון מתהפך. אותו עיקרון בדיוק חל על אי-שוויון מהצורה log_a f(x)≥log_a g(x), בתוספת הדרישה שגם f(x) וגם g(x) יהיו חיוביים בתחום הפתרון.

דוגמאות פתורות

תארו את התכונות המרכזיות של הפונקציה g(x) = -2·3^(x-1) + 4: תחום הגדרה, אסימפטוטה, נקודת ייחוס על הגרף, וכיוון המונוטוניות.

  1. תחום ההגדרה: טרנספורמציות (הזזה, שיקוף, מתיחה) לא משנות את תחום ההגדרה של פונקציה מעריכית, ולכן התחום הוא כל הממשיים.
  2. עוקבים אחרי נקודת העיגון (0,1) של 3^x דרך כל שלבי ההעתקה: ההזזה האופקית x-1 מזיזה אותה ל-(1,1); הכפלה ב-2 עם שיקוף (המקדם -2) הופכת את ה-y ל-(1,-2); ההוספה של 4 מזיזה שוב ל-(1,2). בדיקה ישירה: g(1)=-2·3^0+4=-2·1+4=2 - מתאים בדיוק.
  3. האסימפטוטה: כש-x שואף למינוס אינסוף, 3^(x-1) שואף ל-0, ולכן g(x) שואף ל-0+4=4. האסימפטוטה האופקית היא y=4 (ולא y=0, כי ההזזה האנכית +4 הזיזה גם את האסימפטוטה).
  4. המונוטוניות: 3^(x-1) עצמה עולה (הבסיס 3 גדול מ-1), אבל הכפלה במקדם שלילי (-2) הופכת כיוון עלייה לירידה; ההוספה של 4 לא משנה מונוטוניות. לכן g(x) יורדת על כל תחום ההגדרה.

תשובה: תחום ההגדרה כל הממשיים, האסימפטוטה האופקית y=4, הגרף עובר דרך הנקודה (1,2), והפונקציה יורדת על כל התחום.

פתרו את המשוואה המעריכית: 2^(x+1) + 2^x = 24.

  1. משתמשים בחוק החזקות a^(m+n)=a^m·a^n כדי לפרק: 2^(x+1) = 2^x·2^1 = 2·2^x.
  2. מציבים במשוואה: 2·2^x + 2^x = 24.
  3. מוציאים גורם משותף 2^x: 2^x·(2+1) = 24, כלומר 2^x·3 = 24.
  4. מחלקים ב-3: 2^x = 8 = 2^3, ומכיוון שהבסיסים שווים משווים מעריכים: x=3.
  5. בדיקה: 2^4+2^3 = 16+8 = 24. מתאים.

תשובה: x = 3.

פתרו את המשוואה הלוגריתמית: log₂(x) + log₂(x-2) = 3.

  1. קודם קובעים תחום הגדרה: צריך x>0 וגם x-2>0, כלומר x>2 (התנאי המחמיר מבין השניים).
  2. מאחדים את שני הלוגריתמים לפי חוק לוגריתם של מכפלה: log₂(x)+log₂(x-2) = log₂[x(x-2)].
  3. המשוואה הופכת ל-log₂[x(x-2)] = 3, ולפי הגדרת הלוגריתם: x(x-2) = 2^3 = 8.
  4. פותחים ופותרים משוואה ריבועית: x²-2x-8=0, כלומר (x-4)(x+2)=0, ולכן x=4 או x=-2.
  5. בודקים מול תחום ההגדרה (x>2): x=4 מתאים, אבל x=-2 נפסל כי הוא לא בתחום.
  6. בדיקה סופית: log₂(4)+log₂(2) = 2+1 = 3. מתאים.

תשובה: x = 4 (הפתרון x=-2 נפסל כי אינו בתחום ההגדרה).

תרגול

1. מצאו את תחום ההגדרה, נקודת החיתוך עם ציר ה-y, האסימפטוטה, וכיוון המונוטוניות של f(x) = 5^x.תרגול
  1. תחום ההגדרה: כל הממשיים (פונקציה מעריכית מוגדרת לכל x).
  2. נקודת החיתוך עם ציר ה-y: f(0)=5^0=1, כלומר הנקודה (0,1).
  3. האסימפטוטה: כש-x שואף למינוס אינסוף, 5^x שואף ל-0, כך שהאסימפטוטה האופקית היא y=0.
  4. מונוטוניות: הבסיס 5 גדול מ-1, ולכן הפונקציה עולה על כל התחום.

תשובה: תחום ההגדרה כל הממשיים, הגרף חותך את ציר ה-y בנקודה (0,1), האסימפטוטה y=0, והפונקציה עולה.

2. תארו את התכונות המרכזיות של g(x) = 3^(x+2) - 1: תחום הגדרה, אסימפטוטה, נקודת ייחוס, ומונוטוניות.תרגול
  1. תחום ההגדרה: כל הממשיים (הזזות לא משנות תחום הגדרה).
  2. עוקבים אחרי הנקודה (0,1) של 3^x: הזזה אופקית שמאלה ב-2 (x+2) מעבירה אותה ל-(-2,1); הזזה אנכית -1 מעבירה ל-(-2,0).
  3. בדיקה: g(-2)=3^0-1=1-1=0. מתאים - זו גם נקודת החיתוך עם ציר ה-x.
  4. האסימפטוטה: כש-x שואף למינוס אינסוף, 3^(x+2) שואף ל-0, ולכן g(x) שואף ל-0-1=-1. האסימפטוטה y=-1.
  5. מונוטוניות: הבסיס 3 גדול מ-1 וההזזות לא הופכות כיוון, לכן הפונקציה עולה על כל התחום.

תשובה: תחום ההגדרה כל הממשיים, האסימפטוטה y=-1, הגרף עובר דרך (-2,0) (שהיא גם נקודת החיתוך עם ציר ה-x), והפונקציה עולה.

3. פתרו את המשוואה: 3^(2x-1) = 27.תרגול
  1. מבטאים את 27 כחזקה של 3: 27 = 3^3.
  2. המשוואה הופכת ל-3^(2x-1) = 3^3, ומכיוון שהבסיסים שווים אפשר להשוות מעריכים: 2x-1=3.
  3. פותרים: 2x=4, ולכן x=2.

תשובה: x = 2.

4. פרקו לפי חוקי הלוגריתמים: log₅(25x³), עבור x>0.תרגול
  1. משתמשים בחוק לוגריתם של מכפלה: log₅(25x³) = log₅(25) + log₅(x³).
  2. log₅(25) = log₅(5²) = 2.
  3. משתמשים בחוק לוגריתם של חזקה: log₅(x³) = 3·log₅(x).

תשובה: log₅(25x³) = 2 + 3·log₅(x), עבור x>0.

5. פתרו את אי-השוויון: (1/2)^(x-3) ≤ (1/2)^(2x+1).תרגול
  1. הבסיס כאן הוא 1/2, שמקיים 0<1/2<1 - כלומר הפונקציה a^t עם בסיס זה יורדת.
  2. בפונקציה יורדת, ככל שהחזקה (המעריך) גדולה יותר - הערך קטן יותר. לכן אי-השוויון בין הערכים מתהפך לאי-שוויון הפוך בין המעריכים: x-3 ≥ 2x+1.
  3. פותרים: x-2x ≥ 1+3, כלומר -x ≥ 4, ולכן x ≤ -4 (הקפדה על היפוך כיוון האי-שוויון בחלוקה במספר שלילי).

תשובה: x ≤ -4.

6. פתרו את המשוואה: log₃(x+1) + log₃(x-1) = 1.שאלה בהקשר
  1. תחום הגדרה: צריך x+1>0 (כלומר x>-1) וגם x-1>0 (כלומר x>1). התנאי המחמיר הוא x>1.
  2. מאחדים לפי חוק לוגריתם של מכפלה: log₃[(x+1)(x-1)] = 1.
  3. לפי הגדרת הלוגריתם: (x+1)(x-1) = 3^1 = 3.
  4. משתמשים בנוסחת הפרש ריבועים: x²-1=3, ולכן x²=4, כלומר x=2 או x=-2.
  5. בודקים מול התחום (x>1): x=2 מתאים, x=-2 נפסל.
  6. בדיקה: log₃(3)+log₃(1) = 1+0 = 1. מתאים.

תשובה: x = 2 (x=-2 נפסל, אינו בתחום ההגדרה).

7. פתרו את המשוואה: 3^(x+2) · 3^(1-2x) = 27.שאלה בהקשר
  1. מאחדים את אגף שמאל לפי חוק כפל חזקות עם אותו בסיס: 3^(x+2)·3^(1-2x) = 3^((x+2)+(1-2x)) = 3^(3-x).
  2. מבטאים את 27 כחזקה של 3: 27=3^3.
  3. המשוואה הופכת ל-3^(3-x) = 3^3, ומשווים מעריכים: 3-x = 3.
  4. פותרים: x = 0.
  5. בדיקה: 3^(0+2)·3^(1-0) = 3²·3¹ = 9·3 = 27. מתאים.

תשובה: x = 0.

8. נתונה הפונקציה f(x) = log₂(x-1). א. מצאו את תחום ההגדרה שלה. ב. פתרו את אי-השוויון log₂(x-1) < 3.שאלה בהקשר
  1. סעיף א: הביטוי בתוך הלוגריתם חייב להיות חיובי: x-1>0, כלומר x>1. זהו תחום ההגדרה.
  2. סעיף ב: הבסיס 2 גדול מ-1, כך שהפונקציה עולה - לכן log₂(x-1) < 3 שקול ל-x-1 < 2^3 = 8 (ללא היפוך כיוון).
  3. פותרים: x < 9.
  4. משלבים עם תחום ההגדרה מסעיף א (x>1): מקבלים 1 < x < 9.

תשובה: א. תחום ההגדרה x>1. ב. פתרון אי-השוויון: 1 < x < 9.

לזכירה

  • פונקציה מעריכית f(x)=a^x (a>0, a≠1): תחום הגדרה כל הממשיים, תמיד חיובית, נקודת עיגון קבועה (0,1), אסימפטוטה אופקית y=0, עולה כאשר a>1 ויורדת כאשר 0<a<1.
  • טרנספורמציות מהצורה k·a^(x-p)+m מזיזות את נקודת העיגון ואת האסימפטוטה בהתאם, ומקדם k שלילי הופך את כיוון המונוטוניות.
  • לוגריתם הוא הפעולה ההפוכה לחזקה: log_a(b)=c שקול ל-a^c=b, מוגדר רק עבור בסיס a>0,a≠1 וערך b>0.
  • חוקי הלוגריתמים: log_a(xy)=log_a x+log_a y; log_a(x/y)=log_a x-log_a y; log_a(x^k)=k·log_a x.
  • פונקציה לוגריתמית f(x)=log_a(x): תחום הגדרה x>0, נקודת עיגון קבועה (1,0), אסימפטוטה אנכית x=0, עולה כאשר a>1 ויורדת כאשר 0<a<1 - 'תמונת ראי' של הפונקציה המעריכית.
  • במשוואה לוגריתמית חובה לקבוע תחילה תחום הגדרה, ולבדוק בסוף שהפתרון נמצא בתוכו - אחרת פוסלים אותו.
  • באי-שוויון מעריכי או לוגריתמי, כיוון האי-שוויון נשמר כאשר הבסיס גדול מ-1, ומתהפך כאשר הבסיס בין 0 ל-1.
הבאבעיות גדילה ודעיכה