אחוזים; הגדלה או הקטנה באחוזים
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! תחשבו על אחוזים כמו מתכון עוגה: כשמשהו "גדל ב-20%", זה כמו להוסיף עוד קצת בצק - קודם מגלים כמה זה "20% מהעוגה המקורית", ואחר כך מוסיפים את זה לעוגה שכבר הייתה לכם. וכשמשהו "קטן ב-20%" זה בדיוק ההפך - מורידים את אותה כמות בצק מהעוגה המקורית. הטריק החשוב ביותר לזכור: תמיד, תמיד מחשבים את האחוז מתוך הערך המקורי וההתחלתי - ולא מתוך הערך החדש. תרגלו כמה פעמים, ואני מבטיח לכם שזה ייהפך לטבעי כמו לספור על האצבעות!
תזכורת: מה זה אחוז, ואיך מוצאים אחוז מתוך מספר
אחוז הוא דרך לתאר חלק מתוך 100. למשל, 25% פירושו 25 מתוך 100, כלומר השבר 25/100, שהוא גם המספר העשרוני 0.25. כדי למצוא אחוז מסוים מתוך מספר, הופכים את האחוז לשבר עשרוני ומכפילים אותו במספר. לדוגמה: 20% מתוך 150 שווים ל-0.2 כפול 150, שזה 30.
הגדלה באחוזים: איך מחשבים ערך חדש שגדל
כשמשהו גדל באחוז מסוים, קודם מוצאים כמה שווה אותו אחוז מהערך המקורי, ואז מוסיפים את זה לערך המקורי. לדוגמה, אם מחיר של 200 ש"ח עולה ב-15%, קודם מוצאים 15% מ-200 (זה 30 ש"ח), ואז מוסיפים: 200+30=230 ש"ח. אפשר גם לעשות זאת בפעולה אחת: מכפילים את הערך המקורי ב-1 ועוד האחוז כשבר עשרוני, כלומר 200 כפול 1.15 נותן גם כן 230.
הקטנה באחוזים: איך מחשבים ערך חדש שקטן
כשמשהו קטן (יורד) באחוז מסוים, מוצאים כמה שווה אותו אחוז מהערך המקורי, ומחסירים אותו מהערך המקורי. לדוגמה, אם מחיר של 200 ש"ח יורד ב-15%, מוצאים 15% מ-200 (30 ש"ח) ומחסירים: 200-30=170 ש"ח. בפעולה אחת: מכפילים את הערך המקורי ב-1 פחות האחוז כשבר עשרוני, כלומר 200 כפול 0.85 נותן גם כן 170.
מציאת אחוז השינוי בין ערך מקורי לערך חדש
לפעמים נתונים לנו הערך המקורי והערך החדש, וצריך למצוא באיזה אחוז הערך השתנה. קודם מוצאים את ההפרש בין הערך החדש לערך המקורי, ואז מחלקים את ההפרש בערך המקורי ומכפילים ב-100. חשוב מאוד: תמיד מחלקים בערך ההתחלתי (המקורי), ולא בערך החדש. לדוגמה, אם ערך עלה מ-80 ל-100, ההפרש הוא 20, וכשמחלקים 20 ב-80 ומכפילים ב-100 מקבלים 25%, כלומר עלייה של 25%.
שינויים עוקבים באחוזים: פעמיים ברצף
לפעמים ערך משתנה פעמיים ברצף - למשל מחיר שעולה 10% ואז יורד 10%, או מחיר שיורד 20% פעמיים ברצף. חשוב מאוד: אסור לחבר או לחסר את האחוזים זה מזה (10%+10% זה לא 20%, ו-10%-10% זה לא 0%!) - כי כל אחוז מחושב מתוך ערך אחר: הראשון מתוך הערך המקורי, והשני מתוך הערך שכבר השתנה. הדרך הנכונה: מכפילים פעמיים ברצף. לדוגמה, מחיר של 200 ש"ח שעולה 10% ואז יורד 10%: אחרי העלייה - 200×1.1=220; אחרי הירידה - 220×0.9=198 (ולא 200!). שימו לב שגם סדר הפעולות לא משנה את התוצאה הסופית: 200×0.9×1.1 נותן גם הוא 198, בדיוק כמו 200×1.1×0.9 - כי בכפל מותר להחליף את סדר הגורמים (חוק החילוף).
דוגמאות פתורות
כרטיס למופע עלה 80 ש"ח. לקראת החג הועלה מחירו ב-25%. מה מחיר הכרטיס החדש?
- מוצאים כמה זה 25% מתוך 80: 25%=0.25, ו-0.25 × 80 = 20 ש"ח. זהו סכום העלייה.
- מוסיפים את סכום העלייה למחיר המקורי: 80 + 20 = 100 ש"ח.
- בדיקה בדרך המהירה: מכפילים 80 ב-1.25 (כלומר 1 ועוד 0.25): 80 × 1.25 = 100 ש"ח - מתאים.
תשובה: מחיר הכרטיס החדש הוא 100 ש"ח
מחיר תיק גב הוא 300 ש"ח. בחנות מכריזים על מבצע: 40% הנחה. מה מחיר התיק במבצע?
- מוצאים כמה זה 40% מתוך 300: 0.4 × 300 = 120 ש"ח. זהו סכום ההנחה.
- מחסירים את ההנחה מהמחיר המקורי: 300 − 120 = 180 ש"ח.
- בדיקה בדרך המהירה: מכפילים 300 ב-0.6 (כלומר 1 פחות 0.4): 300 × 0.6 = 180 ש"ח - מתאים.
תשובה: מחיר התיק במבצע הוא 180 ש"ח
בכיתה מסוימת היו בתחילת השנה 24 תלמידים. במהלך השנה הצטרפו תלמידים נוספים, ובסוף השנה היו בכיתה 30 תלמידים. באיזה אחוז גדל מספר התלמידים בכיתה?
- מוצאים את ההפרש בין המספר החדש למספר המקורי: 30 − 24 = 6 תלמידים.
- מחלקים את ההפרש במספר המקורי (24, לא 30!): 6 ÷ 24 = 0.25.
- הופכים את השבר העשרוני לאחוזים על ידי הכפלה ב-100: 0.25 × 100 = 25%.
תשובה: מספר התלמידים בכיתה גדל ב-25%
מחיר מוצר, 300 ש"ח, עלה ב-15%, ואחר כך המחיר החדש ירד ב-15%. מהו המחיר הסופי? האם הוא שווה למחיר המקורי?
- מוצאים את המחיר אחרי העלייה של 15%: 300×1.15=345 ש"ח.
- מוצאים את המחיר אחרי הירידה של 15% מהערך החדש (345, לא 300!): 345×0.85=293.25 ש"ח.
- 293.25 שונה מ-300 המקורי - עלייה וירידה באותו אחוז לא מחזירות בדיוק לערך המקורי, כי הן מחושבות מתוך ערכים שונים.
תשובה: המחיר הסופי הוא 293.25 ש"ח - נמוך מהמחיר המקורי, 300 ש"ח.
תרגול
1. מספר שווה 400. מצאו את הערך החדש לאחר שהוא גדל ב-20%.תרגול
- מוצאים 20% מתוך 400: 0.2 × 400 = 80.
- מוסיפים את התוספת למספר המקורי: 400 + 80 = 480.
תשובה: 480
2. מספר שווה 250. מצאו את הערך החדש לאחר שהוא קטן ב-12%.תרגול
- מוצאים 12% מתוך 250: 0.12 × 250 = 30.
- מחסירים את הסכום מהמספר המקורי: 250 − 30 = 220.
תשובה: 220
3. מספר עלה מ-40 ל-52. באיזה אחוז הוא עלה?תרגול
- מוצאים את ההפרש בין הערך החדש לערך המקורי: 52 − 40 = 12.
- מחלקים את ההפרש בערך המקורי (40, לא 52!): 12 ÷ 40 = 0.3.
- הופכים את השבר העשרוני לאחוזים: 0.3 × 100 = 30%.
תשובה: עלייה של 30%
4. מחיר של 400 ש"ח קטן ב-20%, ואז המחיר החדש גדל ב-20%. מה המחיר הסופי? האם הוא שווה למחיר המקורי (400 ש"ח)?תרגול
- מוצאים את המחיר אחרי ההקטנה של 20%: 400×0.8=320 ש"ח.
- מוצאים את המחיר אחרי ההגדלה של 20% מהערך החדש (320, לא 400!): 320×1.2=384 ש"ח.
- 384 שונה מ-400 המקורי - הגדלה ב-20% לא 'מבטלת' הקטנה קודמת ב-20%, כי כל אחוז מחושב מתוך ערך אחר (הראשון מתוך 400, השני מתוך 320).
תשובה: המחיר הסופי הוא 384 ש"ח - שונה מהמחיר המקורי, 400 ש"ח.
5. בכיתה יש 32 תלמידים. 25% מהם השתתפו בתחרות המתמטיקה השנתית. כמה תלמידים השתתפו בתחרות?שאלה בהקשר
- הופכים את 25% לשבר עשרוני: 25% = 0.25.
- מכפילים במספר התלמידים בכיתה: 0.25 × 32 = 8.
תשובה: 8 תלמידים השתתפו בתחרות
6. מחיר חולצה בחנות הוא 120 ש"ח. במבצע סוף עונה מוענקת הנחה של 30%. כמה תעלה החולצה במבצע?שאלה בהקשר
- מוצאים 30% מתוך 120: 0.3 × 120 = 36 ש"ח - זהו סכום ההנחה.
- מחסירים את ההנחה מהמחיר המקורי: 120 − 36 = 84 ש"ח.
תשובה: החולצה במבצע תעלה 84 ש"ח
7. משכורתו החודשית של עובד הייתה 6000 ש"ח. המעסיק העלה לו את המשכורת ב-8%. מה המשכורת החדשה שלו?שאלה בהקשר
- מוצאים 8% מתוך 6000: 0.08 × 6000 = 480 ש"ח - זהו סכום ההעלאה.
- מוסיפים את ההעלאה למשכורת המקורית: 6000 + 480 = 6480 ש"ח.
תשובה: המשכורת החדשה היא 6480 ש"ח
8. בהצגה בבית הספר הגיעו בשנה שעברה 250 צופים. השנה הגיעו 300 צופים. באיזה אחוז גדל מספר הצופים?שאלה בהקשר
- מוצאים את ההפרש: 300 − 250 = 50 צופים.
- מחלקים את ההפרש במספר הצופים המקורי (250): 50 ÷ 250 = 0.2.
- הופכים לאחוזים: 0.2 × 100 = 20%.
תשובה: מספר הצופים גדל ב-20%
לזכירה
- אחוז הוא חלק מתוך 100: כדי למצוא אחוז ממספר, הופכים אותו לשבר עשרוני (למשל 20%=0.2) ומכפילים במספר.
- כדי להגדיל ערך באחוז מסוים: מוצאים כמה שווה האחוז מהערך המקורי ומוסיפים אותו אליו (או מכפילים ב-1 ועוד האחוז כשבר עשרוני - למשל 15% הופך ל-1.15).
- כדי להקטין ערך באחוז מסוים: מוצאים כמה שווה האחוז מהערך המקורי ומחסירים אותו ממנו (או מכפילים ב-1 פחות האחוז כשבר עשרוני - למשל 15% הופך ל-0.85).
- כדי למצוא באיזה אחוז ערך השתנה: מחלקים את ההפרש בין הערך החדש לערך המקורי - דווקא בערך המקורי - ומכפילים ב-100.
- בשינויים עוקבים (פעמיים ברצף) אסור לחבר/לחסר את האחוזים - מכפילים פעמיים ברצף, כשכל אחוז מחושב מתוך הערך שכבר השתנה. עלייה וירידה באותו אחוז (או ההפך) לא מחזירות בדיוק לערך המקורי.
- סדר הפעולות בשינויים עוקבים לא משנה את התוצאה הסופית (חוק החילוף בכפל) - אבל התוצאה עצמה שונה מהערך המקורי.