לומדי

ישרים, מישורים והמצב ההדדי ביניהם, ותכונות הגופים

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! עד עכשיו כל הגאומטריה שלנו הייתה שטוחה כמו דף - שני ישרים שם תמיד או נפגשים או מקבילים. אבל במרחב, אני יכול לזחול על קצה אחד של קופסה, וחבר שלי זוחל על קצה אחר שלא נוגע בקצה שלי ולא מקביל אליו - פשוט כי הם בגבהים שונים. זה נקרא "מצטלבים", וזה הדבר הכי חדש בפרק הזה. השאלה שכדאי לשאול על כל שני ישרים במרחב היא לא רק "האם הם נפגשים?" אלא קודם כול "האם הם בכלל יכולים לשבת יחד על אותו מישור?" - ואם התשובה היא לא, אז הם בטוח מצטלבים, גם בלי לבדוק עוד כלום.

המצב ההדדי בין שני ישרים במרחב

במישור, לשני ישרים שונים יש רק שתי אפשרויות: הם נחתכים (יש להם נקודה משותפת אחת), או שהם מקבילים (אין להם אף נקודה משותפת, אבל הם יושבים על אותו "כיוון"). במרחב יש עוד אפשרות שלישית, שאין לה מקבילה במישור: שני ישרים יכולים להיות מצטלבים (עוברים זה ליד זה - בלי להיפגש ובלי להיות מקבילים). כדי להכריע לאיזו קטגוריה שייך זוג ישרים נתון, בודקים תחילה אם הם מקבילים (אותו כיוון); אם לא - בודקים אם יש להם נקודה משותפת (אז הם נחתכים); ואם אין להם לא נקודה משותפת ולא אותו כיוון - הם מצטלבים. סימן ההיכר הפשוט ביותר למצטלבים: שני ישרים כאלה אינם יכולים לשבת יחד על אותו מישור אחד.

איך קובעים מישור, ומה המצב ההדדי בין ישר למישור

מישור יחיד נקבע בכל אחד מארבעת המקרים האלה: שני ישרים נחתכים; שלוש נקודות שאינן נמצאות כולן על ישר אחד; ישר ונקודה שאינה נמצאת עליו; או שני ישרים מקבילים. בין ישר למישור יש שלושה מצבים הדדיים אפשריים: הישר נמצא כולו בתוך המישור (כל נקודה עליו היא גם נקודה של המישור); הישר והמישור נחתכים בנקודה אחת בלבד; או שהישר מקביל למישור (אין להם אף נקודה משותפת).

המצב ההדדי בין שני מישורים

בין שני מישורים שונים יש שתי אפשרויות בלבד: הם נחתכים - ואז החיתוך ביניהם הוא תמיד ישר שלם (לא נקודה בודדת ולא קטע), הנקרא ישר החיתוך; או שהם מקבילים - ואין להם אף נקודה משותפת.

ישר מאונך למישור

ישר נקרא מאונך למישור אם הוא מאונך לכל ישר שעובר בתוך אותו מישור דרך נקודת המפגש שלהם. בפועל אי אפשר לבדוק אינסוף ישרים, ולכן משתמשים בתנאי מספיק: אם ישר מאונך לשני ישרים נחתכים שנמצאים במישור (ונחתכים בדיוק בנקודה שבה הישר פוגש את המישור) - הוא מאונך לכל המישור. זה כלי מרכזי שנפגוש שוב, הפעם בעזרת וקטורים ומכפלה סקלרית, כשנדבר על גובה של גוף במרחב.

מנסרה ופירמידה: מונחים ומקרים פרטיים

מנסרה (לאו דווקא ישרה) היא גוף עם שני בסיסים מקבילים וחופפים, ופאות צד שהן מקבילוגרמים. המונחים העיקריים: בסיס, פאה (כל "דופן" שטוחה), מקצוע (כל קטע שבו נפגשות שתי פאות), אלכסון (קטע בין שני קודקודים שאינם על אותה פאה), וגובה (המרחק בין מישורי שני הבסיסים). שטח המעטפת הוא סכום שטחי פאות הצד, ושטח הפנים הוא שטח המעטפת ועוד שטחי שני הבסיסים. מקרה פרטי חשוב הוא מקבילון - מנסרה שבסיסה מקבילוגרם; מנסרה ישרה היא מנסרה שמקצועותיה הצדדיים מאונכים לבסיסים; ותיבה וקובייה הן מקרים פרטיים נוספים של מנסרה ישרה. פירמידה (לאו דווקא ישרה) היא גוף עם בסיס מצולע וקודקוד ראש יחיד שאינו על מישור הבסיס, כשכל קודקוד בבסיס מחובר לקודקוד הראש. המונחים העיקריים: קודקוד הראש, בסיס, פאה (כל משולש צד, וגם הבסיס), מקצוע, וגובה (המרחק מקודקוד הראש למישור הבסיס). גם כאן שטח המעטפת הוא סכום שטחי פאות הצד, ושטח הפנים כולל גם את הבסיס. פירמידה ישרה היא פירמידה שמקצועותיה הצדדיים (מקודקוד הראש לקודקודי הבסיס) כולם שווים באורכם; בפירמידה כזו רגל הגובה (מקודקוד הראש) נופלת בדיוק במרכז המעגל החוסם את הבסיס.

דוגמאות פתורות

נתונה תיבה ABCDA'B'C'D', כאשר ABCD הוא הבסיס התחתון ו-A'B'C'D' הבסיס העליון המקביל לו (A' מעל A, B' מעל B וכן הלאה), והמקצועות AA', BB', CC', DD' מאונכים לשני הבסיסים. קבעו את המצב ההדדי בין: א. הישרים AB ו-CD. ב. הישרים AB ו-A'D'. ג. הישרים AA' ו-CC'. ד. הישר CC' ומישור הבסיס ABCD. ה. מישור הבסיס ABCD ומישור הבסיס A'B'C'D'.

  1. א. AB ו-CD הם שני מקצועות נגדיים באותו מלבן (הבסיס ABCD) - הם על אותו מישור ולעולם לא נפגשים, כלומר הם מקבילים.
  2. ב. AB נמצא במישור הבסיס התחתון, ו-A'D' נמצא במישור הבסיס העליון - שני מישורים מקבילים ושונים. הכיוון של A'D' זהה לכיוון של AD (לא לכיוון של AB), ולכן AB ו-A'D' אינם מקבילים; ומכיוון שהם יושבים על שני מישורים מקבילים שונים, אין להם נקודה משותפת. שני ישרים שאינם מקבילים ואין להם נקודה משותפת - הם מצטלבים.
  3. ג. AA' ו-CC' הם שני מקצועות "אנכיים" של התיבה, שניהם מאונכים לבסיס ולכן באותו כיוון - הם מקבילים.
  4. ד. הישר CC' עובר בנקודה C שנמצאת במישור הבסיס ABCD, ומכיוון שהוא מאונך לבסיס הוא לא יכול לשכב בתוכו - כלומר CC' והמישור ABCD נחתכים בדיוק בנקודה אחת, C.
  5. ה. שני הבסיסים של תיבה הם תמיד מקבילים וחופפים, לפי הגדרת מנסרה - כלומר מישור ABCD ומישור A'B'C'D' מקבילים.

תשובה: א. מקבילים. ב. מצטלבים. ג. מקבילים. ד. נחתכים בנקודה אחת (C). ה. מקבילים.

נתונה פירמידה ישרה SABCD שבסיסה מלבן ABCD, ו-O היא נקודת מפגש האלכסונים AC ו-BD של הבסיס. הגובה של הפירמידה הוא הקטע SO, המאונך למישור הבסיס. א. הסבירו מדוע SO מאונך גם לישר AC וגם לישר BD. ב. נניח שידעתם רק ש-SO מאונך לישר AC ולישר BD (בלי לדעת מראש שהוא הגובה) - מדוע זה מספיק כדי להסיק ש-SO מאונך לכל מישור הבסיס ABCD? ג. קבעו את המצב ההדדי בין הישר SO למישור SBD.

  1. א. נתון ש-SO מאונך למישור הבסיס ABCD כולו, ומהגדרת ישר מאונך למישור - הוא מאונך לכל ישר שעובר במישור דרך הנקודה שבה הוא פוגש אותו, כלומר דרך O. AC ו-BD הם ישרים כאלה (שניהם עוברים דרך O), ולכן SO מאונך לשניהם.
  2. ב. AC ו-BD הם שני ישרים נחתכים (במלבן, שני האלכסונים נחתכים בדיוק בנקודה O) שנמצאים במישור הבסיס. לפי התנאי המספיק, ישר שמאונך לשני ישרים נחתכים במישור - מאונך לכל המישור. לכן SO מאונך למישור ABCD.
  3. ג. הנקודה O היא נקודת מפגש האלכסונים של המלבן, ולכן היא נמצאת בדיוק על הישר BD (האלכסונים חוצים זה את זה). מישור SBD נקבע על ידי S, B ו-D, וכולל בתוכו את כל הישר BD - ולכן גם את הנקודה O. מכיוון שגם S וגם O נמצאים במישור SBD, כל הישר SO (העובר דרך שתי הנקודות האלה) נמצא בתוך מישור SBD.

תשובה: א. SO מאונך למישור הבסיס, ולכן מאונך לכל ישר בו - בפרט ל-AC ול-BD. ב. AC ו-BD נחתכים בדיוק בנקודה O (שבה SO פוגש את המישור), ולפי התנאי המספיק זה מבטיח ש-SO מאונך לכל המישור ABCD. ג. הישר SO נמצא כולו בתוך מישור SBD.

תיבה שאורכי מקצועות הבסיס שלה הם 3 ס"מ ו-4 ס"מ, וגובה התיבה (אורך המקצוע האנכי) הוא 5 ס"מ. חשבו את שטח המעטפת ואת שטח הפנים של התיבה.

  1. שטח הבסיס: 3·4 = 12 סמ"ר.
  2. היקף הבסיס: 2·(3+4) = 14 ס"מ.
  3. שטח המעטפת (ארבע הפאות הצדדיות) = היקף הבסיס · גובה = 14·5 = 70 סמ"ר.
  4. שטח הפנים = שטח המעטפת + שני הבסיסים = 70 + 2·12 = 70 + 24 = 94 סמ"ר.

תשובה: שטח המעטפת הוא 70 סמ"ר, ושטח הפנים הכולל הוא 94 סמ"ר.

תרגול

1. בקוביה ABCDA'B'C'D' (הבסיס התחתון ABCD, הבסיס העליון A'B'C'D', המקצועות האנכיים AA',BB',CC',DD'), קבעו את המצב ההדדי בין האלכסונים AC ו-BD של הבסיס.תרגול
  1. AC ו-BD הם שני האלכסונים של הריבוע ABCD (הבסיס).
  2. שני האלכסונים של ריבוע נפגשים תמיד בנקודה אחת - המרכז שלו.
  3. לכן AC ו-BD נחתכים.

תשובה: AC ו-BD נחתכים, בנקודת מרכז הריבוע ABCD.

2. בקוביה ABCDA'B'C'D', הסבירו מדוע הישרים AA' ו-CC' קובעים מישור יחיד, וציינו איזה מישור זה.תרגול
  1. AA' ו-CC' הם שני מקצועות אנכיים של הקוביה, ושניהם מאונכים לבסיס - כלומר הם מקבילים זה לזה.
  2. שני ישרים מקבילים (שאינם אותו ישר) קובעים תמיד מישור יחיד.
  3. המישור שהם קובעים עובר דרך הנקודות A,C (בבסיס התחתון) ו-A',C' (בבסיס העליון) - זהו מישור החתך האלכסוני ACC'A'.

תשובה: AA' ו-CC' מקבילים, ולכן קובעים מישור יחיד - מישור החתך ACC'A'.

3. תיבה שאורכי מקצועותיה 4, 6 ו-10 (ס"מ). חשבו את שטח הפנים הכולל של התיבה.תרגול
  1. שטח הפנים הכולל של תיבה שמידותיה a,b,c הוא סכום שטחי שלוש הזוגות של פאות: 2(ab+bc+ca).
  2. מציבים: 2·(4·6 + 6·10 + 10·4) = 2·(24+60+40).
  3. = 2·124 = 248.

תשובה: שטח הפנים הכולל הוא 248 סמ"ר.

4. פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע בעל צלע 8 ס"מ, וגובה כל אחת מפאות הצד (הגובה של המשולש בפאת הצד, מקודקוד הראש למקצוע הבסיס שלו) הוא 7 ס"מ. חשבו את שטח המעטפת ואת שטח הפנים של הפירמידה.תרגול
  1. שטח כל פאת צד (משולש): ½·8·7 = 28 סמ"ר.
  2. יש 4 פאות צד חופפות (כי הבסיס ריבוע והפירמידה ישרה), ולכן שטח המעטפת = 4·28 = 112 סמ"ר.
  3. שטח הבסיס: 8·8 = 64 סמ"ר.
  4. שטח הפנים = שטח המעטפת + שטח הבסיס = 112 + 64 = 176 סמ"ר.

תשובה: שטח המעטפת הוא 112 סמ"ר, ושטח הפנים הכולל הוא 176 סמ"ר.

5. בתיבה ABCDA'B'C'D', קבעו את המצב ההדדי בין הישר A'C (אלכסון הגוף, מהקודקוד A' העליון לקודקוד C התחתון) לבין מישור הבסיס ABCD.שאלה בהקשר
  1. הנקודה C נמצאת על מישור הבסיס ABCD, ולכן הישר A'C בהחלט נפגש עם המישור, לפחות בנקודה C.
  2. הנקודה A' נמצאת מעל מישור הבסיס (בבסיס העליון) ואינה שייכת אליו, ולכן הישר A'C אינו יכול להיות כולו בתוך המישור.
  3. מכיוון שיש בדיוק נקודה משותפת אחת (C) והישר אינו מוכל במישור, המצב ההדדי הוא: נחתכים בנקודה אחת.

תשובה: הישר A'C והמישור ABCD נחתכים בנקודה אחת - הנקודה C.

6. בפירמידה SABCD שבסיסה מלבן ABCD, נתון כי SA מאונך לצלע AB וגם מאונך לצלע AD (שתי צלעות בסיס הנחתכות בקודקוד A). הוכיחו כי SA מאונך למישור הבסיס ABCD, ונמקו איזה משפט השתמשתם בו.שאלה בהקשר
  1. AB ו-AD הן שתי צלעות בסיס שנחתכות בדיוק בנקודה A.
  2. הנקודה A היא גם הנקודה שבה הישר SA פוגש את מישור הבסיס (כי A נמצא במישור הבסיס, ו-S אינו נמצא בו).
  3. נתון ש-SA מאונך לשני הישרים הנחתכים AB ו-AD, שנחתכים בדיוק בנקודה שבה SA פוגש את המישור.
  4. לפי התנאי המספיק לניצבות בין ישר למישור, מכאן ש-SA מאונך לכל מישור הבסיס ABCD.

תשובה: כן, SA מאונך למישור ABCD, לפי התנאי המספיק: ישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור (כאן AB ו-AD, הנחתכים ב-A) מאונך לכל המישור.

7. מקבילון (מנסרה שבסיסה מקבילוגרם) ABCDA'B'C'D'. קבעו את המצב ההדדי בין הפאה (המישור) ABB'A' לבין הפאה (המישור) DCC'D', ונמקו.שאלה בהקשר
  1. ABB'A' ו-DCC'D' הן שתי פאות "צד" נגדיות של המקבילון (לא נוגעות זו בזו באף קודקוד משותף).
  2. בכל מנסרה, שתי פאות צד נגדיות (שאינן חולקות אף מקצוע) הן מקבילות - זו תכונה של מנסרה, שבה הפאות נבנות מהעתקה מקבילה של הבסיס.
  3. לכן אין למישורים האלה אף נקודה משותפת.

תשובה: מישור ABB'A' ומישור DCC'D' מקבילים.

לזכירה

  • בין שני ישרים שונים במרחב יש שלוש אפשרויות: נחתכים, מקבילים, או מצטלבים (לא נפגשים ולא מקבילים - אפשרות שקיימת רק במרחב, לא במישור).
  • מישור יחיד נקבע על ידי: שני ישרים נחתכים; שלוש נקודות שאינן על ישר אחד; ישר ונקודה מחוצה לו; או שני ישרים מקבילים.
  • בין ישר למישור: הישר נמצא במישור, נחתך עם המישור בנקודה אחת, או מקביל למישור. בין שני מישורים: הם נחתכים (על ישר שלם) או מקבילים.
  • ישר מאונך למישור אם הוא מאונך לכל ישר במישור דרך נקודת המפגש; בפועל מספיק לבדוק ניצבות לשני ישרים נחתכים באותו מישור (התנאי המספיק).
  • מנסרה: שני בסיסים מקבילים וחופפים, פאות צד מקבילוגרמים; מקבילון, מנסרה ישרה, תיבה וקובייה הם מקרים פרטיים. שטח מעטפת = סכום פאות הצד; שטח פנים = מעטפת + שני הבסיסים.
  • פירמידה: בסיס מצולע וקודקוד ראש יחיד; פירמידה ישרה - כל המקצועות הצדדיים שווים, ורגל הגובה נופלת במרכז המעגל החוסם את הבסיס. שטח פנים = מעטפת + בסיס.
הקודםחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיותהבאוקטור בגישה גאומטרית