לומדי

פירוש של נתונים הלקוחים משני מקורות מידע שונים

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! חשבו על עצמכם כבלשים שחוקרים תיק, ויש להם רק חצי מהראיות בכל מקום - צריך לצרף את שני החצאים יחד כדי לגלות את האמת. הכלל הכי חשוב: לפני שאתם קופצים לחישוב, תבדקו קודם אם אחד המקורות "פוסל" או "מגביל" חלק מהנתונים שבמקור השני. רק אחרי שהבנתם את שני המקורות ביחד, ורק על הנתונים שבאמת רלוונטיים, תתחילו לחשב - כי חישוב על הנתונים הלא נכונים ייתן תשובה שגויה, גם אם שיטת החישוב עצמה תהיה נכונה.

למה משתמשים בשני מקורות מידע יחד

לפעמים אף מקור מידע בודד לא נותן את כל התמונה - כל מקור מספר רק חלק מהסיפור, וצריך לשלב בין שני המקורות כדי לענות על השאלה האמיתית. למשל, טבלה אחת יכולה להראות תוצאות של תחרות, ומקור נוסף (כלל, טבלה או תרשים אחר) יכול להראות אילו מהתוצאות בכלל תקפות ("חוקיות") - וכדי לענות נכון, צריך להסתכל בשני המקורות יחד, לא רק באחד מהם.

זוגות מקורות מידע נפוצים

יש כמה זוגות אופייניים של מקורות מידע משלימים שכדאי להכיר: תיאור מילולי עם טבלה, תיאור מילולי עם דיאגרמה, טבלה עם דיאגרמה, שתי טבלאות שונות, ואפילו שתי דיאגרמות מסוגים שונים (למשל דיאגרמת עוגה וגרף קווי). בכל מקרה, כל מקור בפני עצמו חלקי - וצריך לחלץ את המידע הרלוונטי משני המקורות ולחבר אותו כדי לענות על השאלה.

איך משלבים מידע משני מקורות: שיטת עבודה

כדי לשלב מידע משני מקורות בצורה מסודרת, כדאי לפעול בשלבים: (1) לקרוא בעיון כל מקור בנפרד ולהבין מה בדיוק הוא מראה. (2) לזהות איזה "חוק" או תנאי מופיע במקור אחד ומשפיע על איך לקרוא את המקור השני (למשל: תנאי לתקפות תוצאה). (3) לסנן או לסמן במקור השני רק את הנתונים הרלוונטיים, לפי התנאי מהמקור הראשון. (4) לבצע את החישוב או ההשוואה המבוקשת רק על הנתונים הרלוונטיים שנשארו, ולא על כל הנתונים.

מזהים סתירות ואי-התאמות בין מקורות

לפעמים שני המקורות, במבט ראשון, נראים כאילו הם "סותרים" זה את זה - אבל בדרך כלל זה קורה כי כל מקור מתאר היבט אחר של המצב. חשוב להתרגל למצבים שבהם יש צורך לזהות סתירה לכאורה, ולהסביר אותה באמצעות שילוב המידע משני המקורות גם יחד - למשל, נתון שנראה מרשים במקור אחד ("התוצאה הכי טובה שלי!") יכול להתברר כלא תקף כלל לפי תנאי שמופיע רק במקור השני.

דוגמה: שילוב דיאגרמת התפלגות עם גרף שינוי לאורך זמן

סוג נפוץ של שאלה משלבת דיאגרמת עוגה (שמראה מאילו חלקים מורכבת עלות או כמות מסוימת, באחוזים) עם גרף קווי (שמראה איך משהו השתנה עם הזמן). כדי לענות על שאלה כזו, קודם קוראים מהגרף הקווי מה קרה למגמה (עלייה, ירידה, ובכמה אחוזים), ואז משתמשים בדיאגרמת העוגה כדי לדעת איזה חלק מהעלות/הכמות הכוללת מושפע משינוי זה - ומחשבים איך השינוי החלקי הזה משפיע על הסכום הכולל.

דוגמאות פתורות

בתחרות ריצה נמדדו הטמפרטורות בשלושה מרוצים (מקור מידע 1, טבלה): מרוץ 1 - 33°C, מרוץ 2 - 22°C, מרוץ 3 - 29°C. חוק התחרות: תוצאה נחשבת רשמית רק אם הטמפרטורה בזמן המרוץ הייתה 30°C או פחות (מעל לכך, נחשב "חם מדי" ופוסל את השיא). זמני הריצה (בשניות, מקור מידע 2, טבלה): רותם - מרוץ 1: 12.1, מרוץ 2: 12.5, מרוץ 3: 12.3. עידן - מרוץ 1: 11.9, מרוץ 2: 12.8, מרוץ 3: 12.0 (זמן נמוך יותר = ריצה טובה יותר). מי משני הרצים השיג את הזמן הרשמי הטוב ביותר?

  1. משתמשים במקור 1 כדי לזהות אילו מרוצים תקפים (טמפרטורה ≤ 30°C): מרוץ 1 (33°) - לא תקף; מרוץ 2 (22°) - תקף; מרוץ 3 (29°) - תקף.
  2. לכן, מכל הנתונים במקור 2, מתעלמים לגמרי מזמני מרוץ 1, ובודקים רק את מרוץ 2 ומרוץ 3 של כל רץ.
  3. הזמן הטוב ביותר (הנמוך ביותר) של רותם מבין המרוצים התקפים: בין 12.5 (מרוץ 2) ל-12.3 (מרוץ 3) - הטוב ביותר הוא 12.3.
  4. הזמן הטוב ביותר של עידן מבין המרוצים התקפים: בין 12.8 (מרוץ 2) ל-12.0 (מרוץ 3) - הטוב ביותר הוא 12.0.
  5. משווים בין שני הזמנים הרשמיים הטובים ביותר: 12.0 (עידן) נמוך מ-12.3 (רותם), כלומר עידן מהיר יותר רשמית. שימו לב שהזמן הכי מהיר בכלל מבין כל 6 הזמנים שנמדדו הוא דווקא 11.9 (עידן, מרוץ 1) - אבל גם הוא לא נכנס להשוואה, כי מרוץ 1 לא תקף לאף אחד מהרצים.

תשובה: עידן השיג את הזמן הרשמי הטוב ביותר (12.0 שניות, במרוץ 3). מעניין לשים לב שהזמן המהיר ביותר של כל אחד מהרצים (12.1 של רותם ו-11.9 של עידן) נמדד דווקא במרוץ 1 - אבל שניהם נפסלים, כי מרוץ 1 היה חם מדי ואינו תקף.

בית קפה בונה כוס קפה מכמה מרכיבים. מקור מידע 1 (דיאגרמת עוגה): התפלגות עלויות הכנת כוס קפה אחת - פולי קפה 20%, חלב וכוס 50%, שכר וארנונה 30%. מקור מידע 2 (גרף): מחיר פולי הקפה עלה ב-40% בחצי השנה האחרונה. בחודש ינואר, העלות הכוללת של כוס קפה הייתה 50 ש"ח (לפני רווח). אם רק מחיר הפולים השתנה, ושאר ההוצאות נשארו זהות - מהי העלות הכוללת החדשה של כוס קפה?

  1. מפרקים את העלות הכוללת של ינואר (50 ש"ח) לפי האחוזים ממקור 1: פולי קפה = 20% מ-50 = 10 ש"ח. חלב וכוס = 50% מ-50 = 25 ש"ח. שכר וארנונה = 30% מ-50 = 15 ש"ח. (בדיקה: 10+25+15=50 - מתאים לעלות הכוללת.)
  2. לפי מקור 2, רק מחיר הפולים עלה ב-40%, ולכן מעדכנים רק את הרכיב הזה: עלות פולים חדשה = 10 × 1.4 = 14 ש"ח.
  3. שני הרכיבים האחרים לא השתנו: חלב וכוס נשאר 25 ש"ח, שכר וארנונה נשאר 15 ש"ח.
  4. העלות הכוללת החדשה = 14 + 25 + 15 = 54 ש"ח.

תשובה: העלות הכוללת החדשה של כוס קפה היא 54 ש"ח (עלתה מ-50 ש"ח ל-54 ש"ח, למרות שרק רכיב הפולים - 20% מהעלות - התייקר).

תרגול

1. מקור מידע 1 (תיאור): חנות מציעה הנחה בימי שני ורביעי בלבד. מקור מידע 2 (טבלה): מספר לקוחות לפי יום - ראשון: 40, שני: 70, שלישי: 35, רביעי: 65, חמישי: 45. כמה לקוחות הגיעו בסך הכול בימי ההנחה?תרגול
  1. לפי מקור 1, ימי ההנחה הם שני ורביעי בלבד.
  2. מוצאים במקור 2 את מספר הלקוחות בימים האלה: יום שני - 70, יום רביעי - 65.
  3. מחברים: 70+65 = 135.

תשובה: בסך הכול הגיעו 135 לקוחות בימי ההנחה (שני ורביעי).

2. מקור מידע 1 (תיאור מילולי): "התלמיד נכח בכל השיעורים בחודש מרץ, בלי אף היעדרות". מקור מידע 2 (טבלת נוכחות): ברשימת הנוכחות של מרץ מסומנת היעדרות ביום 14 למרץ. הסבירו מה הסתירה בין שני המקורות, ואיזה מהם כדאי לבדוק שוב.תרגול
  1. מקור 1 טוען שהייתה נוכחות מלאה בלי אף היעדרות במהלך כל חודש מרץ.
  2. מקור 2 (טבלת הנוכחות בפועל) מראה היעדרות רשומה בתאריך ה-14 למרץ - זה סותר ישירות את הטענה במקור 1.
  3. כדי לפתור את הסתירה, כדאי לבדוק שוב את שני המקורות: אולי הטענה המילולית לא מדויקת, או שהרישום בטבלה הוא טעות (למשל, סימון שגוי של יום אחר) - בכל מקרה, אי אפשר לקבל את שני המקורות כנכונים בו-זמנית בלי לברר.

תשובה: יש סתירה ברורה: מקור 1 טוען לנוכחות מלאה, אך מקור 2 מראה היעדרות ב-14 למרץ. יש לבדוק שוב את שני המקורות כדי להבין מאיפה נובעת אי-ההתאמה.

3. מקור מידע 1 (טבלה): מחיר כרטיס קולנוע לפי סוג - ילד: 20 ש"ח, מבוגר: 35 ש"ח. מקור מידע 2 (טבלה): מספר הכרטיסים שנמכרו הערב - ילדים: 30, מבוגרים: 50. מהי ההכנסה הכוללת מכרטיסי ילדים בלבד הערב?תרגול
  1. ממקור 1: מחיר כרטיס ילד הוא 20 ש"ח.
  2. ממקור 2: נמכרו 30 כרטיסי ילדים.
  3. מכפילים: 30 × 20 = 600 ש"ח.

תשובה: ההכנסה מכרטיסי ילדים בלבד הייתה 600 ש"ח.

4. בתחרות שחייה מדדו טמפרטורת מים בשלושה מרוצים (מקור 1): מרוץ 1 - 23°C, מרוץ 2 - 25°C, מרוץ 3 - 26°C. תוצאה רשמית נחשבת רק אם טמפרטורת המים 24°C ומעלה (מתחת לכך, המים קרים מדי ופוסלים את השיא). זמני שחייה (בשניות, מקור 2): מיכל - מרוץ 1: 58.0, מרוץ 2: 60.5, מרוץ 3: 59.0. נועה - מרוץ 1: 57.5, מרוץ 2: 61.0, מרוץ 3: 58.5. מי משתי השחייניות השיגה את הזמן הרשמי הטוב ביותר?שאלה בהקשר
  1. לפי מקור 1, מרוצים תקפים הם אלה עם טמפרטורה 24°C ומעלה: מרוץ 2 (25°) ומרוץ 3 (26°) תקפים; מרוץ 1 (23°) אינו תקף.
  2. בודקים רק את זמני מרוץ 2 ומרוץ 3 עבור כל שחיינית. מיכל: 60.5 ו-59.0 - הטוב ביותר 59.0. נועה: 61.0 ו-58.5 - הטוב ביותר 58.5.
  3. משווים: 58.5 (נועה) נמוך מ-59.0 (מיכל), ולכן נועה מהירה יותר רשמית - למרות שהזמן הכי מהיר בכלל שייך לנועה גם במרוץ 1 (57.5), שאינו תקף.

תשובה: נועה השיגה את הזמן הרשמי הטוב ביותר (58.5 שניות, במרוץ 3).

5. חדר כושר מפרסם את התפלגות עלות המנוי החודשי (מקור 1, דיאגרמת עוגה): שכירות המקום 40%, ציוד 25%, מדריכים 35%. עלות המנוי הכוללת בינואר הייתה 800 ש"ח לחודש. לפי מקור 2 (גרף מגמה), מחיר תחזוקת הציוד עלה ב-20% בשנה האחרונה, ושאר הרכיבים לא השתנו. מהי העלות החודשית החדשה?שאלה בהקשר
  1. מפרקים את 800 ש"ח לפי האחוזים: שכירות = 40% מ-800 = 320. ציוד = 25% מ-800 = 200. מדריכים = 35% מ-800 = 280. (בדיקה: 320+200+280=800.)
  2. לפי מקור 2, רק עלות הציוד עולה ב-20%: 200 × 1.2 = 240 ש"ח.
  3. שני הרכיבים האחרים נשארים ללא שינוי: שכירות 320, מדריכים 280.
  4. העלות הכוללת החדשה = 320+240+280 = 840 ש"ח.

תשובה: העלות החודשית החדשה היא 840 ש"ח (עלתה מ-800 ל-840 ש"ח).

6. בהתבסס על נתוני מרוצי הריצה שבדוגמה הפתורה בשיעור (רותם ועידן, עם תנאי הטמפרטורה ≤30°C), רותם טוענת: "במרוץ 1 רצתי הכי מהר מכל הריצות שלי, 12.1 שניות - זה השיא האישי שלי, וזה צריך להיחשב!" הסבירו, תוך שימוש בנתון משני המקורות (הטמפרטורה וזמן הריצה), האם רותם צודקת.שאלה בהקשר
  1. בודקים את הטמפרטורה של מרוץ 1 במקור 1: 33°C - זה גבוה מהסף המותר (30°C ומטה), ולכן מרוץ 1 אינו תקף לפי חוק התחרות.
  2. אף שזמן הריצה של רותם במרוץ 1 (12.1 שניות, ממקור 2) אכן הכי טוב מבין כל שלוש הריצות שלה, החוק קובע שתוצאה ממרוץ לא-תקף אינה נספרת כשיא רשמי, ללא קשר לכמה טוב הזמן עצמו.
  3. לכן רותם אינה צודקת שזה צריך להיחשב כשיא רשמי - השיא הרשמי שלה חייב להיבחר רק מבין המרוצים התקפים (מרוץ 2 ו-3), שבהם הזמן הטוב ביותר שלה הוא 12.3 שניות, לא 12.1.

תשובה: רותם אינה צודקת. למרות ש-12.1 שניות הוא אכן הזמן המהיר ביותר מבין כל הריצות שלה, מרוץ 1 נמדד בטמפרטורה של 33°C - מעל הסף התקף (30°C) - ולכן הוא פסול, ולא ייחשב כשיא רשמי.

לזכירה

  • לפעמים צריך לשלב מידע משני מקורות שונים (טבלה, גרף, דיאגרמה, תיאור מילולי) כדי לענות על שאלה - כל מקור בפני עצמו נותן רק חלק מהתמונה.
  • לפני שמחשבים, תמיד בודקים אם מקור אחד מכיל תנאי או חוק שמגביל אילו נתונים מהמקור השני בכלל רלוונטיים.
  • מסננים את הנתונים הרלוונטיים בלבד לפי התנאי, ורק אז מבצעים את החישוב או ההשוואה המבוקשת.
  • חשוב לזהות סתירות לכאורה בין מקורות ולהסביר אותן - לרוב הן נובעות מכך שכל מקור מתאר היבט אחר של אותו מצב.
  • כשמשלבים דיאגרמת התפלגות (אחוזים מתוך שלם) עם גרף מגמה (שינוי לאורך זמן), תחילה קוראים את המגמה, ואז מיישמים אותה רק על החלק הרלוונטי מתוך השלם.
הקודםסטטיסטיקה: אקסטרפולציה על סמך ניתוח נתונים כמותיים