וקטור בגישה גאומטרית
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! תחשבו על וקטור כמו על הוראת ניווט לחבר שבלול: "זחל 3 מטר בכיוון הזה". יש בהוראה כזו שני חלקים - כמה (האורך) ולאן (הכיוון) - ובלי שניהם ביחד ההוראה לא שלמה. הדבר הכי חשוב שגיליתי: כדי לתאר כל וקטור על משטח (מישור), מספיק לי להכיר שני וקטורים "בסיסיים" שלא מצביעים לאותו כיוון - כל וקטור אחר שם הוא רק תערובת (צירוף) שלהם, בדיוק כמו שאפשר להגיע לכל מקום על מפה רק עם "כמה צעדים ימינה וכמה צעדים למעלה". במרחב צריך שלושה כיוונים בסיסיים כאלה במקום שניים - כי יש לנו עכשיו גם "למעלה".
מהו וקטור, ומושגי יסוד
וקטור (במישור או במרחב, בגישה הגאומטרית) הוא גודל שיש לו גם אורך וגם כיוון - למשל הקטע המכוון AB, המתחיל בנקודה A ומסתיים בנקודה B. כדי לתאר וקטור בלי לנקוב בשתי נקודות מסוימות, נהוג לסמן אותו באות בודדת, כמו u או v. וקטור האפס הוא הוקטור שאורכו 0 (הוא לא מצביע לשום כיוון מסוים). שני וקטורים נקראים קולינאריים אם הם נמצאים על אותו ישר או על ישרים מקבילים (יש להם אותו כיוון, או כיוון הפוך). שני וקטורים נקראים שווים אם יש להם גם אותו אורך וגם אותו כיוון בדיוק (גם אם הם מתחילים בנקודות שונות במרחב). שני וקטורים נקראים נגדיים אם יש להם אותו אורך אבל כיוון הפוך בדיוק.
חיבור, חיסור וכפל בסקלר
כדי לחבר שני וקטורים u ו-v: ממקמים את תחילת v בסוף u, והסכום u+v הוא הוקטור מתחילת u עד סוף v. חיסור u-v מוגדר כחיבור של u עם הוקטור הנגדי ל-v, כלומר u-v = u+(-v). כפל וקטור u בסקלר (מספר) t נותן וקטור t·u, שאורכו |t| כפול אורך u; אם t חיובי - הכיוון נשאר אותו כיוון של u, ואם t שלילי - הכיוון מתהפך. אם t=0 מקבלים את וקטור האפס.
תכונות הפעולות, ותנאי לקוליניאריות
לחיבור וקטורים יש חוק חילוף (u+v = v+u) וחוק קיבוץ (אפשר לחבר שלושה וקטורים בכל סדר). לכפל בסקלר יש חוק קיבוץ - t·(s·u) = (t·s)·u - וחוק פילוג בשני כיוונים: (t+s)·u = t·u + s·u (פילוג לפי סקלרים), ו-t·(u+v) = t·u + t·v (פילוג לפי וקטורים). מכל זה נובע תנאי הכרחי ומספיק לקוליניאריות: וקטור v (שונה מוקטור האפס) קולינארי לוקטור u (שונה מוקטור האפס) אם ורק אם קיים סקלר t כך ש-v = t·u.
צירוף לינארי של וקטורים במישור
צירוף לינארי של וקטורים הוא כל ביטוי מהצורה a·u + b·v (עבור סקלרים a,b כלשהם). משפט (ללא הוכחה): כל וקטור הנמצא במישור הנקבע על ידי שני וקטורים לא קולינאריים u,v - אפשר להציג באופן יחיד כצירוף לינארי שלהם. זה כלי שימושי: אם וקטור AB אפשר להציג כצירוף לינארי a·u+b·v של שני וקטורים שיוצרים מישור מסוים, זה מוכיח שהישר AB נמצא באותו מישור או מקביל אליו.
צירוף לינארי של וקטורים במרחב
משפט (ללא הוכחה): כל וקטור במרחב אפשר להציג באופן יחיד כצירוף לינארי של שלושה וקטורים שאינם נמצאים כולם על אותו מישור (לא קומפלנריים). כלומר, שלושה וקטורים כאלה "מספיקים" כדי לתאר כל וקטור במרחב - בדיוק כמו ששני וקטורים לא קולינאריים מספיקים כדי לתאר כל וקטור במישור.
דוגמאות פתורות
במשולש ABC, M היא נקודת אמצע הצלע BC. סמנו AB=u, AC=v. הביעו את הוקטור AM כצירוף לינארי של u ו-v.
- AM = AB + BM (חיבור וקטורים לאורך המסלול A→B→M).
- BM = ½·BC, כי M אמצע BC.
- BC = AC - AB = v - u (וקטור מ-B ל-C שווה להפרש בין וקטורי המקום שלהם, כשמודדים משותפת A).
- לכן BM = ½(v-u) = ½v - ½u.
- AM = u + (½v - ½u) = ½u + ½v.
תשובה: AM = ½u + ½v (נוסחת התיכון: הוקטור לאמצע הצלע הוא ממוצע שני הוקטורים לקצוותיה).
מקבילית ABCD (במקבילית ABCD מתקיים BC=AD כוקטורים). M היא אמצע הצלע BC. סמנו AB=u, AD=v. הביעו את AM כצירוף לינארי של u ו-v.
- ב-B, AB=u, ולכן B נמצא במרחק u מ-A.
- C=B+BC, ומכיוון ש-BC=AD=v (תכונת מקבילית), מתקבל שהמעבר מ-B ל-C הוא באמצעות v.
- M אמצע BC, ולכן AM = AB + BM = AB + ½BC = u + ½v.
תשובה: AM = u + ½v.
נתונות שלוש נקודות A, B, C, כך ש-AB=u (וקטור שונה מוקטור האפס) ו-AC=2.5u. הוכיחו כי הנקודות A, B, C נמצאות על ישר אחד.
- AC הוא כפולה סקלרית של AB (בדיוק 2.5·AB), ולכן לפי התנאי לקוליניאריות, הוקטורים AB ו-AC קולינאריים.
- AB ו-AC הם שני וקטורים קולינאריים שיוצאים מאותה נקודה A.
- וקטורים קולינאריים היוצאים מאותה נקודה נמצאים תמיד על אותו ישר - ולכן הנקודות A,B,C נמצאות על ישר אחד.
תשובה: מכיוון ש-AC=2.5·AB, הוקטורים AB ו-AC קולינאריים, ולכן A, B ו-C נמצאות על אותו ישר.
תרגול
1. נתון וקטור u ששונה מוקטור האפס. מהו הוקטור הנגדי לו, ומה הקשר בין אורכו לאורך u?תרגול
- הוקטור הנגדי ל-u הוא -u.
- לפי הגדרת וקטורים נגדיים, יש להם אותו אורך בדיוק, אבל כיוון הפוך.
- לכן |-u| = |u|.
תשובה: הוקטור הנגדי הוא -u, ואורכו שווה לאורך u (רק הכיוון הפוך).
2. פשטו את הביטוי הוקטורי: 3u + 2v - u + v.תרגול
- מקבצים לפי u: 3u - u = 2u.
- מקבצים לפי v: 2v + v = 3v.
- מקבלים 2u + 3v.
תשובה: 2u + 3v.
3. נתון t=2, s=3. השתמשו בחוק הקיבוץ של כפל בסקלרים כדי לכתוב את t·(s·u) כמכפלה של סקלר יחיד ב-u.תרגול
- לפי חוק הקיבוץ, t·(s·u) = (t·s)·u.
- מציבים t=2, s=3: t·s = 2·3 = 6.
- מקבלים t·(s·u) = 6u.
תשובה: t·(s·u) = 6u.
4. פתחו לפי חוק הפילוג את הביטוי 4·(u+v).תרגול
- לפי חוק הפילוג t·(u+v) = t·u + t·v, עם t=4.
- מקבלים 4u + 4v.
תשובה: 4u + 4v.
5. בטרפז ABCD, כאשר BC || AD ו-AD=2·BC. סמנו AB=u, BC=v. הביעו את AD כוקטור באמצעות v.שאלה בהקשר
- נתון ש-AD מקביל ל-BC, וגם פי 2 ארוך ממנו.
- בטרפז ABCD (עם הקודקודים לפי הסדר סביב המצולע), הכיוון מ-A ל-D זהה לכיוון מ-B ל-C.
- לכן AD הוא בדיוק וקטור באותו כיוון של BC=v, פי 2 ארוך יותר: AD = 2v.
תשובה: AD = 2v.
6. במשולש ABC, N היא אמצע הצלע AC. סמנו AB=u, AC=v. הביעו את הוקטור BN כצירוף לינארי של u ו-v.שאלה בהקשר
- N אמצע AC, ולכן AN = ½AC = ½v.
- BN = BA + AN (מעבר מ-B ל-A ומ-A ל-N).
- BA הוא הוקטור הנגדי ל-AB, כלומר BA = -u.
- BN = -u + ½v.
תשובה: BN = -u + ½v.
7. נתונות בנקודה A שלוש קטנות AB=u, AC=v, AD=w, כאשר u,v,w אינם נמצאים כולם על אותו מישור (לא קומפלנריים). נתונה נקודה E כך ש-AE = 2u + 3v - w. האם E יכולה להיות נמצאת במישור ABC? נמקו בעזרת משפט הצירוף הלינארי במרחב.שאלה בהקשר
- מישור ABC נקבע בדיוק על ידי הוקטורים u=AB ו-v=AC - כל נקודה במישור הזה, הוקטור שלה מ-A ניתן להצגה כצירוף לינארי של u ו-v בלבד (בלי w).
- לפי משפט הצירוף הלינארי במרחב, הצגה כזו כצירוף של שלושה וקטורים לא קומפלנריים (u,v,w) היא יחידה.
- AE = 2u+3v-w כולל מקדם של w ששונה מ-0 (המקדם הוא -1), ולכן AE אינו יכול להיות שווה לשום צירוף לינארי של u,v בלבד.
תשובה: לא, E אינה יכולה להיות במישור ABC, כי בהצגה היחידה של AE כצירוף לינארי של u,v,w יש מקדם שונה מאפס ל-w.
לזכירה
- וקטור הוא גודל בעל אורך וכיוון. וקטורים קולינאריים - על אותו ישר או ישרים מקבילים; שווים - אותו אורך וכיוון; נגדיים - אותו אורך, כיוון הפוך; וקטור האפס - אורכו 0.
- חיבור וקטורים: ממקמים וקטור אחד בהמשך לשני. חיסור: u-v = u+(-v). כפל בסקלר t: משנה את האורך פי |t|, והופך כיוון אם t שלילי.
- לחיבור יש חוק חילוף וקיבוץ; לכפל בסקלרים יש חוק קיבוץ t·(s·u)=(t·s)·u וחוק פילוג בשני כיוונים: (t+s)u=tu+su ו-t(u+v)=tu+tv.
- תנאי הכרחי ומספיק לקוליניאריות: וקטורים u,v (שונים מאפס) קולינאריים אם ורק אם קיים סקלר t כך ש-v=t·u.
- צירוף לינארי הוא ביטוי מהצורה a·u+b·v (או עם שלושה וקטורים). כל וקטור במישור מוצג באופן יחיד כצירוף לינארי של שני וקטורים לא קולינאריים באותו מישור; כל וקטור במרחב מוצג באופן יחיד כצירוף לינארי של שלושה וקטורים לא קומפלנריים.