לומדי

סטטיסטיקה – שכיחות יחסית (ללא אחוזים).

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! שכיחות יחסית עוזרת לכם להשוות בין קבוצות בגודל שונה בצורה הוגנת - זה כמו לשאול "איזה חלק" ולא "כמה בדיוק". אם חבר אומר לכם "12 מהחברים בקבוצה שלי אוהבים לצייר" - זה נשמע הרבה, אבל אם ידוע שבקבוצה שלו יש רק 15 חברים בסך הכול, זה כמעט כולם (12/15=0.8)! ואם בקבוצה אחרת יש 100 חברים ורק 20 מהם אוהבים לצייר, זה חלק הרבה יותר קטן (20/100=0.2), למרות שבמספרים 20 גדול מ-12. תמיד תשאלו את עצמכם: מה השלם שממנו החלק הזה נלקח?

מהי שכיחות יחסית?

שכיחות יחסית של ערך מתקבלת כאשר מחלקים את השכיחות של הערך במספר הכולל של הנתונים בקבוצה. למשל, אם מתוך 40 תלמידים 16 הגיעו לבית הספר ברגל, השכיחות היחסית של "ברגל" היא 16 חלקי 40. בשונה משכיחות רגילה (שהיא פשוט מספר), שכיחות יחסית מתארת חלק (שבר) מתוך השלם - היא תמיד מספר בין 0 ל-1. בשלב הזה נכתוב שכיחות יחסית כשבר פשוט (מצומצם ככל האפשר) או כשבר עשרוני, בלי להשתמש באחוזים.

למה שכיחות בלבד לא תמיד מספיקה להשוואה

דמיינו שתי כיתות: בכיתה א' יש 30 תלמידים ו-12 מהם קוראים ספרים בזמנם הפנוי; בכיתה ב' יש 24 תלמידים, וגם בה 12 קוראים ספרים. אם נסתכל רק על השכיחות (12 מול 12), נחשוב ששתי הכיתות "אוהבות קריאה" באותה מידה. אבל זה לא הוגן להשוואה, כי בכיתה ב' יש פחות תלמידים בסך הכול - אותם 12 קוראים מהווים חלק גדול יותר מהכיתה. כדי להשוות בצורה הוגנת בין קבוצות בגדלים שונים, חייבים להסתכל על השכיחות היחסית ולא רק על השכיחות עצמה.

מחשבים שכיחות יחסית: שבר ועשרוני

כדי לחשב שכיחות יחסית, בונים שבר: השכיחות של הערך (החלק) חלקי סך כל הנתונים (השלם). אם אפשר, מצמצמים את השבר למספרים הקטנים ביותר האפשריים. אפשר גם להפוך את השבר למספר עשרוני על ידי חילוק רגיל - למשל 3/10 = 0.3. שתי הצורות (שבר מצומצם ועשרוני) מתארות בדיוק אותו דבר, ואפשר לבחור באיזו מהן להשתמש לפי מה שנוח יותר לחישוב הבא.

שכיחות יחסית לנתונים כמותיים ושמיים

אפשר לחשב שכיחות יחסית גם לנתונים מספריים (כמותיים, כמו ציונים) וגם לנתונים שמיים (איכותיים, כמו צבעים אהובים) - השיטה זהה בשני המקרים: מחלקים את השכיחות של הערך במספר הכולל של הנתונים. חשוב להבחין בין המידע שנותנת השכיחות ("כמה בדיוק") לבין המידע שנותנת השכיחות היחסית ("איזה חלק יחסית מהכול") - לפעמים אחד מהם מעניין אותנו יותר, ולפעמים השני, תלוי בשאלה שאנחנו רוצים לענות עליה.

סכום כל השכיחויות היחסיות שווה 1

אם מחברים את כל השכיחויות היחסיות של כל הערכים האפשריים במשתנה מסוים, מקבלים תמיד בדיוק 1 - הרי כל הנתונים ביחד מהווים את השלם כולו, בלי שנשאר משהו בחוץ. זו בדיקה שימושית: אחרי שמחשבים שכיחות יחסית לכל הערכים בטבלה, אפשר לחבר את כולן ולוודא שהתוצאה יוצאת 1 בדיוק - אם לא, כנראה נפלה טעות בחישוב באחד הערכים.

דוגמאות פתורות

בכיתה א' יש 30 תלמידים, ו-12 מהם קוראים ספרים בזמנם הפנוי. בכיתה ב' יש 24 תלמידים, וגם בה 12 קוראים ספרים. א. חשבו את השכיחות היחסית של הקוראים בכל כיתה. ב. באיזו כיתה יש יחסית יותר קוראים?

  1. סעיף א: בכיתה א', השכיחות היחסית של הקוראים היא 12 חלקי 30 (סך כל התלמידים בכיתה א'). מצמצמים: 12/30 = 2/5, וכעשרוני: 2/5 = 0.4.
  2. בכיתה ב', השכיחות היחסית של הקוראים היא 12 חלקי 24 (סך כל התלמידים בכיתה ב'). מצמצמים: 12/24 = 1/2, וכעשרוני: 1/2 = 0.5.
  3. סעיף ב: משווים בין שתי השכיחויות היחסיות: 0.5 (כיתה ב') גדול מ-0.4 (כיתה א'), למרות ששתי הכיתות קיבלו את אותו מספר קוראים בדיוק (12).

תשובה: א. שכיחות יחסית בכיתה א': 2/5=0.4. שכיחות יחסית בכיתה ב': 1/2=0.5. ב. יחסית לגודל הכיתה, בכיתה ב' יש יותר קוראים (0.5 לעומת 0.4), למרות שמספר הקוראים בפועל זהה בשתי הכיתות.

נשאלו 40 תלמידים כיצד הם מגיעים לבית הספר: 16 ברגל, 10 באופניים, 8 באוטובוס, ו-6 ברכב פרטי. חשבו את השכיחות היחסית של כל אמצעי הגעה (כשבר מצומצם ועשרוני), ובדקו שסכום כולן שווה 1.

  1. ברגל: 16 חלקי 40 (סך הכול). מצמצמים: 16/40 = 2/5 = 0.4.
  2. באופניים: 10 חלקי 40. מצמצמים: 10/40 = 1/4 = 0.25.
  3. באוטובוס: 8 חלקי 40. מצמצמים: 8/40 = 1/5 = 0.2.
  4. ברכב פרטי: 6 חלקי 40. מצמצמים: 6/40 = 3/20 = 0.15.
  5. בדיקה: מחברים את כל השכיחויות היחסיות כעשרוניים: 0.4+0.25+0.2+0.15 = 1.0 בדיוק - החישוב תקין.

תשובה: ברגל: 2/5=0.4. באופניים: 1/4=0.25. באוטובוס: 1/5=0.2. ברכב פרטי: 3/20=0.15. סכום כולן: 1.0.

תרגול

1. בקופסה יש 30 כדורי צבע: 9 אדומים, 6 כחולים ו-15 ירוקים. חשבו את השכיחות היחסית של כל צבע כשבר מצומצם.תרגול
  1. אדום: 9 חלקי 30. מצמצמים ב-3: 9/30 = 3/10.
  2. כחול: 6 חלקי 30. מצמצמים ב-6: 6/30 = 1/5.
  3. ירוק: 15 חלקי 30. מצמצמים ב-15: 15/30 = 1/2.
  4. בדיקה: 3/10 + 1/5 + 1/2 = 3/10 + 2/10 + 5/10 = 10/10 = 1.

תשובה: אדום: 3/10. כחול: 1/5. ירוק: 1/2.

2. קובייה נזרקה 50 פעמים, והתקבל המספר "1" ב-6 מהזריקות. מהי השכיחות היחסית של התוצאה "1", כשבר מצומצם וכעשרוני?תרגול
  1. השכיחות היחסית היא מספר הפעמים שהתקבל "1" חלקי מספר הזריקות הכולל: 6 חלקי 50.
  2. מצמצמים: 6/50 = 3/25.
  3. הופכים לעשרוני: 3/25 = 0.12.

תשובה: השכיחות היחסית של התוצאה "1" היא 3/25 = 0.12.

3. מועדון קריאה א' מונה 50 חברים, ו-15 מהם קראו יותר משלושה ספרים החודש. מועדון קריאה ב' מונה 20 חברים, ו-8 מהם קראו יותר משלושה ספרים החודש. באיזה מועדון יש יחסית יותר "קוראים כבדים"? הסבירו לפי השכיחות היחסית.תרגול
  1. מועדון א': שכיחות יחסית = 15 חלקי 50 = 0.3.
  2. מועדון ב': שכיחות יחסית = 8 חלקי 20 = 0.4.
  3. משווים: 0.4 (מועדון ב') גדול מ-0.3 (מועדון א'), למרות שבמספרים מוחלטים במועדון א' יש יותר "קוראים כבדים" (15 מול 8).

תשובה: במועדון ב' יש יחסית יותר "קוראים כבדים" (שכיחות יחסית 0.4, לעומת 0.3 במועדון א'), למרות שבמספר המוחלט מועדון א' מוביל.

4. בסקר תחביבים נמצא: ציור - שכיחות יחסית 0.25, ספורט - 0.35, קריאה - 0.15, ומוזיקה - שכיחות יחסית לא ידועה. מהי השכיחות היחסית של מוזיקה?שאלה בהקשר
  1. ידוע שסכום כל השכיחויות היחסיות חייב להיות בדיוק 1.
  2. מחברים את השכיחויות הידועות: 0.25+0.35+0.15 = 0.75.
  3. השכיחות היחסית החסרה (מוזיקה) היא ההפרש: 1 - 0.75 = 0.25.

תשובה: השכיחות היחסית של מוזיקה היא 0.25.

5. בכיתה יש 32 תלמידים, והשכיחות היחסית של תלמידים עם חיית מחמד בבית היא 0.375. כמה תלמידים בכיתה יש להם חיית מחמד?שאלה בהקשר
  1. השכיחות היחסית היא החלק מתוך השלם, ולכן מספר התלמידים עם חיית מחמד = השכיחות היחסית כפול מספר התלמידים הכולל.
  2. מחשבים: 0.375 × 32 = 12.

תשובה: 12 תלמידים בכיתה יש להם חיית מחמד.

6. בסקר על העונה האהובה, השכיחות היחסית של הבוחרים ב"קיץ" היא 2/5, ומספר הבוחרים בקיץ הוא 24. כמה משתתפים היו בסקר בסך הכול?שאלה בהקשר
  1. השכיחות היחסית היא מספר הבוחרים בקיץ חלקי סך המשתתפים, כלומר 2/5 = 24 חלקי (סך המשתתפים).
  2. כדי למצוא את סך המשתתפים, מחלקים את 24 בשכיחות היחסית 2/5, וזה שקול להכפלה בהופכי: 24 × 5/2.
  3. מחשבים: 24 × 5 = 120, ו-120/2 = 60.

תשובה: היו בסך הכול 60 משתתפים בסקר.

לזכירה

  • שכיחות יחסית של ערך מתקבלת מחלוקת השכיחות שלו במספר הנתונים הכולל - היא מתארת איזה חלק (שבר) מתוך השלם, ותמיד בין 0 ל-1.
  • כדי להשוות בהגינות בין קבוצות בגדלים שונים, צריך להשוות שכיחות יחסית ולא שכיחות בלבד - אותה שכיחות יכולה לייצג חלק יחסי שונה בקבוצות בגדלים שונים.
  • בשלב זה כותבים שכיחות יחסית כשבר מצומצם או כשבר עשרוני, בלי להשתמש באחוזים.
  • שכיחות יחסית מחושבת באותה דרך גם עבור נתונים מספריים (כמותיים) וגם עבור נתונים שמיים (איכותיים).
  • סכום כל השכיחויות היחסיות של כל הערכים האפשריים שווה תמיד בדיוק 1 - זו בדיקה שימושית לוודא שהחישוב נכון.
הקודםסטטיסטיקה: איסוף וארגון נתונים בטבלה, ברשימה, מגוון דיאגרמות ודרכים ויזואליות נוספות. שכיחות של נתונים.הבאהסתברות ברמה אינטואיטיבית בהקשר של שכיחות יחסית כפי שבאה לידי ביטוי בסטטיסטיקה.