מעגל, גליל וחרוט
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, כאן לומדי! בואו נסתכל על זה ככה: פאי (π) הוא בסך הכול מספר קבוע - בערך 3.14 - שאומר לנו כמה פעמים הקוטר "נכנס" בתוך ההיקף, בכל מעגל שיש בעולם, קטן כגדול, בלי יוצא מן הכלל. עכשיו תחשבו על גליל כעל המון מעגלים זהים שמונחים אחד על השני, כמו פחית שימורים - ולכן שטח הפנים והנפח שלו בנויים בדיוק מהעיגול שכבר הכרתם. וחרוט? זה בעצם עיגול אחד למטה עם קודקוד חד אחד למעלה, כמו גביע גלידה - ולכן הנפח שלו הוא בדיוק שליש מהנפח של גליל עם אותו בסיס ואותו גובה. אם אתם כבר יודעים לחשב היקף ושטח של מעגל אחד, יש לכם את כל מה שצריך כדי להבין גם גליל וגם חרוט - שלב אחד בכל פעם, ואני איתכם.
המעגל וחלקיו
מעגל הוא אוסף כל הנקודות שנמצאות במרחק שווה מנקודה קבועה אחת - מרכז המעגל. המרחק הקבוע הזה נקרא רדיוס. קטע המחבר שתי נקודות על המעגל נקרא מיתר; מיתר שעובר דרך המרכז נקרא קוטר, והוא המיתר הארוך ביותר שיש במעגל - אורכו תמיד כפול מאורך הרדיוס. שימו לב להבדל חשוב: מעגל הוא הקו עצמו - יש לו היקף (אורך), אבל אין לו שטח; עיגול הוא כל השטח הכלוא בתוך המעגל - ולו יש שטח. שני חלקים נוספים של המעגל: זווית מרכזית היא זווית שקודקודה במרכז המעגל ושוקיה הם שני רדיוסים; גזרה היא החלק ב'פרוסת עוגה' של העיגול שכלוא בין שני הרדיוסים האלה לבין הקשת שביניהם - כל זווית מרכזית 'מתאימה' לגזרה אחת, בדיוק כמו פרוסה בגודל הזווית הזו מתוך העוגה השלמה.
היקף מעגל ושטחו
אם מודדים את ההיקף (האורך) של כל מעגל ומחלקים אותו בקוטר שלו, מקבלים תמיד בדיוק אותו מספר - בערך 3.14. למספר הקבוע הזה קוראים פאי (π), וזה עובד באותה מידה למעגל קטן כמו מטבע ולמעגל גדול כמו מגרש עגול. מכאן נובעת נוסחת ההיקף: היקף = 2×π×רדיוס (או π×קוטר). שטח העיגול הכלוא בתוך המעגל מחושב בנוסחה: שטח = π×רדיוס² (כלומר π כפול הרדיוס כפול הרדיוס).
גליל - איך הוא בנוי, ומהו שטח הפנים שלו
גליל ישר בנוי משני עיגולים חופפים (זהים בגודלם) שנמצאים על שני מישורים מקבילים, ומחוברים ביניהם בקטעים ניצבים - בדיוק כמו פחית שימורים. שני העיגולים נקראים הבסיסים של הגליל, והמרחק ביניהם הוא הגובה. אם 'פורסים' את המעטפת (הדופן העגולה) של הגליל למשטח שטוח, מקבלים מלבן שאורכו שווה להיקף הבסיס ורוחבו שווה לגובה הגליל. לכן שטח הפנים הכולל שווה לשני הבסיסים בתוספת המעטפת: שטח פנים = 2×π×רדיוס² + 2×π×רדיוס×גובה.
גליל - חישוב הנפח
הנפח של גוף מספר כמה 'מקום' יש בתוכו, למשל כמה מים אפשר למזוג לתוכו. בגליל, הנפח מתקבל מהכפלת שטח הבסיס (שטח העיגול) בגובה הגליל - בדיוק כמו שמחשבים נפח של תיבה על ידי הכפלת שטח הבסיס בגובה. לכן: נפח = π×רדיוס²×גובה. שימו לב: אם מכפילים את הרדיוס פי 2, הנפח גדל פי 4 ולא פי 2, כי הרדיוס מופיע בריבוע בנוסחה.
גליל וחרוט
חרוט ישר בנוי מעיגול אחד (הבסיס) ומנקודה יחידה שנמצאת מחוץ למישור העיגול - קדקוד החרוט; כל הקטעים המחברים את הקדקוד להיקף העיגול יוצרים יחד את המעטפת, בדיוק כמו גביע גלידה או כובע מסיבה. הגובה של חרוט ישר הוא הקטע המחבר את הקדקוד למרכז העיגול, בניצב למישור הבסיס - וזה בדיוק מה שהופך אותו לחרוט 'ישר' (בניגוד לחרוט 'נטוי', שבו הקדקוד אינו נמצא ממש מעל המרכז). נפח החרוט מחושב בנוסחה: נפח = (1/3)×π×רדיוס²×גובה, כלומר בדיוק שליש מהנפח של גליל עם אותו בסיס ואותו גובה.
חתך צירי של גליל ושל חרוט
חתך צירי הוא הצורה שמתקבלת אם 'פורסים' (חותכים) את הגוף לאורך מישור שעובר דרך הציר שלו - הקטע המחבר את מרכזי שני הבסיסים בגליל, או את הקדקוד עם מרכז הבסיס בחרוט. בגליל ישר, החתך הצירי הוא מלבן: רוחבו שווה לקוטר הבסיס (2×רדיוס), ואורכו שווה לגובה הגליל - ולכן שטחו הוא 2×רדיוס×גובה. בחרוט ישר, החתך הצירי הוא משולש שווה-שוקיים: הבסיס שלו הוא קוטר הבסיס של החרוט (2×רדיוס), הקודקוד שלו הוא קדקוד החרוט, וגובהו שווה לגובה החרוט - ולכן שטחו הוא (1/2)×2×רדיוס×גובה, כלומר רדיוס×גובה.
דוגמאות פתורות
נתון מעגל שרדיוסו 10 ס"מ. מצאו את היקף המעגל ואת שטח העיגול התחום בו (π≈3.14).
- היקף המעגל מחושב לפי הנוסחה: היקף = 2×π×רדיוס
- מציבים: היקף = 2×3.14×10 = 62.8 ס"מ
- שטח העיגול מחושב לפי הנוסחה: שטח = π×רדיוס²
- מציבים: שטח = 3.14×10² = 3.14×100 = 314 סמ"ר
תשובה: היקף המעגל ≈ 62.8 ס"מ, ושטח העיגול ≈ 314 סמ"ר.
גליל ישר שרדיוס הבסיס שלו 5 ס"מ וגובהו 10 ס"מ. מצאו את שטח הפנים הכולל שלו ואת נפחו (π≈3.14).
- שטח בסיס אחד (עיגול): π×רדיוס² = 3.14×5² = 3.14×25 = 78.5 סמ"ר
- שני הבסיסים ביחד: 2×78.5 = 157 סמ"ר
- שטח המעטפת: היקף הבסיס × גובה = (2×3.14×5)×10 = 31.4×10 = 314 סמ"ר
- שטח פנים כולל: 157 + 314 = 471 סמ"ר
- נפח הגליל: שטח בסיס × גובה = 78.5×10 = 785 סמ"ק
תשובה: שטח הפנים הכולל של הגליל ≈ 471 סמ"ר, ונפחו ≈ 785 סמ"ק.
חרוט ישר שרדיוס הבסיס שלו 6 ס"מ וגובהו 10 ס"מ. מצאו את נפחו (π≈3.14).
- נפח חרוט מחושב לפי הנוסחה: נפח = (1/3)×π×רדיוס²×גובה
- מציבים: נפח = (1/3)×3.14×6²×10 = (1/3)×3.14×36×10
- מחשבים: 3.14×36 = 113.04, ו-113.04×10 = 1130.4, ו-1130.4÷3 = 376.8
תשובה: נפח החרוט ≈ 376.8 סמ"ק.
לגליל ישר רדיוס הבסיס 4 ס"מ וגובהו 9 ס"מ. לחרוט ישר עם אותו בסיס ואותו גובה (רדיוס 4 ס"מ, גובה 9 ס"מ). מצאו את שטח החתך הצירי של הגליל ואת שטח החתך הצירי של החרוט.
- החתך הצירי של הגליל הוא מלבן שרוחבו קוטר הבסיס (2×4=8 ס"מ) ואורכו גובה הגליל (9 ס"מ).
- שטח המלבן = רוחב × אורך = 8×9 = 72 סמ"ר.
- החתך הצירי של החרוט הוא משולש שווה-שוקיים שבסיסו קוטר הבסיס (8 ס"מ) וגובהו גובה החרוט (9 ס"מ).
- שטח המשולש = (בסיס × גובה)/2 = (8×9)/2 = 72/2 = 36 סמ"ר.
תשובה: שטח החתך הצירי של הגליל הוא 72 סמ"ר, ושל החרוט הוא 36 סמ"ר - בדיוק חצי, בהתאם ליחס בין שטח מלבן לשטח משולש עם אותו בסיס וגובה.
תרגול
1. נתון מעגל שרדיוסו 6 ס"מ. חשבו את היקף המעגל ואת שטח העיגול התחום בו (π≈3.14).תרגול
- היקף המעגל = 2×π×רדיוס = 2×3.14×6
- 2×3.14 = 6.28, ו-6.28×6 = 37.68, כלומר היקף המעגל הוא 37.68 ס"מ
- שטח העיגול = π×רדיוס² = 3.14×6² = 3.14×36
- 3.14×36 = 113.04, כלומר שטח העיגול הוא 113.04 סמ"ר
תשובה: היקף המעגל ≈ 37.68 ס"מ, שטח העיגול ≈ 113.04 סמ"ר.
2. קוטר של מעגל הוא 14 ס"מ. מצאו את רדיוס המעגל, את היקף המעגל ואת שטח העיגול התחום בו (π≈3.14).תרגול
- רדיוס = קוטר ÷ 2 = 14 ÷ 2 = 7 ס"מ (כי הרדיוס הוא תמיד חצי מהקוטר)
- היקף המעגל = π×קוטר = 3.14×14 = 43.96 ס"מ
- שטח העיגול = π×רדיוס² = 3.14×7² = 3.14×49 = 153.86 סמ"ר
תשובה: רדיוס = 7 ס"מ, היקף המעגל ≈ 43.96 ס"מ, שטח העיגול ≈ 153.86 סמ"ר.
3. גליל ישר שרדיוס הבסיס שלו 3 ס"מ וגובהו 10 ס"מ. חשבו את שטח הפנים הכולל ואת הנפח של הגליל (π≈3.14).תרגול
- שטח בסיס אחד (עיגול) = π×רדיוס² = 3.14×3² = 3.14×9 = 28.26 סמ"ר, ולכן שני הבסיסים ביחד = 2×28.26 = 56.52 סמ"ר
- שטח המעטפת = היקף הבסיס × גובה = (2×3.14×3)×10 = 18.84×10 = 188.4 סמ"ר
- שטח פנים כולל = שני הבסיסים + המעטפת = 56.52 + 188.4 = 244.92 סמ"ר
- נפח = שטח בסיס × גובה = 28.26×10 = 282.6 סמ"ק
תשובה: שטח פנים ≈ 244.92 סמ"ר, נפח ≈ 282.6 סמ"ק.
4. חרוט ישר שרדיוס הבסיס שלו 4 ס"מ וגובהו 15 ס"מ. חשבו את נפחו (π≈3.14).תרגול
- נפח חרוט מחושב לפי הנוסחה: נפח = (1/3)×π×רדיוס²×גובה
- מציבים: נפח = (1/3)×3.14×4²×15 = (1/3)×3.14×16×15
- 3.14×16 = 50.24, ו-50.24×15 = 753.6, ו-753.6÷3 = 251.2, כלומר הנפח הוא 251.2 סמ"ק
תשובה: נפח החרוט ≈ 251.2 סמ"ק.
5. סביב בריכת מים עגולה שרדיוסה 4 מטר רוצים להניח שביל אבנים שמקיף אותה בדיוק לאורך היקפה. כמה מטרים של אבני שפה צריך לקנות? (π≈3.14)שאלה בהקשר
- אורך אבני השפה שווה בדיוק להיקף הבריכה, כי השביל מקיף אותה לאורך כל ההיקף
- היקף = 2×π×רדיוס = 2×3.14×4
- 2×3.14 = 6.28, ו-6.28×4 = 25.12
תשובה: צריך לקנות כ-25.12 מטר של אבני שפה.
6. מיכל מים בצורת גליל, שרדיוס הבסיס שלו 20 ס"מ וגובהו 50 ס"מ. כמה ליטרים של מים יכול המיכל להכיל, אם ממלאים אותו עד הסוף? (רמז: 1000 סמ"ק = 1 ליטר, π≈3.14)שאלה בהקשר
- קודם מחשבים את נפח המיכל בסמ"ק: נפח = π×רדיוס²×גובה = 3.14×20²×50 = 3.14×400×50
- 3.14×400 = 1256, ו-1256×50 = 62,800, כלומר נפח המיכל הוא 62,800 סמ"ק
- ממירים ליחידות ליטר: 62,800 ÷ 1000 = 62.8
תשובה: המיכל יכול להכיל כ-62.8 ליטרים של מים.
7. גביע גלידה בצורת חרוט, שרדיוס הפתח (הבסיס) שלו 3 ס"מ וגובהו 9 ס"מ. כמה סמ"ק גלידה יכול הגביע להכיל, אם ממלאים אותו בדיוק עד גובהו, בלי לצאת מעבר לשפה? (π≈3.14)שאלה בהקשר
- צריך לחשב את נפח החרוט: נפח = (1/3)×π×רדיוס²×גובה = (1/3)×3.14×3²×9 = (1/3)×3.14×9×9
- 3.14×9 = 28.26, ו-28.26×9 = 254.34
- 254.34 ÷ 3 = 84.78
תשובה: הגביע יכול להכיל כ-84.78 סמ"ק גלידה.
8. צינור בצורת גליל שרדיוס הבסיס שלו 2 ס"מ ואורכו (גובהו) 30 ס"מ. מהו שטח החתך הצירי של הצינור?תרגול
- החתך הצירי של גליל הוא מלבן שרוחבו קוטר הבסיס ואורכו גובה הגליל.
- קוטר הבסיס = 2×רדיוס = 2×2 = 4 ס"מ.
- שטח החתך הצירי = קוטר × גובה = 4×30 = 120 סמ"ר.
תשובה: שטח החתך הצירי הוא 120 סמ"ר.
9. בעיגול מסומנים שני רדיוסים היוצאים מהמרכז, כך שהזווית ביניהם היא 90°. א. איך קוראים לזווית הזו (בין שני הרדיוסים)? ב. איך קוראים לחלק העיגול הכלוא בין שני הרדיוסים לבין הקשת שביניהם?תרגול
- זווית שקודקודה במרכז המעגל ושוקיה הן שני רדיוסים נקראת זווית מרכזית.
- החלק בעיגול שכלוא בין שני הרדיוסים לבין הקשת שביניהם (כמו פרוסת עוגה) נקרא גזרה - וכאן זו הגזרה שמתאימה לזווית המרכזית של 90°.
תשובה: א. זווית מרכזית. ב. גזרה.
לזכירה
- מעגל הוא כל הנקודות במרחק שווה (רדיוס) מנקודה אחת (מרכז). קוטר = 2×רדיוס, והוא המיתר הארוך ביותר במעגל. זווית מרכזית היא זווית שקודקודה במרכז ושוקיה שני רדיוסים; גזרה היא הפרוסה שמתאימה לה, בין שני הרדיוסים לקשת שביניהם.
- π הוא מספר קבוע (בערך 3.14) - היחס בין היקף כל מעגל לקוטרו. נוסחאות: היקף מעגל = 2×π×רדיוס, שטח עיגול = π×רדיוס².
- גליל בנוי משני עיגולים חופפים ומקבילים (הבסיסים) ומעטפת בצורת מלבן: שטח פנים = 2×π×רדיוס² + 2×π×רדיוס×גובה, ונפח = π×רדיוס²×גובה.
- חרוט בנוי מעיגול אחד (הבסיס) וקדקוד יחיד, כשהגובה ניצב למישור הבסיס. נפח חרוט = (1/3)×π×רדיוס²×גובה - שליש מנפח גליל עם אותו בסיס וגובה.
- חתך צירי הוא הצורה שמתקבלת בחיתוך דרך ציר הגוף: בגליל זהו מלבן (רוחב = קוטר, אורך = גובה); בחרוט זהו משולש שווה-שוקיים (בסיס = קוטר, גובה = גובה החרוט).
- מעגל הוא הקו עצמו (יש לו היקף, אין לו שטח); עיגול הוא השטח הכלוא בתוך המעגל (יש לו שטח) - חשוב להבחין בין השניים, גם כשמדברים על הבסיסים של גליל וחרוט.