לומדי

מספרים מרוכבים

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! המספרים המרוכבים נשמעים אולי מוזרים בהתחלה - איך יכול להיות "שורש של מספר שלילי"? - אבל תחשבו על זה כהרחבה טבעית, בדיוק כמו שבשלב מסוים הכרתם מספרים שליליים, ואחר כך שברים. כל מספר מרוכב הוא בעצם נקודה (או וקטור!) על מישור, וכל הפעולות עליו - חיבור, כפל, אפילו חזקות - מקבלות משמעות גאומטרית יפה: סיבוב, מתיחה, שיקוף. הכלי הכי שימושי בפרק הוא ההצגה הקוטבית - היא הופכת חזקות ושורשים ממשהו מסובך למשהו כמעט מכני. קחו את זה שלב-שלב: קודם תרגישו בנוח עם ארבע פעולות החשבון, ואז הכול - כולל דה-מואבר ושורשי היחידה - יתחבר יפה.

הגדרת המספר המרוכב וארבע פעולות החשבון

מגדירים מספר חדש, i, המקיים i²=-1 (שורש ריבועי של מספר שלילי, שאין לו פתרון במספרים הממשיים). מספר מהצורה a+bi, כאשר a ו-b ממשיים, נקרא מספר מרוכב; a נקרא החלק הממשי ו-b החלק המדומה. שני מספרים מרוכבים שווים אם ורק אם גם החלקים הממשיים שווים וגם החלקים המדומים שווים. מגדירים חיבור, חיסור, כפל וחילוק של מספרים מרוכבים (כפל: פותחים סוגריים ומשתמשים ב-i²=-1; חילוק: מכפילים מונה ומכנה בצמוד של המכנה). ארבע הפעולות מקיימות את חוקי החילוף, הקיבוץ והפילוג המוכרים ממספרים ממשיים - כלומר המספרים המרוכבים מהווים מבנה אלגברי הדומה מאוד לממשיים ("שדה"). ההבדל המרכזי: במספרים המרוכבים אין יחס סדר (אי אפשר לומר שמספר מרוכב אחד "גדול" מאחר).

מישור גאוס, ערך מוחלט וצמוד

מספר מרוכב z=a+bi אפשר לייצג כנקודה (a,b) במישור, הנקרא מישור גאוס (הציר האופקי - הממשי, הציר האנכי - המדומה). חיבור וחיסור של מספרים מרוכבים מתפרשים גאומטרית בדיוק כמו חיבור וחיסור של וקטורים במישור. הערך המוחלט |z|=√(a²+b²) הוא המרחק של הנקודה z מהראשית. הצמוד של z=a+bi הוא z̄=a-bi (שיקוף ביחס לציר הממשי). לכל שני מספרים מרוכבים z₁ ו-z₂, |z₁-z₂| הוא המרחק בין הנקודות המתאימות להם במישור גאוס.

שורש של מספר מרוכב ופתרון משוואה ריבועית

הודות למספרים המרוכבים, אפשר כעת לפתור כל משוואה ריבועית, גם כאשר הדיסקרימיננטה שלילית. אם Δ<0, אז √Δ = i·√|Δ|, ופתרונות המשוואה הם שני מספרים מרוכבים צמודים זה לזה. באופן כללי, לכל משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים יש שני פתרונות ממשיים, או שני פתרונות מרוכבים שהם צמודים זה לזה.

הצגה קוטבית ומשפט דה-מואבר

כל מספר מרוכב z=a+bi (שונה מאפס) אפשר להציג בצורה קוטבית z=r(cos θ+i sin θ), כאשר r=|z| והזווית θ (הנקראת ה"ארגומנט") היא הזווית בין הקטע מהראשית ל-z לבין הציר הממשי החיובי. המעבר בין ההצגה האלגברית לקוטבית נעשה באמצעות a=r cos θ, b=r sin θ, ו-r=√(a²+b²). למכפלת שני מספרים מרוכבים בהצגה הקוטבית יש משמעות גאומטרית יפה: הרדיוסים מוכפלים (מתיחה/כיווץ) והזוויות מתחברות (סיבוב). מכאן נובע משפט דה-מואבר, שמתאר העלאה בחזקה של מספר מרוכב (מוכח באינדוקציה): [r(cos θ+i sin θ)]^n = r^n(cos(nθ)+i sin(nθ)).

שורשי היחידה ומקומות גאומטריים במישור גאוס

פתרון המשוואה z^n=w (מציאת שורשי מספר מרוכב) נעשה בעזרת ההצגה הקוטבית וחלוקת הזווית ל-n חלקים; יש בדיוק n פתרונות שונים, והם מתפזרים במישור גאוס כקודקודי מצולע משוכלל בעל n צלעות, על מעגל שרדיוסו n√|w|. מקרה פרטי חשוב הוא שורשי היחידה מסדר n (פתרונות המשוואה z^n=1). מספרים מרוכבים מאפשרים גם לזהות מקומות גאומטריים מוכרים: |z-a|=R הוא מעגל שמרכזו a ורדיוסו R; |z-a|=|z-b| הוא האנך האמצעי לקטע שבין a ל-b; |z-a|=m|z-b| (m≠1) הוא מעגל אפולוניוס. הקישוריות הזו לגאומטריה אנליטית ולוקטורים מאפשרת לפתור בעיות גאומטריות בכלים מרוכבים, וגם משמשת ביישומים כמו גרפיקה ממוחשבת (הזזה, סיבוב, מתיחה וכיווץ, שיקוף של עצמים במישור).

דוגמאות פתורות

נתונים z₁=3+2i ו-z₂=1-4i. חשבו את z₁+z₂, z₁-z₂, z₁·z₂ ו-z₁/z₂.

  1. חיבור וחיסור: z₁+z₂ = (3+1)+(2-4)i = 4-2i. z₁-z₂ = (3-1)+(2-(-4))i = 2+6i.
  2. כפל: z₁·z₂ = (3+2i)(1-4i) = 3-12i+2i-8i² = 3-10i-8(-1) = 3-10i+8 = 11-10i.
  3. חילוק: מכפילים מונה ומכנה בצמוד של המכנה, (1+4i): z₁/z₂ = (3+2i)(1+4i) / [(1-4i)(1+4i)].
  4. מונה: (3+2i)(1+4i) = 3+12i+2i+8i² = 3+14i-8 = -5+14i. מכנה: 1²+4² = 17.

תשובה: z₁+z₂=4-2i, z₁-z₂=2+6i, z₁·z₂=11-10i, z₁/z₂=(-5+14i)/17.

פתרו את המשוואה x²-4x+13=0.

  1. מחשבים דיסקרימיננטה: Δ = (-4)²-4·1·13 = 16-52 = -36.
  2. Δ שלילית, ולכן √Δ = √(-36) = 6i.
  3. x = (4±6i)/2 = 2±3i.

תשובה: x=2+3i או x=2-3i (זוג פתרונות צמודים).

נתון z=1+i√3. הציגו אותו בצורה קוטבית, וחשבו את z⁶ באמצעות משפט דה-מואבר.

  1. r=|z| = √(1²+(√3)²) = √(1+3) = √4 = 2.
  2. הזווית θ: מכיוון שהחלק הממשי (1) והמדומה (√3) חיוביים, z ברביע הראשון; tan θ=√3/1=√3, ולכן θ=60°.
  3. הצגה קוטבית: z = 2(cos60°+i sin60°).
  4. לפי דה-מואבר: z⁶ = 2⁶(cos(6·60°)+i sin(6·60°)) = 64(cos360°+i sin360°) = 64(1+0i) = 64.

תשובה: z = 2(cos60°+i sin60°), ו-z⁶ = 64.

תרגול

1. נתונים z₁=2+5i ו-z₂=3-3i. חשבו את z₁+z₂ ואת z₁·z₂.תרגול
  1. סכום: z₁+z₂ = (2+3)+(5-3)i = 5+2i.
  2. מכפלה: z₁·z₂ = (2+5i)(3-3i) = 6-6i+15i-15i² = 6+9i+15 = 21+9i.

תשובה: z₁+z₂=5+2i, z₁·z₂=21+9i.

2. נתון z=-3+4i. מצאו את הצמוד של z ואת |z|.תרגול
  1. הצמוד מתקבל בהחלפת סימן החלק המדומה: z̄=-3-4i.
  2. |z| = √((-3)²+4²) = √(9+16) = √25.

תשובה: z̄=-3-4i, |z|=5.

3. פתרו את המשוואה x²+2x+5=0.תרגול
  1. Δ = 2²-4·1·5 = 4-20 = -16.
  2. √Δ = √(-16) = 4i.
  3. x = (-2±4i)/2 = -1±2i.

תשובה: x=-1+2i או x=-1-2i.

4. הציגו את z=-1+i בצורה קוטבית.תרגול
  1. r = |z| = √((-1)²+1²) = √2.
  2. החלק הממשי שלילי והמדומה חיובי - z ברביע השני. זווית הייחוס: arctan(1/1)=45°, ולכן θ=180°-45°=135°.

תשובה: z = √2(cos135°+i sin135°).

5. חשבו את z⁴ עבור z=1-i, באמצעות ההצגה הקוטבית.שאלה בהקשר
  1. r=|z|=√(1²+(-1)²)=√2. z ברביע הרביעי, זווית ייחוס 45°, ולכן θ=-45°.
  2. z⁴ = (√2)⁴ · (cos(4·(-45°))+i sin(4·(-45°))) = 4·(cos(-180°)+i sin(-180°)) = 4·(-1+0i) = -4.
  3. בדיקה ישירה: (1-i)²=1-2i+i²=-2i; (1-i)⁴=(-2i)²=4i²=-4 - מתאים.

תשובה: z⁴ = -4.

6. תארו את המקום הגאומטרי של הנקודות z המקיימות |z-3|=5.שאלה בהקשר
  1. הביטוי |z-3| הוא המרחק של הנקודה z מהנקודה (3,0) (המספר הממשי 3) במישור גאוס.
  2. התנאי אומר שהמרחק הזה קבוע ושווה 5.

תשובה: מעגל שמרכזו בנקודה (3,0) ורדיוסו 5.

7. תארו את המקום הגאומטרי של הנקודות z המקיימות |z-1|=|z+3|.שאלה בהקשר
  1. התנאי אומר שהמרחק של z מהנקודה (1,0) שווה למרחקה מהנקודה (-3,0).
  2. קבוצת הנקודות השוות מרחק משתי נקודות נתונות היא האנך האמצעי לקטע ביניהן.
  3. אמצע הקטע בין (1,0) ל-(-3,0) הוא (-1,0), ומכיוון ששתי הנקודות על ציר ה-x, האנך האמצעי הוא הישר האנכי דרך (-1,0).

תשובה: הישר x=-1 (האנך האמצעי לקטע שבין הנקודות 1 ו-3-).

8. מצאו את כל הפתרונות המרוכבים של המשוואה z³=8, וייצגו אותם גרפית.שאלה בהקשר
  1. מציגים את 8 בצורה קוטבית: 8=8(cos0°+i sin0°).
  2. לפי חלוקת הזווית ל-3 חלקים (עם הוספת 360°k): הזוויות הן (0°+360°k)/3 עבור k=0,1,2, כלומר 0°, 120°, 240°. הרדיוס של כל פתרון: ³√8=2.
  3. z₀=2(cos0°+i sin0°)=2. z₁=2(cos120°+i sin120°)=2(-1/2+i√3/2)=-1+i√3. z₂=2(cos240°+i sin240°)=2(-1/2-i√3/2)=-1-i√3.
  4. שלוש הנקודות נמצאות על מעגל ברדיוס 2 סביב הראשית, ומהוות קודקודי משולש שווה-צלעות.

תשובה: z=2, z=-1+i√3, z=-1-i√3 - קודקודי משולש שווה-צלעות על מעגל ברדיוס 2.

לזכירה

  • המספר i מקיים i²=-1; מספר מרוכב z=a+bi (a,b ממשיים) - שוויון, חיבור, חיסור, כפל וחילוק מקיימים את חוקי החילוף, הקיבוץ והפילוג; אין יחס סדר במספרים המרוכבים.
  • במישור גאוס z=(a,b); חיבור/חיסור מתפרשים כמו וקטורים; |z|=√(a²+b²) המרחק מהראשית; הצמוד z̄=a-bi; |z₁-z₂| הוא המרחק בין הנקודות.
  • כל משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים פתירה במרוכבים: אם Δ<0, שני הפתרונות מרוכבים וצמודים זה לזה.
  • הצגה קוטבית z=r(cosθ+i sinθ); מכפלה = הכפלת רדיוסים וחיבור זוויות (סיבוב+מתיחה); משפט דה-מואבר: [r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ)).
  • למשוואה z^n=w יש בדיוק n פתרונות, קודקודי מצולע משוכלל; מקומות גאומטריים: |z-a|=R מעגל, |z-a|=|z-b| אנך אמצעי, |z-a|=m|z-b| מעגל אפולוניוס.
הקודםחשבון דיפרנציאלי – פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות