לומדי

סטטיסטיקה – טווח נתונים ומדדי מרכז (שכיח, חציון וממוצע)

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! שכיח, חציון וממוצע הם שלוש דרכים שונות לענות על אותה שאלה: "מה הערך הטיפוסי של הקבוצה?" השכיח עונה "מה הכי נפוץ", החציון עונה "מה באמצע כשמסדרים הכול בשורה", והממוצע עונה "אם היינו מחלקים הכול שווה בשווה, כמה כל אחד היה מקבל". חשוב לזכור: הממוצע מתרגש בקלות מנתון קיצוני אחד ומזנק אליו, בעוד שהחציון נשאר רגוע ויציב. בכל תרגיל, קודם תבדקו לפי איזה מדד שואלים, ורק אז תתחילו לחשב!

טווח נתונים

טווח של קבוצת נתונים מוגדר כהפרש בין הערך הגדול ביותר לבין הערך הקטן ביותר בקבוצה: טווח = הערך המרבי - הערך המזערי. הטווח נותן הערכה גסה ופשוטה לפיזור הנתונים - כמה "מרוחקים" הנתונים זה מזה - אבל הוא תלוי רק בשני הנתונים הקיצוניים, ומתעלם לגמרי מכל שאר הנתונים באמצע. אם מוסיפים (או מחסרים) אותו מספר קבוע לכל הנתונים, הטווח לא משתנה בכלל - כי גם הערך המרבי וגם המזערי זזים באותו הפרש. אם מכפילים את כל הנתונים באותו מספר קבוע, הטווח גם הוא מוכפל באותו מספר.

השכיח (מודה)

השכיח הוא הערך שמתקבלת עבורו השכיחות הגבוהה ביותר בקבוצת הנתונים - כלומר, הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. השכיח הוא תמיד אחד מהערכים שממש נמצאים בקבוצת הנתונים (בניגוד לממוצע, שיכול לצאת מספר שלא מופיע בכלל ברשימה). בשונה מהחציון והממוצע, אפשר להגדיר שכיח גם עבור נתונים שמיים (איכותיים, כמו צבע אהוב), ולא רק עבור נתונים מספריים.

החציון

החציון מוגדר רק עבור נתונים מספריים (כמותיים). כדי למצוא חציון, קודם מסדרים את כל הנתונים בסדר עולה. אם מספר הנתונים אי-זוגי, החציון הוא ערכו של הנתון האמצעי ברשימה המסודרת. אם מספר הנתונים זוגי, יש שני נתונים אמצעיים, והחציון יכול להיות כל ערך שביניהם - אך מקובל לבחור בממוצע של שני הנתונים האמצעיים כחציון. הגדלה/הקטנה של כל הנתונים באותו קבוע משנה את החציון באותו קבוע בדיוק, וכפל כל הנתונים בקבוע משנה את החציון פי אותו קבוע.

הממוצע

הממוצע (החשבוני) הוא ערך המתקבל מחלוקת סכום כל הנתונים במספר הנתונים בקבוצה: ממוצע = (סכום כל הנתונים) חלקי (מספר הנתונים). תכונה מעניינת: סכום הסטיות של כל הנתונים מהממוצע (כל נתון פחות הממוצע) שווה תמיד בדיוק לאפס. הממוצע הוא המדד הרגיש ביותר מבין השלושה לשינויים בנתונים הקיצוניים (בשולי ההתפלגות) - נתון קיצוני יחיד, שונה מאוד מהממוצע עצמו, יכול למשוך את הממוצע חזק לכיוונו, בעוד שהחציון והשכיח כמעט לא יושפעו ממנו.

מה משותף לשלושת מדדי המרכז, ומתי כל אחד מהם מייצג טוב יותר

שכיח, חציון וממוצע נקראים "מדדי מרכז" כי כולם מנסים לתאר ערך "טיפוסי" שמייצג את כל הקבוצה. לשלושתם תכונה משותפת: הם תמיד "ערכי ביניים" - אף אחד מהם לא יכול להיות גדול מהנתון המרבי בקבוצה, ואף אחד מהם לא יכול להיות קטן מהנתון המזערי. הוספת קבוע לכל הנתונים מוסיפה אותו קבוע לשלושתם, וכפל כל הנתונים בקבוע מכפיל את שלושתם באותו קבוע. אבל לכל מדד יש חוזקות וחולשות: הממוצע "משתמש" בכל הנתונים אך רגיש מאוד לערכים קיצוניים (חריגים); החציון לא מושפע מערכים קיצוניים בקצוות (יציב יותר); והשכיח שימושי במיוחד כשרוצים לדעת מה הכי נפוץ, גם בנתונים שאינם מספריים. בהתפלגות סימטרית, החציון והממוצע מתלכדים (שווים).

דוגמאות פתורות

ציוני מבחן קצר של 7 תלמידים היו: 60, 75, 75, 80, 85, 90, 95. מצאו את הטווח, השכיח, החציון והממוצע של קבוצת הציונים.

  1. טווח: הערך המרבי הוא 95, המזערי הוא 60. טווח = 95-60 = 35.
  2. שכיח: סופרים כמה פעמים כל ציון מופיע - הציון 75 הוא היחיד שמופיע פעמיים (כל השאר מופיעים פעם אחת בלבד), ולכן השכיח הוא 75.
  3. חציון: הנתונים כבר מסודרים בסדר עולה, ויש 7 נתונים (מספר אי-זוגי), כך שהחציון הוא הנתון האמצעי - הרביעי ברשימה: 60,75,75,[80],85,90,95. החציון הוא 80.
  4. ממוצע: מחברים את כל הציונים: 60+75+75+80+85+90+95 = 560. מחלקים במספר התלמידים: 560/7 = 80.

תשובה: טווח = 35. שכיח = 75. חציון = 80. ממוצע = 80 (במקרה הזה החציון והממוצע יצאו שווים).

דמי הכיס החודשיים (בש"ח) של 6 ילדים הם: 20, 20, 25, 30, 35, 50. א. מצאו את הטווח, השכיח, החציון והממוצע. ב. הצטרף ילד שביעי עם דמי כיס של 300 ש"ח (מתנה חד-פעמית מסבתא). איך זה משפיע על הממוצע לעומת החציון?

  1. סעיף א - טווח: 50-20 = 30. שכיח: 20 מופיע פעמיים, כל השאר פעם אחת, ולכן השכיח הוא 20.
  2. חציון: הנתונים מסודרים: 20,20,25,30,35,50 - יש 6 נתונים (מספר זוגי), כך שהחציון הוא ממוצע שני הנתונים האמצעיים (השלישי והרביעי): (25+30)/2 = 27.5.
  3. ממוצע: סכום = 20+20+25+30+35+50 = 180. מחלקים ב-6: 180/6 = 30.
  4. סעיף ב: הנתונים החדשים (7 ילדים) מסודרים: 20,20,25,[30],35,50,300 - החציון (הנתון הרביעי מתוך 7) הוא עדיין 30, כמעט לא השתנה מ-27.5. הממוצע החדש: (180+300)/7 = 480/7 ≈ 68.57 - קפץ בצורה דרמטית, כי הוא "נמשך" חזק על ידי הנתון החריג 300.

תשובה: א. טווח=30, שכיח=20, חציון=27.5, ממוצע=30. ב. אחרי הצטרפות הילד עם ה-300 ש"ח, החציון כמעט לא זז (27.5→30), אבל הממוצע קפץ בחדות (30→כ-68.57) - זו דוגמה מובהקת לרגישות הגבוהה של הממוצע לנתונים קיצוניים, לעומת יציבות החציון.

תרגול

1. בסקר צבע אהוב בכיתה נאספו התשובות הבאות: כחול, ירוק, כחול, אדום, כחול, ירוק, כחול, אדום. מהו הצבע השכיח? הסבירו למה אפשר למצוא שכיח גם לנתונים כאלה, למרות שהם לא מספרים.תרגול
  1. סופרים כל צבע: כחול מופיע 4 פעמים, ירוק - 2 פעמים, אדום - 2 פעמים.
  2. הצבע עם השכיחות הגבוהה ביותר הוא כחול (4 פעמים).
  3. אפשר למצוא שכיח גם לנתונים שמיים (לא מספריים), כי הגדרת השכיח מבוססת רק על ספירת שכיחויות - לא צריך לסדר את הנתונים או לחבר אותם, כמו שכן צריך לעשות בחציון ובממוצע.

תשובה: הצבע השכיח הוא כחול. שכיח מוגדר גם עבור נתונים שמיים כי הוא מבוסס רק על ספירת שכיחויות, לא על סידור או חיבור של הנתונים.

2. רשימת גובהי צמחים (בס"מ) שנמדדו: 12, 30, 18, 25, 9. מצאו את הטווח ואת החציון של קבוצת הנתונים.תרגול
  1. מסדרים את הנתונים בסדר עולה: 9, 12, 18, 25, 30.
  2. טווח = הערך המרבי פחות המזערי = 30-9 = 21.
  3. יש 5 נתונים (מספר אי-זוגי), ולכן החציון הוא הנתון האמצעי - השלישי ברשימה המסודרת: 9,12,[18],25,30. החציון הוא 18.

תשובה: טווח = 21 ס"מ. חציון = 18 ס"מ.

3. משכורות (בש"ח) של 5 עובדים בחנות קטנה: 4800, 5000, 5200, 4900, 5100. מצאו את הממוצע.תרגול
  1. מחברים את כל המשכורות: 4800+5000+5200+4900+5100.
  2. 4800+5000=9800, +5200=15000, +4900=19900, +5100=25000.
  3. מחלקים במספר העובדים: 25000/5 = 5000.

תשובה: המשכורת הממוצעת היא 5000 ש"ח.

4. ציוני מבחן קצר בכיתה של 20 תלמידים סוכמו בטבלת שכיחויות: ציון 6 - 2 תלמידים, ציון 7 - 5 תלמידים, ציון 8 - 8 תלמידים, ציון 9 - 4 תלמידים, ציון 10 - תלמיד אחד. חשבו את ממוצע הציונים של הכיתה ישירות מתוך טבלת השכיחויות.תרגול
  1. כדי לחשב ממוצע מטבלת שכיחויות, מכפילים כל ציון בשכיחות שלו ומחברים את כל המכפלות: 6×2 + 7×5 + 8×8 + 9×4 + 10×1.
  2. מחשבים כל מכפלה: 6×2=12, 7×5=35, 8×8=64, 9×4=36, 10×1=10. סכום המכפלות: 12+35+64+36+10=157.
  3. בודקים את מספר התלמידים הכולל מהטבלה: 2+5+8+4+1=20 - תואם למספר התלמידים בכיתה.
  4. מחלקים את סכום המכפלות במספר התלמידים הכולל: 157/20 = 7.85.

תשובה: ממוצע הציונים בכיתה הוא 7.85.

5. קבוצת הנתונים 20, 20, 25, 30, 35, 50 (ממוצע=30, חציון=27.5, שכיח=20, טווח=30) - כל אחד מהנתונים גדל ב-5. מהם הממוצע, החציון, השכיח והטווח החדשים? נמקו בלי לחשב הכול מחדש מאפס.שאלה בהקשר
  1. הנתונים החדשים (אחרי הוספת 5 לכל אחד): 25, 25, 30, 35, 40, 55.
  2. הוספת קבוע לכל הנתונים מוסיפה את אותו קבוע לממוצע, לחציון ולשכיח: ממוצע חדש = 30+5 = 35. חציון חדש = 27.5+5 = 32.5. שכיח חדש = 20+5 = 25.
  3. הטווח לא משתנה כשמוסיפים קבוע לכל הנתונים (כי גם המרבי וגם המזערי זזים באותו הפרש), ולכן הטווח נשאר 30.

תשובה: ממוצע חדש = 35. חציון חדש = 32.5. שכיח חדש = 25. טווח נשאר 30 (ללא שינוי).

6. הממוצע של ציוני 5 תלמידים במבחן הוא 78. ארבעה מהציונים ידועים: 70, 82, 85, 75. מהו הציון החמישי?שאלה בהקשר
  1. מכיוון שהממוצע של 5 ציונים הוא 78, סכום כל 5 הציונים הוא 5×78 = 390.
  2. מחברים את ארבעת הציונים הידועים: 70+82+85+75 = 312.
  3. הציון החמישי הוא ההפרש: 390-312 = 78.

תשובה: הציון החמישי הוא 78.

7. בחברה קטנה עובדים 5 אנשים בסך הכול: 4 עובדים שמרוויחים (בש"ח) 5000, 5200, 5300, 5400 - וגם הבעלים, שמרוויח 50,000. מהו הממוצע ומהו החציון של המשכורות? איזה מהמדדים מייצג בצורה הוגנת יותר את המשכורת ה"טיפוסית" בחברה? נמקו.שאלה בהקשר
  1. מחשבים ממוצע: הסכום = 5000+5200+5300+5400+50000 = 70900. מחלקים ב-5: 70900/5 = 14180.
  2. מחשבים חציון: מסדרים בסדר עולה: 5000,5200,[5300],5400,50000 - יש 5 נתונים, החציון הוא הנתון האמצעי - 5300.
  3. הממוצע (14180) גבוה בהרבה מכל אחת מ-4 המשכורות ה"רגילות" - הוא נמשך כלפי מעלה על ידי המשכורת החריגה של הבעלים. החציון (5300) קרוב הרבה יותר למשכורות שרוב העובדים מרוויחים בפועל, ולכן הוא מייצג טוב יותר את המשכורת ה"טיפוסית" בחברה הזו.

תשובה: ממוצע = 14,180 ש"ח, חציון = 5,300 ש"ח. החציון מייצג בצורה הוגנת יותר את המשכורת הטיפוסית, כי הממוצע מוטה כלפי מעלה בגלל המשכורת החריגה של הבעלים.

לזכירה

  • טווח = הערך המרבי פחות המזערי. הוא לא משתנה בהוספת קבוע לכל הנתונים, ומוכפל באותו קבוע כשכל הנתונים מוכפלים בו.
  • שכיח = הערך עם השכיחות הגבוהה ביותר; תמיד אחד מהנתונים עצמם, ומוגדר גם לנתונים שמיים.
  • חציון = הנתון האמצעי אחרי סידור בסדר עולה (או ממוצע שני הנתונים האמצעיים כשמספר הנתונים זוגי); מוגדר רק לנתונים מספריים.
  • ממוצע = סכום כל הנתונים חלקי מספרם; הוא הרגיש ביותר לנתונים קיצוניים מבין שלושת המדדים.
  • שכיח, חציון וממוצע הם תמיד "ערכי ביניים" (בין המזערי למרבי); הוספת/הכפלת קבוע לכל הנתונים משפיעה על שלושתם באותה צורה.
הקודםאחוזים; הגדלה או הקטנה באחוזיםהבאהסתברות: מושגים בסיסיים, חישובי הסתברות בהקשר של שכיחות יחסית, תוצאה משלימה.