עליה וירידה של גרף פונקציה; תיאור גרפי של תופעות ליניאריות
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! בואו נחשוב על גרף כמו על סרט שתמיד רצים אותו משמאל לימין, לפי הכיוון שבו ה-x גדל, גם אם אנחנו קוראים עברית מהצד ההפוך. אם הגיבור של הסרט, ערך ה-y, מטפס למעלה ככל שהזמן מתקדם, הגרף עולה; אם הוא יורד למטה, הגרף יורד; ואם הוא פשוט נשאר באותו מקום, הגרף קבוע, בלי שום דרמה. אין כאן שום נוסחה שצריך לשנן, רק להסתכל בעין ולהשוות בין הגבהים בכל קטע, ואתם כבר יודעים לעשות את זה מצוין!
גרף כסיפור שקוראים משמאל לימין
כל גרף של פונקציה אפשר לקרוא כמו סיפור שמתקדם מהצד השמאלי של הגרף לצד הימני שלו, כלומר לפי הכיוון שבו ערך ה-x גדל. חשוב לזכור: זה נכון תמיד במתמטיקה, גם כשאנחנו כותבים וקוראים בעברית מימין לשמאל. אם ככל שמתקדמים ימינה גם הגובה של הגרף (ערך ה-y) גדל, אומרים שהגרף 'עולה'. אם ההפך קורה, וככל שמתקדמים ימינה הגובה קטן, אומרים שהגרף 'יורד'.
איך 'רואים' גרף בלי תמונה
אפשר לתאר גרף בעזרת רשימת נקודות שהוא עובר דרכן, מחוברות זו לזו בקווים ישרים, לפי סדר ערכי ה-x מהקטן לגדול. כדי לבדוק אם הגרף עולה, יורד או נשאר באותו גובה בין שתי נקודות עוקבות, פשוט משווים בין ערכי ה-y שלהן. זו הדרך שבה נעבוד בכל התרגילים בשיעור הזה.
שלוש האפשרויות: עולה, יורד, קבוע
בין כל שתי נקודות עוקבות על הגרף יש בדיוק שלוש אפשרויות: אם ה-y גדל כש-x גדל, הגרף עולה; אם ה-y קטן כש-x גדל, הגרף יורד; ואם ה-y נשאר אותו דבר, הגרף קבוע (נשאר באותו גובה, בלי לעלות ובלי לרדת). כל גרף אפשר לתאר במילים פשוטות על ידי חלוקה שלו לקטעים כאלה, אחד אחרי השני. המקום שבו הגרף עובר מעלייה לירידה (או להפך) נקרא נקודת מפנה.
משווים בין שני גרפים על אותה מערכת צירים
לפעמים מציירים שני גרפים על אותה מערכת צירים - למשל שני מסלולי הליכה, או מחירים של שתי חברות - כדי להשוות ביניהם. כדי לקרוא השוואה כזו, בודקים בכל x מי מהגרפים נמצא גבוה יותר (כלומר, איזה גודל גדול יותר באותו רגע). הנקודה שבה שני הגרפים נפגשים (חותכים זה את זה) מראה x שבו שני הגדלים שווים בדיוק - לפני הנקודה הזו אחד מהם גדול יותר, ואחריה השני גדול יותר (או שהיחס מתחלף). אפשר גם להשוות בין הגרפים בלי לחשב שום מספר: הגרף שעולה בשיפוע רב יותר (התלול יותר) מייצג קצב שינוי מהיר יותר - למשל, בגרף מרחק-זמן, הקו התלול יותר שייך למי שנע מהר יותר.
תיאור גרפי של תופעות מהחיים
הרבה תופעות מהחיים אפשר לתאר בעזרת גרף: הגובה של כדור פורח, המרחק של מישהו מהבית, הטמפרטורה במשך היום, גובה המים במיכל. כדי לתאר תופעה כזו, מחלקים את הגרף לקטעים ואומרים על כל קטע אם הוא עולה, יורד או קבוע. כל קטע כזה מסביר מה קורה במציאות: למשל 'המרחק עולה' פירושו שמישהו מתרחק, ו'המרחק קבוע' פירושו שהוא נשאר באותו מקום.
דוגמאות פתורות
כדור פורח עולה ויורד באוויר. הגובה שלו (במטרים) נמדד כל דקה, וכך מתקבלות הנקודות הבאות על הגרף, מחוברות בקווים ישרים לפי סדר הזמן: (0,0), (1,20), (2,45), (3,60), (4,50), (5,30), (6,30). תארו איך משתנה הגובה של הכדור מדקה לדקה, ומצאו מתי הכדור הגיע לגובה הכי גבוה שלו.
- משווים את ערך ה-y (הגובה) בכל שתי נקודות עוקבות, כדי לדעת אם הגרף עולה, יורד או קבוע.
- מ-(0,0) ל-(1,20): הגובה עולה מ-0 ל-20. מ-(1,20) ל-(2,45): עולה מ-20 ל-45. מ-(2,45) ל-(3,60): עולה מ-45 ל-60. בקטע [0,3] הכדור עלה כל הזמן.
- מ-(3,60) ל-(4,50): הגובה יורד מ-60 ל-50. מ-(4,50) ל-(5,30): יורד מ-50 ל-30. בקטע [3,5] הכדור ירד כל הזמן.
- מ-(5,30) ל-(6,30): הגובה נשאר 30 מ׳, זהו קטע קבוע — בין הדקה החמישית לשישית הכדור שמר על אותו גובה.
- נקודת המפנה, שבה הכדור עבר מעליה לירידה, היא (3,60). זהו הגובה הכי גבוה שהכדור הגיע אליו.
תשובה: הכדור עלה מדקה 0 עד דקה 3 (מגובה 0 עד 60 מ׳), ירד מדקה 3 עד דקה 5 (מ-60 עד 30 מ׳), ונשאר בגובה קבוע של 30 מ׳ מדקה 5 עד 6. הגובה המרבי, 60 מטר, היה בדקה השלישית.
דנה יצאה מהבית לחנות שנמצאת 800 מטר מהבית. הגרף הבא מתאר את המרחק שלה מהבית (במטרים) לפי הזמן (בדקות), ועובר דרך הנקודות: (0,0), (10,800), (25,800), (35,0). תארו מה קרה לדנה בכל קטע זמן, לפי הגרף.
- קטע ראשון, מ-(0,0) עד (10,800): x גדל מ-0 ל-10, וה-y (המרחק) גדל מ-0 ל-800, כלומר הגרף עולה. פירוש: דנה הלכה מהבית לכיוון החנות, והמרחק שלה מהבית גדל עד שהגיעה אליה אחרי 10 דקות.
- קטע שני, מ-(10,800) עד (25,800): x גדל מ-10 ל-25, אבל ה-y נשאר 800, כלומר הגרף קבוע. פירוש: דנה נשארה בחנות (המרחק מהבית לא השתנה) במשך 15 דקות.
- קטע שלישי, מ-(25,800) עד (35,0): x גדל מ-25 ל-35, וה-y קטן מ-800 ל-0, כלומר הגרף יורד. פירוש: דנה הלכה בחזרה הביתה, והמרחק שלה מהבית קטן עד שהגיעה חזרה אחרי 35 דקות.
תשובה: הגרף עולה בקטע [0,10] (דנה הולכת לחנות), קבוע בקטע [10,25] (דנה נשארת בחנות), ויורד בקטע [25,35] (דנה חוזרת הביתה).
שני מכלי מים מצוירים על אותה מערכת צירים (כמות מים בליטרים, לפי זמן בדקות). מכל א' מלא בהתחלה: הוא עובר דרך הנקודות (0,100) ו-(10,0) (מתרוקן בקצב קבוע). מכל ב' ריק בהתחלה: הוא עובר דרך הנקודות (0,0) ו-(10,100) (מתמלא בקצב קבוע). א. באיזו דקה כמות המים בשני המכלים שווה, ומה הכמות באותו רגע? ב. בין הדקה 0 לדקה 5, באיזה מכל יש יותר מים?
- מכל א' יורד בקו ישר מ-100 (בדקה 0) ל-0 (בדקה 10): בכל דקה הוא מאבד 100/10=10 ליטר. מכל ב' עולה בקו ישר מ-0 (בדקה 0) ל-100 (בדקה 10): בכל דקה הוא מרוויח 10 ליטר.
- שני הגרפים 'נפגשים' בדיוק באמצע הדרך, כי אחד יורד וממלא בדיוק את מה שהשני עולה: בדקה 5, מכל א' הפסיד 5×10=50 ליטר מתוך ה-100 שהיו בו, כלומר יש בו 100-50=50 ליטר. מכל ב' צבר 5×10=50 ליטר, כלומר גם בו יש 50 ליטר.
- בדקה 5 שני המכלים שווים - 50 ליטר בכל אחד. זו נקודת המפגש של שני הגרפים.
- לפני נקודת המפגש (בין דקה 0 לדקה 5), מכל א' התחיל גבוה (100) ורק יורד לכיוון 50, ומכל ב' התחיל נמוך (0) ורק עולה לכיוון 50 - ולכן בכל הטווח הזה מכל א' נמצא מעל מכל ב', כלומר יש בו יותר מים.
תשובה: א. בדקה 5, כשבשני המכלים יש 50 ליטר. ב. בין דקה 0 לדקה 5 יש יותר מים במכל א'.
תרגול
1. הגרף של פונקציה עובר דרך הנקודות הבאות, מחוברות בקווים ישרים לפי הסדר: (0,1), (2,5), (4,5), (6,2). קבעו באילו קטעים הגרף עולה, באילו הוא יורד, ובאילו הוא קבוע.תרגול
- בודקים כל קטע בין שתי נקודות עוקבות, ומשווים את ערכי ה-y שלהן.
- מ-(0,1) ל-(2,5): x גדל מ-0 ל-2, ו-y גדל מ-1 ל-5, לכן הגרף עולה בקטע [0,2].
- מ-(2,5) ל-(4,5): x גדל מ-2 ל-4, אבל y נשאר 5, לכן הגרף קבוע בקטע [2,4].
- מ-(4,5) ל-(6,2): x גדל מ-4 ל-6, ו-y קטן מ-5 ל-2, לכן הגרף יורד בקטע [4,6].
תשובה: עולה ב-[0,2], קבוע ב-[2,4], יורד ב-[4,6].
2. הגרף עובר דרך הנקודות (1,7), (3,3), (5,3), (8,10). קבעו באילו קטעים הגרף עולה, יורד או קבוע.תרגול
- מ-(1,7) ל-(3,3): x גדל, ו-y יורד מ-7 ל-3, לכן הגרף יורד בקטע [1,3].
- מ-(3,3) ל-(5,3): x גדל, אבל y נשאר 3, לכן הגרף קבוע בקטע [3,5].
- מ-(5,3) ל-(8,10): x גדל, ו-y עולה מ-3 ל-10, לכן הגרף עולה בקטע [5,8].
תשובה: יורד ב-[1,3], קבוע ב-[3,5], עולה ב-[5,8].
3. הגרף עובר דרך הנקודות (0,1), (3,10), (7,2). קבעו באיזה קטע הגרף עולה ובאיזה קטע הוא יורד, ומצאו את נקודת המפנה שלו (השיא).תרגול
- מ-(0,1) ל-(3,10): y גדל מ-1 ל-10, לכן הגרף עולה בקטע [0,3].
- מ-(3,10) ל-(7,2): y קטן מ-10 ל-2, לכן הגרף יורד בקטע [3,7].
- הגרף עובר מעליה לירידה בדיוק בנקודה (3,10). מכיוון שהגרף עולה לפניה ויורד אחריה, זוהי נקודת המפנה — השיא, הנקודה הכי גבוהה על הגרף בקטע הזה.
תשובה: עולה ב-[0,3], יורד ב-[3,7]; נקודת המפנה, שהיא גם הנקודה הכי גבוהה על הגרף, היא (3,10).
4. מיכל מים ריק בהתחלה. מוזגים לתוכו מים מברז, אחר כך פותחים גם ברז ניקוז לכמה דקות, ולבסוף סוגרים את שני הברזים. גובה המים (בס״מ) נמדד כל כמה דקות: t=0, גובה 0; t=6, גובה 60; t=9, גובה 30; t=12, גובה 30. תארו מה קרה לגובה המים בכל קטע זמן, ומצאו מתי גובה המים היה הכי גבוה.שאלה בהקשר
- מ-t=0 עד t=6: הגובה עולה מ-0 ל-60 ס״מ, כלומר המים עלו (רק ברז המילוי היה פתוח).
- מ-t=6 עד t=9: הגובה יורד מ-60 ל-30 ס״מ, כלומר המים ירדו (ברז הניקוז ניקז יותר ממה שנכנס).
- מ-t=9 עד t=12: הגובה נשאר 30 ס״מ, כלומר קטע קבוע — שני הברזים סגורים, אין שינוי.
- הגובה הכי גבוה, 60 ס״מ, נמדד בדקה השישית (t=6) — זהו השיא של הגרף, הנקודה הכי גבוהה בו.
תשובה: הגובה עולה מ-t=0 עד t=6, יורד מ-t=6 עד t=9, וקבוע מ-t=9 עד t=12; הגובה המקסימלי הוא 60 ס״מ, בדקה 6.
5. גרף מתאר את המרחק של מכונית מהבית לפי הזמן. הגרף עובר דרך הנקודות (0,0), (1,50), (2,50), (3,0) (מרחק בק״מ, זמן בשעות). איזה מהתיאורים הבאים מתאים לגרף? (א) המכונית נוסעת כל הזמן בלי לעצור. (ב) המכונית מתרחקת מהבית, עוצרת לזמן מה, ואז חוזרת הביתה. (ג) המכונית עומדת במקום כל הזמן. הסבירו את התשובה לפי הקטעים עולה/קבוע/יורד.שאלה בהקשר
- מ-(0,0) ל-(1,50): המרחק עולה מ-0 ל-50 ק״מ תוך שעה אחת, כלומר המכונית מתרחקת מהבית.
- מ-(1,50) ל-(2,50): x גדל מ-1 ל-2, אבל y נשאר 50, לכן הגרף קבוע — מרחק המכונית מהבית לא השתנה, כלומר המכונית עצרה במקום שבו הייתה, 50 ק״מ מהבית.
- מ-(2,50) ל-(3,0): x גדל מ-2 ל-3, וה-y (המרחק) קטן מ-50 ל-0, כלומר הגרף יורד — המכונית חוזרת לכיוון הבית עד שמגיעה אליו אחרי 3 שעות.
- הרצף עולה, קבוע, יורד מתאים בדיוק לתיאור (ב), ולא לתיאורים (א) או (ג), שאין בהם קטע קבוע או קטע עולה וקטע יורד בהתאמה.
תשובה: תיאור (ב): המכונית מתרחקת מהבית, עוצרת לשעה בין השעה הראשונה לשנייה, ואז חוזרת הביתה.
6. מדדו את הטמפרטורה (במעלות צלזיוס) במהלך יום קיץ: בשעה 6:00, 14 מעלות; בשעה 9:00, 18 מעלות; בשעה 12:00, 25 מעלות; בשעה 15:00, 25 מעלות; בשעה 18:00, 20 מעלות; בשעה 21:00, 14 מעלות. תארו באילו שעות הטמפרטורה עלתה, באילו ירדה, ובאילו נשארה קבועה. מהי הטמפרטורה הגבוהה ביותר, ובאיזה טווח שעות היא נמדדה?שאלה בהקשר
- מ-6:00 עד 9:00: 14 עולה ל-18. מ-9:00 עד 12:00: 18 עולה ל-25. כלומר הטמפרטורה עלתה לאורך כל הבוקר, מ-6:00 עד 12:00.
- מ-12:00 עד 15:00: 25 נשאר 25, כלומר קטע קבוע — הטמפרטורה נשארה 25 מעלות בין 12:00 ל-15:00.
- מ-15:00 עד 18:00: 25 יורד ל-20. מ-18:00 עד 21:00: 20 יורד ל-14. כלומר הטמפרטורה ירדה לאורך אחר הצהריים והערב, מ-15:00 עד 21:00.
- הטמפרטורה הגבוהה ביותר היא 25 מעלות, שנמדדה בכל הטווח שבין 12:00 ל-15:00 (הקטע הקבוע העליון של הגרף).
תשובה: עולה בין 6:00-12:00, קבועה (25 מעלות) בין 12:00-15:00, יורדת בין 15:00-21:00; הטמפרטורה המקסימלית היא 25 מעלות.
7. טבלה מציגה את מחיר המשלוח (בש"ח) לפי משקל החבילה (בק"ג) בשתי חברות, על אותה מערכת צירים (כל חברה - קו ישר): חברת 'מהיר': משקל 0 - מחיר 10; משקל 5 - מחיר 35; משקל 10 - מחיר 60. חברת 'זריז': משקל 0 - מחיר 40; משקל 5 - מחיר 50; משקל 10 - מחיר 60. א. באיזה משקל מחירי שתי החברות שווים? ב. עבור אילו משקלים (בין 0 ל-10 ק"ג) חברת 'מהיר' זולה יותר?שאלה בהקשר
- משווים את שתי הטבלאות עמודה מול עמודה: במשקל 0, מהיר=10 וזריז=40 - מהיר זולה. במשקל 5, מהיר=35 וזריז=50 - מהיר עדיין זולה יותר. במשקל 10, מהיר=60 וזריז=60 - שני המחירים שווים!
- נקודת המפגש של שני הגרפים היא במשקל 10 ק"ג, שבה שני קווי המחיר נחתכים.
- בכל שאר הטווח שבדקנו (0 עד 10, לא כולל 10) המחיר של מהיר קטן מהמחיר של זריז, כלומר מהיר זולה יותר.
תשובה: א. במשקל 10 ק"ג, שני המחירים שווים ל-60 ש"ח. ב. מהמשקל 0 ק"ג ועד (לא כולל) 10 ק"ג, חברת 'מהיר' זולה יותר.
לזכירה
- גרף תמיד קוראים משמאל לימין, לפי הכיוון שבו x גדל, גם בעברית (שנקראת מימין לשמאל).
- עולה = ה-y גדל כש-x גדל. יורד = ה-y קטן כש-x גדל. קבוע = ה-y לא משתנה כש-x גדל. המקום שבו הגרף עובר מעלייה לירידה (או להפך) נקרא נקודת מפנה.
- כדי לתאר גרף בלי תמונה, מספיק לדעת את הנקודות שהוא עובר בהן ולבדוק את הכיוון (עולה/יורד/קבוע) בין כל שתי נקודות עוקבות.
- תופעה מהחיים (כמו גובה, מרחק או טמפרטורה) מתוארת לפי הקטעים שבהם היא עולה, יורדת או נשארת קבועה.
- כששני גרפים מצוירים על אותה מערכת צירים, נקודת המפגש שלהם מראה מתי (איזה x) שני הגדלים שווים; לפניה ואחריה אפשר לקבוע מי מהם גדול יותר על ידי בדיקה איזה גרף גבוה יותר.
- גרף שעולה בשיפוע רב יותר (תלול יותר) מייצג קצב שינוי מהיר יותר, גם בלי לחשב מספר - מספיק להשוות חזותית בין התלילות.