לומדי

אי שוויונות

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! תחשבו על אי-שוויון בדיוק כמו על משוואה, עם כלל זהב אחד לזכור: מותר לחבר ולחסר בלי דאגה, אבל ברגע שמכפילים או מחלקים במספר שלילי — כיוון הסימן מתהפך, בדיוק כמו שאני מתהפך על הגב כשאני מתגלגל במורד גבעה. אם אתם לא בטוחים בתשובה, בחרו מספר אחד מתוך הטווח שמצאתם, הציבו אותו באי-השוויון המקורי, ובדקו שהוא מסתדר. ואל תשכחו: התשובה היא כמעט תמיד טווח שלם של מספרים, לא רק אחד!

מהו אי-שוויון?

משוואה אומרת ששני ביטויים שווים זה לזה, כמו x = 5. אי-שוויון, לעומת זאת, אומר שביטוי אחד גדול, קטן, גדול-או-שווה, או קטן-או-שווה לביטוי השני. למשל, אם ברכבת הרים מותר לעלות רק למי שגובהו לפחות 140 ס"מ, אפשר לרשום את זה כך: h ≥ 140. הסימנים שבהם נשתמש הם: < (קטן מ), > (גדול מ), ≤ (קטן או שווה ל-), ≥ (גדול או שווה ל-).

פותרים אי-שוויון – כמו משוואה

כדי לבודד את ה-x באי-שוויון, אפשר לחבר או לחסר את אותו מספר משני האגפים, בדיוק כמו שעושים במשוואה. למשל, באי-השוויון x + 3 < 7 נחסר 3 משני האגפים ונקבל x < 4. הפתרון הוא לא מספר בודד אלא כל המספרים שקטנים מ-4 — למשל 3, 0, -2 וגם 3.9. כל עוד רק מחברים או מחסרים, כיוון הסימן של אי-השוויון (< או >) נשאר בדיוק אותו הדבר.

הכלל החשוב ביותר: כפל וחילוק במספר שלילי

כשל-x יש מקדם, צריך לחלק (או להכפיל) את שני האגפים באותו מספר — וכאן יש כלל שחייבים לזכור. נבדוק: 2 < 5 זו טענה נכונה. אם נכפול את שני האגפים ב-(-1), נקבל -2 מול -5 — אבל -2 גדול מ-(-5), כלומר -2 > -5! לכן, בכל פעם שמכפילים או מחלקים את שני אגפי אי-השוויון במספר שלילי, חובה להפוך את כיוון הסימן (< הופך ל-> וההפך).

הצגת הפתרון על ציר המספרים

פתרון של אי-שוויון הוא בדרך כלל אינסוף מספרים, ולכן נוח לצייר אותו על ציר המספרים. אם הסימן הוא < או > (בלי 'שווה'), מציירים עיגול ריק מעל המספר הגבולי, כי הוא עצמו אינו חלק מהפתרון. אם הסימן הוא ≤ או ≥ (עם 'שווה'), מציירים עיגול מלא, כי המספר הגבולי כן כלול בפתרון. לבסוף מותחים חץ מהעיגול לכיוון כל שאר המספרים שמקיימים את אי-השוויון — ימינה אם x גדול מהמספר, שמאלה אם x קטן ממנו.

דוגמאות פתורות

פתרו את אי-השוויון: 3x + 5 < 20, והציגו את הפתרון על ציר המספרים

  1. נחסר 5 משני האגפים: 3x + 5 - 5 < 20 - 5, כלומר 3x < 15
  2. נחלק את שני האגפים ב-3. זהו מספר חיובי, ולכן כיוון אי-השוויון לא משתנה: x < 5
  3. על ציר המספרים: מסמנים עיגול ריק מעל המספר 5, כי 5 עצמו אינו כלול בפתרון, ומותחים חץ שמאלה (לכיוון המספרים הקטנים יותר)

תשובה: x < 5

פתרו את אי-השוויון: -2x + 4 ≥ 10, והציגו את הפתרון על ציר המספרים

  1. נחסר 4 משני האגפים: -2x + 4 - 4 ≥ 10 - 4, כלומר -2x ≥ 6
  2. נחלק את שני האגפים ב-(-2). מכיוון שזה מספר שלילי, חובה להפוך את כיוון אי-השוויון: x ≤ -3
  3. בדיקה: נציב x = -3 באי-השוויון המקורי: -2·(-3)+4 = 6+4 = 10, וזה אכן ≥ 10 ✓
  4. על ציר המספרים: מסמנים עיגול מלא מעל המספר -3, כי -3 כן כלול בפתרון, ומותחים חץ שמאלה (לכיוון המספרים הקטנים יותר)

תשובה: x ≤ -3

תרגול

1. פתרו את אי-השוויון: x + 6 < 15תרגול
  1. נחסר 6 משני האגפים: x + 6 - 6 < 15 - 6
  2. נקבל: x < 9

תשובה: x < 9

2. פתרו את אי-השוויון: 3x - 4 ≥ 11תרגול
  1. נוסיף 4 לשני האגפים: 3x - 4 + 4 ≥ 11 + 4
  2. נקבל: 3x ≥ 15
  3. נחלק את שני האגפים ב-3 (מספר חיובי, כיוון אי-השוויון לא משתנה): x ≥ 5

תשובה: x ≥ 5

3. פתרו את אי-השוויון: -5x < 20תרגול
  1. נחלק את שני האגפים ב-(-5). זהו מספר שלילי, לכן חובה להפוך את כיוון אי-השוויון
  2. x > 20 ÷ (-5)
  3. x > -4

תשובה: x > -4

4. תלמיד חוסך כסף לקראת קניית אוזניות. יש לו כבר 30 ש"ח בקופה, וכל שבוע הוא מוסיף עוד 15 ש"ח. אחרי כמה שבועות, לכל הפחות, יהיה לו יותר מ-150 ש"ח?שאלה בהקשר
  1. נסמן ב-w את מספר השבועות. הסכום שיצטבר אחרי w שבועות הוא: 30 + 15w
  2. נרשום את אי-השוויון לפי הנתון: 30 + 15w > 150
  3. נחסר 30 משני האגפים: 15w > 120
  4. נחלק ב-15 (מספר חיובי): w > 8
  5. מכיוון ש-w הוא מספר שבועות שלם, המספר השלם הקטן ביותר שגדול מ-8 הוא 9
  6. בדיקה: אחרי 8 שבועות יש לו בדיוק 30+15·8=150 ש"ח (לא יותר מ-150), ואחרי 9 שבועות יש לו 30+15·9=165 ש"ח (יותר מ-150) ✓

תשובה: אחרי 9 שבועות לפחות יהיו לתלמיד יותר מ-150 ש"ח

5. לתלמיד יש 60 ש"ח. הוא רוצה לקנות כרטיס לסרט ב-20 ש"ח, ולהוסיף שקיות פופקורן שכל אחת עולה 8 ש"ח. כמה שקיות פופקורן לכל היותר הוא יכול לקנות?שאלה בהקשר
  1. נסמן ב-n את מספר שקיות הפופקורן. העלות הכוללת: 20 + 8n
  2. אי-השוויון לפי הנתון (אין לו יותר מ-60 ש"ח): 20 + 8n ≤ 60
  3. נחסר 20 משני האגפים: 8n ≤ 40
  4. נחלק ב-8 (מספר חיובי): n ≤ 5

תשובה: לכל היותר 5 שקיות פופקורן

6. מלבן שרוחבו קבוע — 4 ס"מ, ואורכו x ס"מ. ידוע שההיקף של המלבן חייב להיות לפחות 24 ס"מ. מהם הערכים האפשריים של x?שאלה בהקשר
  1. היקף מלבן הוא סכום כל הצלעות: P = 2·(אורך + רוחב) = 2(x + 4)
  2. אי-השוויון לפי הנתון (היקף לפחות 24): 2(x + 4) ≥ 24
  3. נפתח סוגריים: 2x + 8 ≥ 24
  4. נחסר 8 משני האגפים: 2x ≥ 16
  5. נחלק ב-2 (מספר חיובי): x ≥ 8

תשובה: אורך המלבן חייב להיות לפחות 8 ס"מ (x ≥ 8)

לזכירה

  • אי-שוויון משווה בין שני ביטויים בעזרת אחד הסימנים: < (קטן מ), > (גדול מ), ≤ (קטן או שווה), ≥ (גדול או שווה).
  • פותרים אי-שוויון כמעט כמו משוואה: מותר לחבר או לחסר אותו מספר משני האגפים, וכיוון אי-השוויון נשאר זהה.
  • כלל הזהב: כשמכפילים או מחלקים את שני האגפים במספר שלילי — חובה להפוך את כיוון אי-השוויון!
  • פתרון של אי-שוויון הוא בדרך כלל טווח שלם של מספרים, לא מספר יחיד.
  • על ציר המספרים: עיגול מלא = המספר כלול בפתרון (≤ או ≥), עיגול ריק = המספר לא כלול (< או >), והחץ מראה לאיזה כיוון ממשיך הפתרון.
הקודםפתרון משוואות הכוללות הגדלה או הקטנה באחוזיםהבאפתרון מערכת משוואות שהצגתן מפורשת; פתרון מערכת משוואות בשני נעלמים