לומדי

המעבר לחשיבה היסקית

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, כאן לומדי! תחשבו על היסק כמו על פתרון תעלומה בבלשות: יש לנו כמה רמזים בטוחים (הנתונים), ואנחנו מחברים אותם צעד אחרי צעד, כשכל צעד מוסבר, עד שמגיעים למסקנה שאין עליה עוררין - בלי לנחש אף פעם. חפיפת משולשים היא בדיוק אותו רעיון: במקום לבדוק את כל שש הצלעות והזוויות של שני משולשים, מספיק למצוא שלושה "רמזים" מהסוג הנכון (כמו בצ.צ.צ, צ.ז.צ או ז.צ.ז) כדי לדעת בוודאות שהם זהים לגמרי - ואז מקבלים בחינם את כל שאר השוויונות. אני יודע שזה נשמע הרבה בהתחלה, אבל אחרי כמה תרגילים זה נהיה כמו לזהות תבנית מוכרת - ואני כאן אם תיתקעו.

השתלשלות היסקית: מה זה בכלל "להסיק"?

כשפותרים בעיה במתמטיקה אי אפשר לנחש - צריך לבנות שרשרת של טענות, כשכל טענה נובעת בהיגיון ברור מהטענה שקדמה לה. התהליך הזה נקרא היסק: מעובדות שכבר ידועות לנו בוודאות, אנחנו מגיעים למסקנה חדשה שגם היא בטוחה במאה אחוז. לדוגמה: "כל התלמידים בכיתה ח'1 קיבלו מחברת חדשה. דנה לומדת בכיתה ח'1. לכן דנה קיבלה מחברת חדשה" - זו שרשרת היסקית פשוטה: משתי עובדות נכונות הגענו למסקנה נכונה בוודאות, בלי לנחש.

איך היסק נראה בתוך הוכחה גאומטרית

כל הוכחה בגאומטריה בנויה באותו עיקרון: יש "נתון" - העובדות שמקבלים מראש, ו"צריך להוכיח" - הטענה שרוצים להראות שהיא נכונה. בין השניים כותבים שורה אחר שורה של טענות, וליד כל טענה חייב להופיע נימוק: הגדרה, נתון, או משפט שכבר הוכח בעבר. לדוגמה, אם נתון ש-AB = CD וגם CD = EF, מותר להסיק ש-AB = EF, מפני ששני גדלים השווים לגודל שלישי - שווים גם הם זה לזה. אם חוליה אחת בשרשרת ההוכחה לא מנומקת, כל ההוכחה לא תקפה - בדיוק כמו שרשרת אמיתית שנשברת אם חוליה אחת חסרה.

מהי חפיפת משולשים?

שני משולשים נקראים חופפים אם אפשר להניח אחד בדיוק על השני כך שהם מתלכדים לגמרי - כלומר שלוש הצלעות המתאימות שוות בזוגות, ושלוש הזוויות המתאימות שוות בזוגות. באופן עקרוני, כדי לוודא זאת צריך לבדוק שישה גדלים (3 צלעות + 3 זוויות), אבל זו עבודה מיותרת. מתברר שמספיק לבדוק שלושה גדלים מתאימים בלבד, מסוג מסוים, כדי להיות בטוחים שכל השאר שווים גם הם - וזה מה שאומרים שלושת משפטי החפיפה.

שלושת משפטי החפיפה

משפט צ.צ.צ (צלע-צלע-צלע): אם שלוש הצלעות של משולש אחד שוות בהתאמה לשלוש הצלעות של משולש שני - המשולשים חופפים. משפט צ.ז.צ (צלע-זווית-צלע): אם שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן (הזווית שנמצאת בדיוק ביניהן, לא כל זווית) שוות בשני המשולשים - הם חופפים. משפט ז.צ.ז (זווית-צלע-זווית): אם שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן שוות בשני המשולשים - הם חופפים. בכל אחד מהמשפטים חשוב מאוד לוודא מיקום: הזווית ב-צ.ז.צ חייבת להיות בדיוק בין שתי הצלעות הנתונות, והצלע ב-ז.צ.ז חייבת להיות בדיוק בין שתי הזוויות הנתונות.

שימושים בחפיפת משולשים

אחרי שהוכחנו ששני משולשים חופפים לפי אחד משלושת המשפטים, מותר להסיק דבר חשוב: כל שאר הצלעות והזוויות המתאימות - אלה שלא היו חלק מהנתון - שוות גם הן. זה הכלי המרכזי שמשתמשים בו כדי להוכיח טענות חדשות בגאומטריה: מוצאים שני משולשים בתוך הציור, מוכיחים שהם חופפים, ומסיקים מכך שוויון של קטעים או זוויות שלא ידענו קודם. זה בדיוק העיקרון שנשתמש בו שוב ושוב בהמשך הלימודים בגאומטריה.

שימוש חשוב: במשולש שווה-שוקיים, תיכון, חוצה זווית וגובה מתלכדים

הנה תוצאה חשובה שנובעת ישירות מחפיפת משולשים: במשולש שווה-שוקיים, הקטע שיוצא מקדקוד הראש (הקדקוד שבין שתי השוקיים השוות) אל אמצע הבסיס - משמש בו-זמנית כתיכון לבסיס, כחוצה זווית הראש, וכגובה לבסיס. שלושת התפקידים האלה, שבמשולש כללי הם בדרך כלל שלושה קטעים שונים לגמרי, מתלכדים כאן לקטע אחד ויחיד. אפשר להוכיח את זה בעזרת חפיפת שני המשולשים שנוצרים משני צדי הקטע - בדיוק באותו אופן שמוכיחים ששתי זוויות הבסיס שוות (ראו הדוגמה הפתורה הבאה).

דוגמאות פתורות

במשולש ABC נתון: AB = 3 ס"מ, AC = 4 ס"מ, וזווית A (הזווית הכלואה בין AB ל-AC) שווה ל-90°. במשולש DEF נתון: DE = 3 ס"מ, DF = 4 ס"מ, זווית D (הכלואה בין DE ל-DF) שווה ל-90°, ו-EF = 5 ס"מ. הוכיחו שהמשולשים חופפים, ומצאו את אורך הצלע BC.

ABC
משולש ABC: AB=3 ס"מ, AC=4 ס"מ, זווית A=90°; מהחפיפה למשולש DEF (צ.ז.צ) נובע BC=EF=5 ס"מ
  1. נתון: AB = DE = 3 ס"מ, AC = DF = 4 ס"מ, וזווית A = זווית D = 90°. שימו לב שבשני המשולשים הזווית הנתונה היא בדיוק הזווית הכלואה בין שתי הצלעות הנתונות.
  2. כאשר בשני משולשים שתי צלעות שוות בהתאמה והזווית הכלואה ביניהן שווה - חל משפט צ.ז.צ (צלע-זווית-צלע), ולכן המשולשים חופפים.
  3. לפי הנתונים, ההתאמה בין הקודקודים היא A↔D, B↔E, C↔F (כי AB↔DE, AC↔DF וזווית A↔זווית D).
  4. מכיוון שהמשולשים חופפים, כל שאר הצלעות והזוויות המתאימות שוות בהכרח - ובפרט הצלע BC (שלא הייתה חלק מהנתון) שווה לצלע המתאימה לה, EF.
  5. נתון ש-EF = 5 ס"מ, ולכן BC = 5 ס"מ.

תשובה: המשולשים חופפים לפי משפט צ.ז.צ, ואורך הצלע BC הוא 5 ס"מ.

במשולש שווה שוקיים ABC נתון AB = AC. מהקודקוד A מעבירים קטע אל הצלע BC, הפוגע בה בנקודה D כך ש-D הוא אמצע הצלע BC (כלומר BD = DC). הוכיחו: א. זווית B שווה לזווית C (זוויות הבסיס שוות). ב. AD חוצה את זווית A. ג. AD מאונך ל-BC (כלומר AD הוא גם הגובה לבסיס).

ABCD
משולש שווה-שוקיים ABC (AB=AC); D אמצע הבסיס BC. הקטע AD הוא גם התיכון, גם חוצה הזווית וגם הגובה
  1. נתון: AB = AC (המשולש שווה שוקיים), וגם BD = DC (D הוא אמצע BC).
  2. הקטע AD משותף לשני המשולשים ABD ו-ACD - כלומר AD = AD (כל קטע שווה לעצמו).
  3. נשווה בין משולש ABD למשולש ACD: AB = AC (נתון), BD = DC (נתון), AD = AD (משותף) - שלוש צלעות שוות בהתאמה.
  4. לפי משפט צ.צ.צ (צלע-צלע-צלע), משולש ABD חופף למשולש ACD, לפי ההתאמה A↔A, B↔C, D↔D.
  5. מחפיפת המשולשים נובע ששאר הזוויות המתאימות שוות - ובפרט הזווית ב-B (בתוך משולש ABD) שווה לזווית ב-C (בתוך משולש ACD). זה מוכיח את סעיף א.
  6. מהחפיפה נובע גם ש: זווית BAD = זווית CAD (הזוויות ב-A בשני המשולשים החופפים) - כלומר AD מחלק את זווית A לשתי זוויות שוות, ולכן AD חוצה את זווית A. זה מוכיח את סעיף ב.
  7. מהחפיפה נובע גם ש: זווית ADB = זווית ADC (הזוויות ב-D בשני המשולשים). מכיוון ש-B, D, C נמצאות על אותו ישר, שתי הזוויות האלה סמוכות ומשלימות ל-180°. מכיוון שהן גם שוות זו לזו, כל אחת מהן היא בדיוק 90° - כלומר AD מאונך ל-BC. זה מוכיח את סעיף ג.

תשובה: א. זווית B = זווית C. ב. AD חוצה את זווית A. ג. AD מאונך ל-BC, ולכן הוא גם הגובה לבסיס. מסקנה: במשולש שווה-שוקיים, הקטע היוצא מקדקוד הראש לאמצע הבסיס הוא בו-זמנית התיכון לבסיס, חוצה זווית הראש, והגובה לבסיס - שלושתם אותו קטע ממש.

תרגול

1. במשולש ABC נתון: AB = 4 ס"מ, BC = 6 ס"מ, CA = 8 ס"מ. במשולש MNP נתון: MN = 8 ס"מ, NP = 4 ס"מ, PM = 6 ס"מ. האם המשולשים חופפים? אם כן - לפי איזה משפט, ומהי ההתאמה הנכונה בין הקודקודים?תרגול
  1. נבדוק אילו צלעות שוות: AB=4 ו-NP=4, BC=6 ו-PM=6, CA=8 ו-MN=8. שלוש הצלעות של המשולש הראשון שוות (כאוסף מספרים) לשלוש הצלעות של המשולש השני.
  2. כדי למצוא את ההתאמה הנכונה, נשים לב שהקודקוד B משותף לצלעות AB ו-BC; הקודקוד המשותף לצלעות המתאימות NP ו-PM הוא P. לכן B↔P.
  3. הקודקוד השני בצלע AB הוא A, והקודקוד השני בצלע NP הוא N - לכן A↔N. באופן דומה, הקודקוד השני בצלע BC הוא C, והקודקוד השני בצלע PM הוא M - לכן C↔M.
  4. נבדוק את הצלע השלישית: לפי ההתאמה, CA אמורה להתאים ל-MN. ואכן CA=8 ו-MN=8 - ההתאמה מתאשרת.
  5. שלוש הצלעות שוות בהתאמה (A↔N, B↔P, C↔M) - לכן חל משפט צ.צ.צ, והמשולשים חופפים.

תשובה: כן, המשולשים חופפים לפי משפט צ.צ.צ, לפי ההתאמה A↔N, B↔P, C↔M.

2. במשולש ABC נתון: AB = 6 ס"מ, AC = 10 ס"מ, וזווית A (הכלואה בין AB ל-AC) = 70°. במשולש DEF נתון: DE = 10 ס"מ, DF = 6 ס"מ, וזווית D (הכלואה בין DE ל-DF) = 70°. האם המשולשים חופפים? נמקו ומצאו את ההתאמה בין הקודקודים.תרגול
  1. בשני המשולשים יש זווית כלואה שווה (70°), הנתונה בין שתי צלעות באורך 6 ו-10 בשני המקרים - רק בסדר שונה סביב הזווית.
  2. לכן חל משפט צ.ז.צ (צלע-זווית-צלע), והמשולשים חופפים.
  3. כדי למצוא את ההתאמה: הזווית A שווה לזווית D (שתיהן 70°, כלואות בין אותם אורכי צלעות) - לכן A↔D.
  4. הצלע AB (אורך 6) חייבת להתאים לצלע באורך 6 היוצאת מ-D, שהיא DF - לכן B↔F. הצלע AC (אורך 10) מתאימה ל-DE - לכן C↔E.

תשובה: כן, המשולשים חופפים לפי משפט צ.ז.צ, לפי ההתאמה A↔D, B↔F, C↔E.

3. במשולש ABC נתון: זווית B = 55°, BC = 8 ס"מ, זווית C = 65°. במשולש PQR נתון: זווית Q = 65°, QR = 8 ס"מ, זווית R = 55°. האם המשולשים חופפים? נמקו ומצאו את ההתאמה בין הקודקודים.תרגול
  1. הצלע BC (אורך 8) כלואה בין זווית B (55°) לזווית C (65°). הצלע QR (אורך 8) כלואה בין זווית Q (65°) לזווית R (55°) - אותם שני מספרים, רק בסדר הפוך סביב הצלע.
  2. לכן חל משפט ז.צ.ז (זווית-צלע-זווית), והמשולשים חופפים.
  3. למציאת ההתאמה: הקודקוד B (55°) בקצה הצלע מתאים לקודקוד R (55°) בקצה הצלע המתאימה - לכן B↔R. הקודקוד C (65°) מתאים לקודקוד Q (65°) - לכן C↔Q.
  4. הקודקוד השלישי בכל משולש (A ו-P, שלא הוזכרו במפורש) מתאימים ממילא: A↔P.

תשובה: כן, המשולשים חופפים לפי משפט ז.צ.ז, לפי ההתאמה B↔R, C↔Q, A↔P.

4. שני משולשים הוכחו כחופפים לפי משפט צ.ז.צ. הצלע השלישית (זו שלא הייתה חלק מהנתון בהוכחת החפיפה) במשולש הראשון שווה ל-9.4 ס"מ. מה אפשר לומר על אורך הצלע המתאימה במשולש השני? נמקו.תרגול
  1. מכיוון שהוכח שהמשולשים חופפים, ידוע שכל שלוש הצלעות המתאימות שוות בזוגות - לא רק אלה שהיו חלק מהנתון.
  2. לכן גם הצלע השלישית (זו שלא נבדקה ישירות בהוכחה) שווה לצלע המתאימה לה במשולש השני.
  3. מכיוון שבמשולש הראשון הצלע הזו שווה 9.4 ס"מ, גם במשולש השני היא שווה 9.4 ס"מ.

תשובה: הצלע המתאימה במשולש השני שווה גם היא 9.4 ס"מ.

5. מפעל מייצר תליות מתכת משולשות לתמיכה במדפים. תלייה תקנית נמדדה, וניתן: הצלעות שלה הן 12 ס"מ, 9 ס"מ ו-15 ס"מ. תלייה חדשה שיצאה מהמכונה נמדדה, וניתן: הצלעות שלה, לפי סדר המדידה, הן 9, 15 ו-12 ס"מ. האם אפשר להיות בטוחים שהתלייה החדשה חופפת לתלייה התקנית? נמקו לפי משפט חפיפה מתאים.שאלה בהקשר
  1. בשני המשולשים שלוש הצלעות הן בדיוק אותם שלושה אורכים: 9, 12 ו-15 ס"מ - רק שסודרו בסדר שונה בכתיבה.
  2. משפט צ.צ.צ אומר שאם שלוש הצלעות של משולש אחד שוות בהתאמה לשלוש הצלעות של משולש שני, המשולשים חופפים - וכשמדובר באותם שלושה אורכים בדיוק, תמיד אפשר למצוא התאמה כזאת בין הקודקודים.
  3. לכן אפשר למצוא התאמה בין הקודקודים של שני המשולשים כך שהצלעות המתאימות שוות (12 מול 12, 9 מול 9, 15 מול 15), וכך משפט צ.צ.צ מתקיים.
  4. המסקנה: כן, אפשר להיות בטוחים שהתלייה החדשה חופפת לתלייה התקנית, לפי משפט צ.צ.צ - סדר המדידה לא משנה, רק שלוש הצלעות עצמן.

תשובה: כן - התליות חופפות, לפי משפט צ.צ.צ, כי לשתיהן בדיוק אותן שלוש צלעות: 9, 12 ו-15 ס"מ.

6. בגן ציבורי בונים שתי ערוגות פרחים משולשות משני צדי שביל, כדי שהגן ייראה סימטרי. בערוגה הראשונה: הצלע לאורך השביל היא 4 מטרים, הזווית שבינה לבין הצלע הסמוכה היא 60°, והצלע הסמוכה היא 3 מטרים. בערוגה השנייה: הצלע לאורך השביל היא גם 4 מטרים, הזווית באותו מקום (בין אותן שתי צלעות) היא גם 60°, והצלע הסמוכה היא גם 3 מטרים. האם הגנן יכול להיות בטוח ששתי הערוגות חופפות (זהות בגודל ובצורה)? נמקו.שאלה בהקשר
  1. בשתי הערוגות יש שתי צלעות שוות (4 מטר ו-3 מטר) והזווית הכלואה ביניהן שווה (60°) - כלומר הזווית נמצאת בדיוק בין שתי הצלעות הנתונות בשני המקרים.
  2. כאשר שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן שוות בשני משולשים, חל משפט צ.ז.צ - והמשולשים חופפים.
  3. לכן שתי הערוגות חופפות זו לזו: אותו גודל ואותה צורה בדיוק, כולל הצלע השלישית והזוויות הנוספות שלא נמדדו.

תשובה: כן - הגנן יכול להיות בטוח: שתי הערוגות חופפות לפי משפט צ.ז.צ.

7. גג משולש של בקתה בנוי כשווה שוקיים: שתי הקורות המשופעות (השוקיים) שוות זו לזו באורכן. מפסגת הגג יורדת קורת תמיכה עד בדיוק אמצע הקורה התחתונה (הבסיס). מהנדסת טוענת שבגלל זה, שתי הזוויות שבהן הגג נשען על הקירות (זוויות הבסיס) שוות זו לזו. האם הטענה נכונה? הוכיחו באמצעות חפיפת משולשים.שאלה בהקשר
  1. נסמן את פסגת הגג A, את שתי פינות הבסיס B ו-C, ואת נקודת אמצע הבסיס D (שם מגיעה קורת התמיכה).
  2. נתון: AB = AC (השוקיים שוות), BD = DC (D הוא אמצע הבסיס), וקורת התמיכה AD משותפת לשני המשולשים ABD ו-ACD (שווה לעצמה).
  3. בהשוואת משולש ABD למשולש ACD: AB=AC, BD=DC, AD=AD - שלוש צלעות שוות בהתאמה, ולכן לפי משפט צ.צ.צ שני המשולשים חופפים.
  4. מחפיפת המשולשים נובע ששאר הזוויות המתאימות שוות - ובפרט הזווית ב-B שווה לזווית ב-C, שהן בדיוק זוויות הבסיס שעליהן דיברה המהנדסת.

תשובה: הטענה נכונה - זוויות הבסיס שוות, כפי שמוכח מחפיפת המשולשים ABD ו-ACD לפי משפט צ.צ.צ.

8. באותה בקתה (מהתרגיל הקודם): הגג הוא משולש שווה-שוקיים ABC (AB=AC), וקורת התמיכה AD מגיעה מפסגת הגג A עד אמצע הבסיס D. נגר טוען שקורת התמיכה AD גם מאונכת לבסיס BC. האם הטענה נכונה? נמקו לפי מה שלמדתם.תרגול
  1. כפי שהוכחנו, במשולש שווה-שוקיים הקטע מקדקוד הראש אל אמצע הבסיס משמש בו-זמנית כתיכון, כחוצה זווית הראש, וכגובה לבסיס.
  2. AD היא בדיוק קטע כזה (מקדקוד הראש A אל אמצע הבסיס D), ולכן היא גם הגובה לבסיס - כלומר מאונכת ל-BC.
  3. הטענה נכונה: AD מאונך ל-BC.

תשובה: כן, הטענה נכונה - AD מאונך ל-BC, כי במשולש שווה-שוקיים התיכון לבסיס הוא תמיד גם הגובה לבסיס.

לזכירה

  • היסק (חשיבה היסקית) הוא שרשרת של טענות שכל אחת מהן נובעת בהיגיון מהטענה שלפניה, מנתונים ועד למסקנה בטוחה - בלי ניחושים.
  • בכל שלב בהוכחה חייב להופיע נימוק: הגדרה, נתון, או משפט שכבר הוכח בעבר - חוליה בלי נימוק שוברת את השרשרת.
  • שני משולשים חופפים אם שלוש הצלעות ושלוש הזוויות המתאימות שוות בזוגות, אבל כדי להוכיח זאת מספיק לבדוק שלושה גדלים מתאימים בלבד.
  • שלושת משפטי החפיפה: צ.צ.צ (שלוש צלעות), צ.ז.צ (שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן), ז.צ.ז (שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן) - חשוב לוודא שהזווית/הצלע הנתונה באמת כלואה במקום הנכון.
  • אחרי שהוכחנו חפיפה, מותר להסיק ששאר הצלעות והזוויות המתאימות (שלא היו בנתון) שוות גם הן - זה השימוש המרכזי של חפיפה בהוכחות גאומטריות.
  • שימוש מרכזי וחשוב: במשולש שווה-שוקיים, הקטע מקדקוד הראש אל אמצע הבסיס הוא בו-זמנית התיכון לבסיס, חוצה זווית הראש, והגובה לבסיס - שלושתם אותו קטע, וזה מוכח בעזרת חפיפת המשולשים משני צדי הקטע.
הקודםגאומטריה קדם-היסקיתהבאדמיון