לומדי

גאומטריה אנליטית

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! הגאומטריה האנליטית היא בעצם "תרגום" - כל צורה גאומטרית (מעגל, פרבולה, אליפסה, היפרבולה) מקבלת "כתובת" אלגברית, משוואה. ברגע שיש לכם את המשוואה, אתם יכולים לגלות עליה הכול - איפה המרכז, איך היא נראית, איפה היא נפגשת עם ישר אחר - בלי לצייר שום דבר. הטריק הכי חשוב בפרק הזה הוא לזכור מאיפה כל משוואה "באה": כל אחת מהצורות היא בסך הכול תשובה לשאלה "אילו נקודות מקיימות תנאי מסוים?" (מקום גאומטרי). אם אתם זוכרים את ההגדרה, תמיד תוכלו לשחזר את המשוואה בעצמכם - ואני כאן לעזור בכל שלב.

נקודות, ישרים ומקום גאומטרי

גאומטריה אנליטית משתמשת בכלים אלגבריים (משוואות, קואורדינטות) כדי לפתור בעיות גאומטריות, ולהיפך - נותנת פירוש גאומטרי לפתרונות אלגבריים. חלוקה פנימית של קטע ביחס נתון: אם נקודה P מחלקת את הקטע AB כך ש-AP:PB=m:n, אז P=(n·A+m·B)/(m+n). מרחק בין שני עצמים גאומטריים מוגדר כמרחק המינימלי בין נקודות עליהם (כך מגדירים מרחק נקודה-ישר, ומרחק בין שני ישרים מקבילים). מקום גאומטרי הוא קבוצת כל הנקודות במישור המקיימות תנאי נתון; פרק זה עוסק גם במציאת מקומות גאומטריים שהם קו ישר, ובקביעת המצב ההדדי בין שני ישרים - נחתכים, מתלכדים או מקבילים.

המעגל

מעגל מוגדר כמקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה נתונה (המרכז) הוא גודל קבוע (הרדיוס). מעגל שמרכזו בראשית הצירים נקרא מעגל קנוני: x²+y²=R². מעגל כללי, שמרכזו בנקודה (a,b), אפשר להסתכל עליו כעל הזזה של המעגל הקנוני: (x-a)²+(y-b)²=R². משוואה מהצורה x²+y²+Cx+Dy+E=0 מייצגת מעגל, ומזהים את מרכזו ורדיוסו על ידי השלמה לריבוע. אפשר למצוא את משוואת המשיק למעגל בנקודה נתונה עליו (למשל בעזרת ניצבות בין הרדיוס למשיק), ולקבוע את המצב ההדדי בין מעגל לישר, או בין שני מעגלים.

הפרבולה

הפרבולה מוגדרת כמקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מישר נתון (המדריך) שווה למרחקן מנקודה נתונה (המוקד). בוחרים מערכת צירים נוחה - למשל מוקד F(0,p) וישר מדריך y=-p - כדי לקבל משוואה קנונית: מרחק הנקודה (x,y) מהמוקד שווה למרחקה מהמדריך, √(x²+(y-p)²)=|y+p|; בהעלאה בריבוע ופישוט מתקבל x²=4py. ממשוואה זו אפשר להסיק את תכונות הסימטריה של הפרבולה (סימטרית ביחס לציר y). אפשר גם למצוא את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה נתונה עליה, ואת המצב ההדדי בינה לבין ישר או מעגל.

האליפסה וההיפרבולה

האליפסה מוגדרת כמקום הגאומטרי של הנקודות שסכום מרחקיהן משתי נקודות נתונות (המוקדים) הוא קבוע. כאשר בוחרים מוקדים בנקודות (±c,0) וסכום המרחקים 2a (עם a>c), מתקבלת המשוואה הקנונית x²/a²+y²/b²=1, כאשר b²=a²-c². ההיפרבולה מוגדרת כמקום הגאומטרי של הנקודות שההפרש (בערך מוחלט) בין מרחקיהן משני מוקדים הוא קבוע; עבור מוקדים (±c,0) והפרש 2a (עם a<c) מתקבלת x²/a²-y²/b²=1, כאשר b²=c²-a², ולהיפרבולה יש שתי אסימפטוטות y=±(b/a)x. בשני המקרים לומדים להסיק את תכונות הסימטריה מתוך המשוואה, ולקבוע את המצב ההדדי בין הצורה לישר או למעגל שמרכזו על אחד הצירים.

מבט מאחד

ארבע הצורות שנלמדו - מעגל, פרבולה, אליפסה והיפרבולה - הן כולן מקרים פרטיים של המשוואה הכללית Ax²+By²+Cx+Dy+E=0. הערכים והיחסים בין המקדמים A ו-B (למשל האם הם שווים, הפוכים בסימן, או בעלי אותו סימן) קובעים איזו צורה מתקבלת. מבט מאוחד זה מראה שכל הפרק כולו הוא סיפור אחד: תבנית אלגברית אחת, שמתארת משפחה שלמה של צורות גאומטריות.

דוגמאות פתורות

נתונה משוואת המעגל x²+y²-6x+4y-3=0. מצאו את מרכז המעגל ורדיוסו.

  1. מקבצים איברים לפי משתנה: (x²-6x) + (y²+4y) = 3.
  2. משלימים לריבוע: x²-6x+9=(x-3)² (הוספנו 9), y²+4y+4=(y+2)² (הוספנו 4).
  3. מוסיפים את אותם מספרים לשני האגפים: (x-3)² + (y+2)² = 3+9+4 = 16.
  4. זו משוואת מעגל קנונית (אחרי הזזה) עם מרכז (3,-2) ורדיוס √16=4.

תשובה: מרכז המעגל הוא (3,-2), רדיוסו 4.

פרבולה עם מוקד F(0,3) ומדריך y=-3. מצאו את משוואתה הקנונית, ואת ערך y עבור הנקודה על הפרבולה שבה x=6.

  1. לפי ההגדרה, המרחק בין מוקד למדריך הוא 2p, ומרחק המוקד מהראשית הוא p. כאן p=3.
  2. המשוואה הקנונית (מוקד (0,p), מדריך y=-p): x²=4py = 4·3·y = 12y.
  3. מציבים x=6: 36=12y, ולכן y=3.
  4. בדיקה: מרחק (6,3) מהמוקד (0,3) הוא √(36+0)=6; מרחק (6,3) מהמדריך y=-3 הוא |3-(-3)|=6 - שווים, כנדרש.

תשובה: משוואת הפרבולה: x²=12y. הנקודה על הפרבולה עם x=6 היא (6,3).

מצאו את נקודות החיתוך בין הישר y=x+1 לבין המעגל x²+y²=25.

  1. מציבים y=x+1 במשוואת המעגל: x²+(x+1)²=25.
  2. פותחים סוגריים: x²+x²+2x+1=25, כלומר 2x²+2x-24=0.
  3. מחלקים ב-2: x²+x-12=0, ומפרקים: (x+4)(x-3)=0, ולכן x=-4 או x=3.
  4. מוצאים את y המתאים מהישר: עבור x=-4, y=-3; עבור x=3, y=4.
  5. בדיקה במעגל: (-4)²+(-3)²=16+9=25 ✓. 3²+4²=9+16=25 ✓.

תשובה: נקודות החיתוך הן (-4,-3) ו-(3,4).

תרגול

1. מצאו את המרחק בין הנקודות A(1,2) ו-B(4,6).תרגול
  1. מרחק = √((4-1)²+(6-2)²) = √(9+16) = √25.

תשובה: המרחק הוא 5.

2. נקודה P מחלקת את הקטע AB (A(1,2), B(7,11)) כך ש-AP:PB=1:2. מצאו את P.תרגול
  1. לפי נוסחת חלוקת קטע ביחס m:n (כאן m=1, n=2): P=(n·A+m·B)/(m+n) = (2A+B)/3.
  2. P = ((2·1+7)/3, (2·2+11)/3) = (9/3, 15/3) = (3,5).

תשובה: P = (3,5).

3. הביאו את המשוואה x²+y²+4x-2y-11=0 לצורה קנונית, ומצאו את מרכז המעגל ורדיוסו.תרגול
  1. מקבצים: (x²+4x) + (y²-2y) = 11.
  2. משלימים לריבוע: x²+4x+4=(x+2)² (הוספנו 4), y²-2y+1=(y-1)² (הוספנו 1).
  3. (x+2)² + (y-1)² = 11+4+1 = 16.

תשובה: מרכז (-2,1), רדיוס 4.

4. מצאו את משוואת המשיק למעגל x²+y²=25 בנקודה (3,4) (בדקו קודם שהנקודה על המעגל).תרגול
  1. בדיקה: 3²+4²=9+16=25 - הנקודה אכן על המעגל.
  2. עבור מעגל שמרכזו בראשית, המשיק בנקודה (x₀,y₀) שעל המעגל הוא x·x₀+y·y₀=R² (כי המשיק ניצב לרדיוס באותה נקודה).
  3. מציבים: 3x+4y=25.

תשובה: משוואת המשיק: 3x+4y=25.

5. צלחת לוויין מתוארת על ידי הפרבולה x²=8y (יחידות במטרים). מצאו את מיקום המוקד (שבו ממוקם המקלט).שאלה בהקשר
  1. משווים למשוואה הקנונית x²=4py: 4p=8, ולכן p=2.
  2. המוקד נמצא בנקודה (0,p) = (0,2).

תשובה: המוקד נמצא בנקודה (0,2).

6. מסלול אליפטי עם מוקדים (±3,0) וסכום מרחקים 2a=10. מצאו את משוואת האליפסה, ואת ערכי y האפשריים כאשר x=3.שאלה בהקשר
  1. a=5, c=3, ולכן b²=a²-c²=25-9=16.
  2. משוואת האליפסה: x²/25+y²/16=1.
  3. מציבים x=3: 9/25+y²/16=1, ולכן y²/16=16/25, כלומר y²=256/25, y=±16/5=±3.2.

תשובה: x²/25+y²/16=1; עבור x=3, y=±3.2.

7. היפרבולה עם מוקדים (±5,0) והפרש מרחקים 2a=6. מצאו את משוואתה הקנונית ואת משוואות האסימפטוטות.שאלה בהקשר
  1. a=3, c=5, ולכן b²=c²-a²=25-9=16.
  2. משוואת ההיפרבולה: x²/9-y²/16=1.
  3. משוואות האסימפטוטות: y=±(b/a)x=±(4/3)x.

תשובה: x²/9-y²/16=1; אסימפטוטות: y=±(4/3)x.

8. קבעו את המצב ההדדי בין הישר y=2x+5 לבין המעגל x²+y²=4 (חותך בשתי נקודות, משיק, או ללא חיתוך).תרגול
  1. מציבים y=2x+5 במשוואת המעגל: x²+(2x+5)²=4.
  2. פותחים: x²+4x²+20x+25=4, כלומר 5x²+20x+21=0.
  3. דיסקרימיננטה: Δ=20²-4·5·21=400-420=-20 < 0.
  4. דיסקרימיננטה שלילית - אין פתרון ממשי.

תשובה: אין חיתוך - הישר אינו פוגע במעגל כלל.

לזכירה

  • חלוקת קטע ביחס נתון: P=(n·A+m·B)/(m+n) עבור AP:PB=m:n; מרחק בין עצמים גאומטריים הוא המרחק המינימלי ביניהם.
  • מעגל: מקום גאומטרי של נקודות במרחק קבוע ממרכז. (x-a)²+(y-b)²=R²; משוואה כללית x²+y²+Cx+Dy+E=0 נפתרת בהשלמה לריבוע.
  • פרבולה: מקום גאומטרי של שוויון מרחקים ממוקד וממדריך, משוואה קנונית לדוגמה x²=4py.
  • אליפסה: סכום מרחקים קבוע ממוקדים, x²/a²+y²/b²=1 (b²=a²-c²). היפרבולה: הפרש מרחקים קבוע ממוקדים, x²/a²-y²/b²=1 (b²=c²-a²), עם אסימפטוטות y=±(b/a)x.
  • כל ארבע הצורות הן מקרים פרטיים של המשוואה הכללית Ax²+By²+Cx+Dy+E=0 - מבט מאחד על כל הפרק.
הקודםוקטורים בגישה גאומטרית ואלגברית (כולל טריגונומטריה במרחב)הבאחשבון דיפרנציאלי – פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות