לומדי

פתרון משוואות הכוללות הגדלה או הקטנה באחוזים

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! בואו נזכור דבר אחד פשוט: "להגדיל באחוזים" זה לכפול את המספר המקורי במספר גדול מ-1 (למשל 1.2 בשביל הגדלה ב-20%), ו"להקטין באחוזים" זה לכפול במספר קטן מ-1 (למשל 0.85 בשביל הקטנה ב-15%). אם אתם יודעים רק את הכמות אחרי השינוי, ולא את זו שלפני - כתבו את זה כמשוואה: x ועוד (או פחות) האחוז ממנו שווה לכמות הידועה, כנסו איברים דומים, ופתרו בדיוק כמו כל משוואה שכבר פתרתם בכיתה ז'. אתם כבר יודעים לפתור משוואות ממעלה ראשונה - כאן רק צריך לבנות אותה נכון, והשאר הוא בדיוק אותו תהליך שאתם כבר מכירים!

אחוזים כתוספת או כהפחתה מהמספר המקורי

אחוז הוא חלק ממאה. לדוגמה, 20% מהמספר 50 הם 0.2 כפול 50, כלומר 10. אם מגדילים את 50 ב-20%, מוסיפים לו את ה-10 האלה ומקבלים 50 + 10 = 60. באופן כללי: כשמגדילים כמות ב-p אחוזים, מוסיפים לה p/100 מעצמה: הכמות החדשה = הכמות המקורית ועוד p/100 כפול הכמות המקורית. באותו אופן, אם מקטינים את 50 ב-20%, מורידים ממנו את אותם 10 ומקבלים 50 − 10 = 40. באופן כללי: כשמקטינים כמות ב-p אחוזים, מורידים ממנה p/100 מעצמה: הכמות החדשה = הכמות המקורית פחות p/100 כפול הכמות המקורית. זה בדיוק אותו סוג ביטוי אלגברי עם איברים דומים שכבר פגשתם בכיתה ז'.

בונים משוואה להגדלה באחוזים

לדוגמה, אם x גדל ב-20%, מוסיפים לו 0.2 כפול x, כלומר כותבים x + 0.2x - וזה שווה ל-1.2x (כינוס איברים דומים, בדיוק כמו בכיתה ז'). באופן כללי: נסמן את הכמות המקורית (הלא ידועה) באות x. אם x גדל ב-p אחוזים והתוצאה הידועה היא C, כותבים את זה כך: x + (p/100)x = C. מכנסים איברים דומים ומקבלים משוואה פשוטה עם נעלם אחד: (1 + p/100)·x = C.

בונים משוואה להקטנה באחוזים

באותו אופן, אם x קטן ב-15%, מורידים ממנו 0.15 כפול x, כלומר כותבים x − 0.15x - וזה שווה ל-0.85x. באופן כללי: אם x קטן ב-p אחוזים והתוצאה הידועה היא C, כותבים: x − (p/100)x = C. אחרי כינוס איברים דומים מקבלים: (1 − p/100)·x = C. שימו לב שההבדל היחיד בין הגדלה להקטנה הוא הסימן בתוך הסוגריים - פלוס להגדלה, מינוס להקטנה.

פותרים את המשוואה

אחרי שכינסנו איברים דומים, נשארה משוואה ממעלה ראשונה רגילה: מקדם (מספר עשרוני כמו 1.2 או 0.85) כפול x שווה למספר נתון. מבודדים את x בדיוק כמו תמיד - מחלקים את שני אגפי המשוואה באותו מקדם. לדוגמה, במשוואה 1.2x = 360 מחלקים את שני האגפים ב-1.2 ומקבלים x = 360 ÷ 1.2 = 300. התוצאה שמתקבלת היא הכמות המקורית שחיפשנו.

בודקים שהתשובה נכונה

הדרך הכי בטוחה לבדוק היא להציב את x שמצאתם בחזרה במשפט המילולי המקורי ולוודא שהוא באמת נותן את C. טעות נפוצה בבעיות הגדלה היא לחשב "C פחות p אחוז מ-C" במקום לפתור את המשוואה בפועל. למשל, בדוגמת הטלוויזיה שהתייקרה ב-20% ועלתה 360 ש"ח: התשובה הנכונה היא 300 ש"ח (כפי שראינו), אבל אם בטעות נחשב 360 פחות 20% מ-360, נקבל 360 − 72 = 288 - תוצאה שגויה, הרחוקה ב-12 ש"ח מהתשובה הנכונה. באותו אופן, בבעיות הקטנה קיימת טעות מקבילה: לחשב "C ועוד p אחוז מ-C" במקום לפתור את המשוואה x − (p/100)x = C. שתי הטעויות האלה נראות סבירות אך הן שגויות, ולכן ההצבה החזרה היא הבדיקה האמינה ביותר. בדיקה מהירה נוספת: בהגדלה x תמיד קטן מ-C, ובהקטנה x תמיד גדול מ-C.

דוגמאות פתורות

מחיר של טלוויזיה הועלה ב-20%, ולאחר ההעלאה הוא עולה 360 ש"ח. מה היה מחיר הטלוויזיה לפני ההעלאה?

  1. נסמן את מחיר הטלוויזיה לפני ההעלאה ב-x.
  2. הטלוויזיה התייקרה ב-20%, כלומר נוסף לה 20% מעצמה: x + 0.2x = 360.
  3. מכנסים איברים דומים: 1.2x = 360.
  4. מחלקים את שני אגפי המשוואה ב-1.2: x = 360 ÷ 1.2 = 300.
  5. בדיקה: 300 + 20% מ-300 = 300 + 60 = 360 - מתאים לנתון.

תשובה: מחיר הטלוויזיה לפני ההעלאה היה 300 ש"ח.

בעונת המבצעים הוזל מחיר של תיק ב-15%, ולאחר ההנחה הוא עולה 170 ש"ח. מה היה מחיר התיק לפני ההנחה?

  1. נסמן את מחיר התיק לפני ההנחה ב-x.
  2. התיק הוזל ב-15%, כלומר הופחת ממנו 15% מעצמו: x − 0.15x = 170.
  3. מכנסים איברים דומים: 0.85x = 170.
  4. מחלקים את שני אגפי המשוואה ב-0.85: x = 170 ÷ 0.85 = 200.
  5. בדיקה: 200 − 15% מ-200 = 200 − 30 = 170 - מתאים לנתון.

תשובה: מחיר התיק לפני ההנחה היה 200 ש"ח.

מספר התלמידים בבית ספר גדל השנה ב-8%, ועכשיו לומדים בו 540 תלמידים. כמה תלמידים היו בבית הספר בשנה שעברה?

  1. נסמן את מספר התלמידים בשנה שעברה ב-x.
  2. מספר התלמידים גדל ב-8%: x + 0.08x = 540.
  3. מכנסים איברים דומים: 1.08x = 540.
  4. מחלקים את שני אגפי המשוואה ב-1.08: x = 540 ÷ 1.08 = 500.
  5. בדיקה: 500 + 8% מ-500 = 500 + 40 = 540 - מתאים לנתון.

תשובה: בשנה שעברה היו בבית הספר 500 תלמידים.

תרגול

1. פתרו את המשוואה: x + 0.1x = 220.תרגול
  1. מכנסים איברים דומים: x + 0.1x = 1.1x, כך שהמשוואה היא 1.1x = 220.
  2. מחלקים את שני האגפים ב-1.1: x = 220 ÷ 1.1 = 200.
  3. בדיקה: 200 + 0.1·200 = 200 + 20 = 220 - מתאים.

תשובה: x = 200.

2. פתרו את המשוואה: x − 0.25x = 60.תרגול
  1. מכנסים איברים דומים: x − 0.25x = 0.75x, כך שהמשוואה היא 0.75x = 60.
  2. מחלקים את שני האגפים ב-0.75: x = 60 ÷ 0.75 = 80.
  3. בדיקה: 80 − 0.25·80 = 80 − 20 = 60 - מתאים.

תשובה: x = 80.

3. מספר גדל ב-4% והתוצאה היא 156. מצאו את המספר המקורי.תרגול
  1. נסמן את המספר המקורי ב-x. המספר גדל ב-4%: x + 0.04x = 156.
  2. מכנסים איברים דומים: 1.04x = 156.
  3. מחלקים ב-1.04: x = 156 ÷ 1.04 = 150.
  4. בדיקה: 150 + 4% מ-150 = 150 + 6 = 156 - מתאים.

תשובה: המספר המקורי הוא 150.

4. מספר קטן ב-30% והתוצאה היא 91. מצאו את המספר המקורי.תרגול
  1. נסמן את המספר המקורי ב-x. המספר קטן ב-30%: x − 0.3x = 91.
  2. מכנסים איברים דומים: 0.7x = 91.
  3. מחלקים ב-0.7: x = 91 ÷ 0.7 = 130.
  4. בדיקה: 130 − 30% מ-130 = 130 − 39 = 91 - מתאים.

תשובה: המספר המקורי הוא 130.

5. מחיר חולצה הוזל ב-20% במבצע, ולאחר ההנחה היא עולה 96 ש"ח. מה היה מחיר החולצה לפני ההנחה?שאלה בהקשר
  1. נסמן את מחיר החולצה לפני ההנחה ב-x. המחיר קטן ב-20%: x − 0.2x = 96.
  2. מכנסים איברים דומים: 0.8x = 96.
  3. מחלקים ב-0.8: x = 96 ÷ 0.8 = 120.
  4. בדיקה: 120 − 20% מ-120 = 120 − 24 = 96 - מתאים.

תשובה: מחיר החולצה לפני ההנחה היה 120 ש"ח.

6. אוכלוסיית עיר גדלה ב-12% בשנה האחרונה, ועכשיו מונה 33,600 תושבים. כמה תושבים היו בעיר לפני שנה?שאלה בהקשר
  1. נסמן את מספר התושבים לפני שנה ב-x. האוכלוסייה גדלה ב-12%: x + 0.12x = 33600.
  2. מכנסים איברים דומים: 1.12x = 33600.
  3. מחלקים ב-1.12: x = 33600 ÷ 1.12 = 30000.
  4. בדיקה: 30000 + 12% מ-30000 = 30000 + 3600 = 33600 - מתאים.

תשובה: לפני שנה היו בעיר 30,000 תושבים.

7. מספר הצפיות בסרטון גדל ב-25% בשבוע האחרון, ועכשיו יש בו 500 צפיות. כמה צפיות היו בסרטון לפני שבוע?שאלה בהקשר
  1. נסמן את מספר הצפיות לפני שבוע ב-x. מספר הצפיות גדל ב-25%: x + 0.25x = 500.
  2. מכנסים איברים דומים: 1.25x = 500.
  3. מחלקים ב-1.25: x = 500 ÷ 1.25 = 400.
  4. בדיקה: 400 + 25% מ-400 = 400 + 100 = 500 - מתאים.

תשובה: לפני שבוע היו בסרטון 400 צפיות.

8. חנות הורידה את מחיר הנעליים ב-40% במבצע סוף העונה, ועכשיו הן עולות 90 ש"ח. מה היה מחיר הנעליים לפני המבצע?שאלה בהקשר
  1. נסמן את מחיר הנעליים לפני המבצע ב-x. המחיר קטן ב-40%: x − 0.4x = 90.
  2. מכנסים איברים דומים: 0.6x = 90.
  3. מחלקים ב-0.6: x = 90 ÷ 0.6 = 150.
  4. בדיקה: 150 − 40% מ-150 = 150 − 60 = 90 - מתאים.

תשובה: מחיר הנעליים לפני המבצע היה 150 ש"ח.

9. בשני אולמות קולנוע יש יחד 240 צופים. אם 20% מהצופים באולם א' יעברו לאולם ב', מספר הצופים בשני האולמות יהיה שווה. כמה צופים יש כרגע בכל אולם?שאלה בהקשר
  1. נסמן את מספר הצופים באולם א' ב-x. אז מספר הצופים באולם ב' הוא 240 − x (כי יחד יש 240).
  2. אם 20% מאולם א' עוברים לאולם ב': באולם א' נשארים x − 0.2x = 0.8x צופים, ובאולם ב' יהיו (240 − x) + 0.2x צופים.
  3. בונים משוואה לפי הנתון ששני האולמות יהיו שווים: 0.8x = (240 − x) + 0.2x, כלומר 0.8x = 240 − 0.8x.
  4. מעבירים אגפים: 0.8x + 0.8x = 240, כלומר 1.6x = 240, ולכן x = 240 ÷ 1.6 = 150.
  5. מספר הצופים באולם ב' הוא 240 − 150 = 90. בדיקה: 20% מ-150 הם 30; אולם א' יישאר עם 150−30=120, ואולם ב' יהיה עם 90+30=120 - שווים!

תשובה: כרגע יש 150 צופים באולם א' ו-90 צופים באולם ב'.

לזכירה

  • להגדלה ב-p%: כותבים x + (p/100)x = C, ואחרי כינוס איברים דומים מקבלים (1 + p/100)·x = C.
  • להקטנה ב-p%: כותבים x − (p/100)x = C, ואחרי כינוס איברים דומים מקבלים (1 − p/100)·x = C.
  • פותרים את המשוואה כמו כל משוואה ממעלה ראשונה: מחלקים את שני אגפי המשוואה במקדם (המספר העשרוני) כדי לבודד את x.
  • הבדיקה הכי אמינה היא הצבה חזרה במשפט המילולי המקורי, לא רק לבדוק אם x קטן או גדול מ-C.
  • זהירות מהטעות הנפוצה - לחשב "C פחות p אחוז מ-C" במקום לבנות ולפתור את המשוואה כמו שצריך.
  • בבעיות רב-שלביות (כמו כשיש שתי כמויות לא ידועות הקשורות זו לזו) בונים משוואה אחת עם נעלם אחד, לפי הקשר הנתון בין הכמויות, ופותרים אותה באותה שיטה.
הקודםקצב שינוי של פונקציה; שיפוע של ישר; התאמה בין ישר למשוואתוהבאאי שוויונות