לומדי

דמיון

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, זה לומדי! אם אתם מתבלבלים עם דמיון, תחשבו על זה ככה: זה בדיוק כמו לצלם תמונה ואז להגדיל או להקטין אותה במדפסת - הצורה נשארת בדיוק אותו דבר, רק הגודל משתנה, וכל חלק בה גדל (או קטן) באותו קצב בדיוק. אז כשמשולש אחד דומה למשולש אחר, כל מה שצריך זה למצוא מספר אחד - יחס הדמיון - ומשם כל שאר הצלעות "מתעדכנות" לפיו. במלבנים זה אפילו קל יותר, כי הזוויות שם כבר מובטחות 90 מעלות מראש, אז מספיק לבדוק שהיחס בין הצלעות זהה בשני המלבנים. קחו נשימה, תסתכלו על זוג צלעות מתאימות אחד שאתם כן מכירים, ומשם הכול זורם בקלות.

מה זה בכלל דמיון בין צורות?

תארו לעצמכם תמונה שמגדילים במדפסת, או דגם קטן של מכונית שנראה בדיוק כמו המכונית האמיתית, רק בגודל אחר. בשני המקרים הצורה נשארת אותו דבר - רק הגודל משתנה, וכל הממדים גדלים (או קטנים) באותו יחס בדיוק. בגאומטריה קוראים לתופעה הזו "דמיון": שתי צורות דומות אם אחת היא הגדלה או הקטנה מדויקת של השנייה. המספר שמראה כמה הגדילו או הקטינו נקרא "יחס הדמיון", ומסמנים אותו באות k.

דמיון משולשים - שני תנאים ביחד

שני משולשים נקראים דומים אם מתקיימים יחד שני דברים: כל שלוש הזוויות המתאימות שוות זו לזו, וכל שלוש הצלעות המתאימות נמצאות באותו יחס (אותו k) זו לזו. את הדמיון מסמנים כך: משולש ABC ~ משולש DEF, וסדר האותיות חשוב - הוא אומר לנו ש-A מתאים ל-D, B מתאים ל-E, ו-C מתאים ל-F.

איך קובעים שמשולשים דומים: מספיק שתי זוויות שוות

כדי להוכיח ששני משולשים דומים, לא צריך לבדוק את כל שלוש הזוויות: מספיק להראות ששתי זוויות במשולש אחד שוות (בהתאמה) לשתי זוויות במשולש השני - ואז המשולשים דומים בוודאות. הסיבה: אם שתי זוויות שוות, גם הזווית השלישית שווה בעל כורחה, כי סכום הזוויות בכל משולש הוא 180°. זה שימושי מאוד: למשל, אם קו מקביל לאחת הצלעות של משולש חותך את שתי הצלעות האחרות, נוצר משולש קטן יותר שיש לו את אותן שתי זוויות כמו המשולש הגדול (זוויות מתאימות בין מקבילים) - ולכן שני המשולשים דומים, בלי שצריך למדוד אף צלע.

מוצאים צלע חסרה בעזרת יחס הדמיון

כשנתון לנו שמשולש אחד דומה לשני, ואנחנו מכירים זוג אחד של צלעות מתאימות (אחת מכל משולש), אפשר לחשב את יחס הדמיון: k = הצלע במשולש השני חלקי הצלע המתאימה לה במשולש הראשון. אחר כך, כדי למצוא כל צלע חסרה במשולש השני, פשוט מכפילים את הצלע המתאימה לה במשולש הראשון ב-k. גם ההיקף (סכום כל הצלעות) של המשולש השני מתקבל מהיקף המשולש הראשון כפול אותו k - זה טריק נחמד לבדיקה עצמית שהתשובה הגיונית.

דמיון מלבנים - כל הזוויות כבר בסדר

במלבן כל ארבע הזוויות הן תמיד 90 מעלות, ולכן בין שני מלבנים תנאי הזוויות מתקיים תמיד מעצמו. זה אומר שכדי לדעת אם שני מלבנים דומים, מספיק לבדוק דבר אחד: האם היחס בין האורך לרוחב שווה בשני המלבנים. למשל, מלבן שאורכו 6 ורוחבו 4 (יחס 6:4, כלומר 3:2) דומה למלבן שאורכו 9 ורוחבו 6 (יחס 9:6, גם הוא 3:2) - אבל הוא לא דומה למלבן שאורכו 9 ורוחבו 5, כי היחס שם שונה (9:5).

יחס השטחים בין צורות דומות

כשמגדילים צורה ביחס דמיון k, כל הצלעות שלה גדלות פי k - אבל השטח גדל הרבה יותר: היחס בין השטחים של שתי צורות דומות (משולשים או מלבנים) הוא k², כלומר ריבוע יחס הדמיון. אפשר להבין את זה במלבן בקלות: אם האורך והרוחב שניהם גדלים פי k, השטח (אורך כפול רוחב) גדל פי k×k=k². לדוגמה, אם יחס הדמיון בין שני משולשים הוא k=3, שטח המשולש הגדול יהיה גדול פי 3²=9 משטח המשולש הקטן - לא פי 3.

דוגמאות פתורות

משולש ABC דומה למשולש DEF (ABC ~ DEF), כאשר AB מתאים ל-DE, BC מתאים ל-EF, ו-AC מתאים ל-DF. נתון: AB=4 ס"מ, BC=6 ס"מ, AC=8 ס"מ, ו-DE=6 ס"מ. מצאו את יחס הדמיון, את אורכי EF ו-DF, ואת היקף משולש DEF.

ABCDEF
משולש ABC (AB=4, BC=6, AC=8) ומשולש הדומה לו DEF (DE=6, EF=9, DF=12), ביחס דמיון k=1.5
  1. שלב 1 - מציאת יחס הדמיון: מכיוון ש-AB מתאים ל-DE, נחשב k = DE/AB = 6/4 = 1.5.
  2. שלב 2 - מציאת EF: EF מתאים ל-BC, לכן EF = BC × k = 6 × 1.5 = 9 ס"מ.
  3. שלב 3 - מציאת DF: DF מתאים ל-AC, לכן DF = AC × k = 8 × 1.5 = 12 ס"מ.
  4. שלב 4 - בדיקה עם ההיקף: היקף ABC = 4+6+8 = 18 ס"מ. לכן היקף DEF צריך להיות 18 × 1.5 = 27 ס"מ. אכן, 6+9+12 = 27 - התשובה מתאימה.

תשובה: יחס הדמיון k=1.5 (כלומר 3:2); EF=9 ס"מ; DF=12 ס"מ; היקף DEF=27 ס"מ.

מלבן A: אורך 6 ס"מ, רוחב 4 ס"מ. מלבן B: אורך 9 ס"מ, רוחב 6 ס"מ. (א) האם מלבן A דומה למלבן B? (ב) רוצים לצייר מלבן C הדומה למלבן A, שאורכו 15 ס"מ. מה יהיה רוחבו?

a1a2a3a4b1b2b3b4
מלבן A (6×4 ס"מ) ומלבן B (9×6 ס"מ) - שני המלבנים ביחס אורך:רוחב זהה, 3:2
  1. שלב 1 - חישוב היחס אורך:רוחב במלבן A: 6/4 = 1.5 (כלומר 3:2).
  2. שלב 2 - חישוב היחס אורך:רוחב במלבן B: 9/6 = 1.5 (כלומר 3:2).
  3. שלב 3 - השוואה: שני היחסים שווים (1.5=1.5), ולכן מלבן A דומה למלבן B.
  4. שלב 4 - מלבן C: כדי ש-C יהיה דומה ל-A, גם בו חייב להתקיים אורך:רוחב = 3:2. האורך נתון: 15 ס"מ.
  5. שלב 5 - מציאת הרוחב: רוחב = אורך × (2/3) = 15 × 2/3 = 10 ס"מ. בדיקה: 15:10 = 3:2, בדיוק כמו במלבן A.

תשובה: (א) כן, מלבן A דומה למלבן B (שניהם ביחס 3:2, כאשר יחס הדמיון B:A הוא 1.5). (ב) רוחב מלבן C הוא 10 ס"מ.

במשולש ABC מעבירים קו DE כך ש-D נמצאת על הצלע AB ו-E נמצאת על הצלע AC, ו-DE מקביל לצלע BC. נתון AD=3 ס"מ ו-AB=9 ס"מ. א. הוכיחו שמשולש ADE דומה למשולש ABC. ב. מהו יחס הדמיון? ג. אם שטח משולש ADE הוא 6 סמ"ר, מהו שטח משולש ABC?

ABCDE
משולש ABC; D על AB (AD=3, AB=9), E על AC, DE מקביל ל-BC. משולש ADE (מודגש) דומה למשולש ABC ביחס 1:3
  1. שלב 1: משולש ADE ומשולש ABC חולקים את אותה זווית A בדיוק (זווית משותפת) - זו זווית שווה ראשונה.
  2. שלב 2: מכיוון ש-DE מקביל ל-BC, ו-AB הוא קו חותך אותם, זווית ADE וזווית ABC הן זוויות מתאימות בין מקבילים - ולכן שוות. זו זווית שווה שנייה.
  3. שלב 3: שתי זוויות שוות בהתאמה מספיקות כדי לקבוע שהמשולשים דומים - משולש ADE דומה למשולש ABC (ADE~ABC), לפי ההתאמה A↔A, D↔B, E↔C.
  4. שלב 4: יחס הדמיון (ABC ביחס ל-ADE) הוא k = AB/AD = 9/3 = 3.
  5. שלב 5: יחס השטחים הוא k²=3²=9, כלומר שטח ABC = 9 × שטח ADE = 9×6 = 54 סמ"ר.

תשובה: א. משולש ADE דומה למשולש ABC (זווית משותפת + זווית מתאימה שווה בין מקבילים). ב. יחס הדמיון הוא 3. ג. שטח משולש ABC הוא 54 סמ"ר.

תרגול

1. משולש PQR דומה למשולש STU (PQR ~ STU), כאשר יחס הדמיון בין STU ל-PQR הוא 2 (כלומר STU גדול פי 2). ידוע כי PQ=4 ס"מ, QR=5 ס"מ, PR=7 ס"מ. מצאו את אורכי הצלעות ST, TU, SU, ואת היקף משולש STU.תרגול
  1. לפי סדר האותיות: PQ מתאים ל-ST, QR מתאים ל-TU, PR מתאים ל-SU.
  2. יחס הדמיון נתון: k=2, כלומר כל צלע במשולש STU שווה לצלע המתאימה לה ב-PQR כפול 2.
  3. ST = PQ × k = 4 × 2 = 8 ס"מ.
  4. TU = QR × k = 5 × 2 = 10 ס"מ.
  5. SU = PR × k = 7 × 2 = 14 ס"מ.
  6. היקף PQR = 4+5+7 = 16 ס"מ, ולכן היקף STU = 16 × 2 = 32 ס"מ (אפשר גם לחבר ישירות: 8+10+14=32, זו בדיקה שהכול תקין).

תשובה: ST=8 ס"מ, TU=10 ס"מ, SU=14 ס"מ, היקף STU=32 ס"מ.

2. משולש ABC דומה למשולש DEF (ABC ~ DEF). נתון AB=5 ס"מ, BC=6 ס"מ, AC=9 ס"מ (היקף ABC הוא 20 ס"מ), וכן DE=15 ס"מ. מצאו את יחס הדמיון, את EF ואת DF, ואת היקף DEF.תרגול
  1. AB מתאים ל-DE, לכן יחס הדמיון k = DE/AB = 15/5 = 3.
  2. EF מתאים ל-BC, לכן EF = BC × k = 6 × 3 = 18 ס"מ.
  3. DF מתאים ל-AC, לכן DF = AC × k = 9 × 3 = 27 ס"מ.
  4. היקף DEF = היקף ABC × k = 20 × 3 = 60 ס"מ (בדיקה: 15+18+27=60 ✓).

תשובה: יחס הדמיון k=3; EF=18 ס"מ, DF=27 ס"מ, היקף DEF=60 ס"מ.

3. דגם (מודל) של מפרש בצורת משולש נבנה כך שהוא דומה למפרש האמיתי. באורכי צלעות הדגם: 3 ס"מ, 4 ס"מ ו-5 ס"מ. ידוע שהצלע במפרש האמיתי המתאימה לצלע ה-5 ס"מ בדגם אורכה 250 ס"מ. מהם אורכי שתי הצלעות האחרות במפרש האמיתי, ומהו יחס הדמיון בין המפרש האמיתי לדגם?שאלה בהקשר
  1. מוצאים את יחס הדמיון מזוג הצלעות הידוע: k = 250/5 = 50.
  2. הצלע האמיתית המתאימה ל-3 ס"מ בדגם: 3 × 50 = 150 ס"מ.
  3. הצלע האמיתית המתאימה ל-4 ס"מ בדגם: 4 × 50 = 200 ס"מ.

תשובה: יחס הדמיון k=50; שתי הצלעות האחרות במפרש האמיתי הן 150 ס"מ ו-200 ס"מ.

4. בשעה מסוימת, המשולש שנוצר בין ילד בגובה 1.5 מטר לבין קצה צילו דומה למשולש שנוצר בין עמוד תאורה לקצה צילו (נתון שהמשולשים דומים). צילו של הילד אורכו 2 מטר, וצילו של העמוד אורכו 8 מטר. מה גובה עמוד התאורה?שאלה בהקשר
  1. הצל של הילד מתאים לצל של העמוד, לכן יחס הדמיון (עמוד:ילד) הוא k = 8/2 = 4.
  2. גובה הילד מתאים לגובה העמוד, לכן גובה העמוד = גובה הילד × k = 1.5 × 4 = 6 מטר.

תשובה: גובה עמוד התאורה הוא 6 מטר.

5. מלבן A: אורך 8 ס"מ, רוחב 5 ס"מ. מלבן B: אורך 24 ס"מ, רוחב 15 ס"מ. בדקו האם המלבנים דומים, ואם כן - מהו יחס הדמיון?תרגול
  1. מחשבים את היחס אורך:רוחב במלבן A: 8/5 = 1.6.
  2. מחשבים את היחס אורך:רוחב במלבן B: 24/15 = 1.6.
  3. שני היחסים שווים, ולכן המלבנים דומים.
  4. יחס הדמיון בין הצלעות המתאימות: 24/8 = 3 (ואפשר גם לבדוק 15/5 = 3 - מתאים).

תשובה: כן, המלבנים דומים; יחס הדמיון k=3.

6. מלבן A: אורך 12 ס"מ, רוחב 8 ס"מ. מלבן B דומה למלבן A, ורוחבו 6 ס"מ. מהו אורך מלבן B?תרגול
  1. היחס אורך:רוחב במלבן A הוא 12:8, כלומר 3:2.
  2. כדי שמלבן B יהיה דומה, גם בו חייב להתקיים אורך:רוחב = 3:2.
  3. אם הרוחב הוא 6, אז האורך = 6 × (3/2) = 9 ס"מ.
  4. בדיקה: 9:6 = 3:2, בדיוק כמו במלבן A.

תשובה: אורך מלבן B הוא 9 ס"מ.

7. תמונה מלבנית שגודלה 10 ס"מ על 15 ס"מ מוגדלת לפוסטר. רוצים שהפוסטר יהיה דומה לתמונה המקורית (בלי לעוות אותה). אם הצלע בפוסטר המתאימה לצלע ה-15 ס"מ אורכה 45 ס"מ, מה צריך להיות אורך הצלע השנייה של הפוסטר (המתאימה ל-10 ס"מ)?שאלה בהקשר
  1. מוצאים את יחס ההגדלה מהצלע הידועה: k = 45/15 = 3.
  2. כדי שהפוסטר יהיה דומה לתמונה, כל צלע צריכה לגדול פי 3.
  3. הצלע השנייה: 10 × 3 = 30 ס"מ.

תשובה: הצלע השנייה של הפוסטר צריכה להיות 30 ס"מ.

8. במשולש PQR זווית P=50° וזווית Q=70°. במשולש STU זווית S=50° וזווית T=70°. האם משולש PQR דומה למשולש STU? נמקו.תרגול
  1. בשני המשולשים יש שתי זוויות שוות בהתאמה: זווית P=זווית S=50°, וזווית Q=זווית T=70°.
  2. שתי זוויות שוות בהתאמה מספיקות כדי לקבוע שהמשולשים דומים (הזווית השלישית שווה בשניהם ממילא: 180-50-70=60°).
  3. לכן המשולש PQR דומה למשולש STU, לפי ההתאמה P↔S, Q↔T, R↔U.

תשובה: כן, דומים - לפי שתי זוויות שוות בהתאמה (P=S, Q=T).

9. יחס הדמיון בין שני משולשים דומים הוא k=4 (המשולש הגדול פי 4 מהקטן, בכל צלע). שטח המשולש הקטן הוא 7 סמ"ר. מהו שטח המשולש הגדול?תרגול
  1. יחס השטחים בין צורות דומות הוא ריבוע יחס הדמיון: k²=4²=16.
  2. שטח המשולש הגדול = 16 × שטח המשולש הקטן = 16×7 = 112.

תשובה: שטח המשולש הגדול הוא 112 סמ"ר.

לזכירה

  • דמיון = אותה צורה בדיוק, בגודל שונה: כל הצלעות מוכפלות באותו מספר, שנקרא יחס הדמיון (k).
  • בשני משולשים דומים (ABC~DEF): הזוויות המתאימות שוות, והצלעות המתאימות באותו יחס; סדר האותיות מראה מי מתאים למי.
  • כדי לקבוע ששני משולשים דומים, מספיק להראות ששתי זוויות במשולש אחד שוות (בהתאמה) לשתי זוויות במשולש השני - הזווית השלישית שווה ממילא, כי סכום הזוויות במשולש הוא 180°.
  • כדי למצוא צלע חסרה: מוצאים k מתוך זוג צלעות מתאימות ידוע (k=צלע שנייה/צלע ראשונה), ואז מכפילים; גם ההיקף מוכפל באותו k.
  • במלבנים הזוויות תמיד 90 מעלות, אז מספיק לבדוק שהיחס בין האורך לרוחב שווה בשני המלבנים כדי לדעת שהם דומים.
  • יחס השטחים בין שתי צורות דומות (משולשים או מלבנים) הוא k² - ריבוע יחס הדמיון, לא יחס הדמיון עצמו.
  • טעות נפוצה: לא מספיק שצלע אחת גדלה/קטנה בסדר - חייבים שכל הצלעות (או שהיחס אורך:רוחב במלבן) יהיו לפי אותו יחס בדיוק.
הקודםהמעבר לחשיבה היסקיתהבאיחס, פרופורציה וקנה מידה