משוואות ופתרונן
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! 🐌 תחשבו על משוואה כמו על מאזניים מאוזנים: מה שעושים לצד אחד - חייבים לעשות בדיוק אותו דבר לצד השני, אחרת האיזון מתקלקל. אם אתם תקועים, שאלו את עצמכם: "מה מפריע ל-x להיות לבד?" ואז בטלו את זה בעדינות - חסרו, הוסיפו, חלקו או הכפילו באותו מספר משני הצדדים, צעד אחד בכל פעם. ותמיד, תמיד אפשר לבדוק את התשובה שלכם על ידי הצבה חזרה במשוואה המקורית - אם שני הצדדים יוצאים שווים, ניצחתם!
מה זה בכלל משוואה?
משוואה היא כמו משפט מתמטי עם סימן שוויון (=), שיש בו מספר לא ידוע - בדרך כלל קוראים לו x. לדוגמה, x + 3 = 10 היא משוואה: היא אומרת שיש מספר מסתורי, שאם מוסיפים לו 3, מקבלים 10. ה-x הוא בדיוק כמו תיבה סגורה שצריך לגלות מה יש בפנים.
מה זה 'פתרון' של משוואה?
הפתרון של משוואה הוא המספר שאפשר להציב במקום x כך שהמשוואה תהיה נכונה - ששני הצדדים באמת שווים. במשוואה x + 3 = 10 הפתרון הוא x = 7, כי 7 + 3 = 10 באמת. כדי לבדוק אם מספר מסוים הוא הפתרון הנכון, פשוט מציבים אותו במקום x ובודקים אם שני הצדדים יוצאים שווים - זו הדרך הכי בטוחה לוודא שלא טעינו.
פותרים משוואה: עקרון האיזון
כדי לפתור משוואה, בודדים את x - כלומר משאירים אותו לבד בצד אחד. עושים את זה על ידי חיסור, חיבור, כפל או חילוק - אבל תמיד באותו הדבר משני צדי המשוואה, בדיוק כמו מאזניים שצריך לשמור עליהם מאוזנים. למשל, במשוואה 2x + 5 = 17: קודם מחסרים 5 משני הצדדים ומקבלים 2x = 12, ואז מחלקים ב-2 משני הצדדים ומקבלים x = 6.
כשיש x משני צדי המשוואה
לפעמים ה-x מופיע גם בצד שמאל וגם בצד ימין של המשוואה, למשל 5x - 2 = 2x + 7. במקרה כזה, קודם כל מעבירים את כל איברי ה-x לצד אחד (על ידי חיסור אותו איבר x משני הצדדים), עד שנשאר רק x אחד בצד אחד ומספרים בצד השני. אחרי זה ממשיכים לפתור בדיוק כמו קודם - עם חיבור, חיסור, כפל וחילוק משני הצדדים.
משוואות בהקשרים: כשסיפור הופך למשוואה
לפעמים השאלה לא נתונה כמשוואה מוכנה, אלא כסיפור מהחיים - למשל על מחירים, גילאים או צורות. השלב הראשון הוא להחליט מה הוא ה-x, כלומר מה בדיוק לא ידוע. אחר כך מתרגמים כל משפט בסיפור לביטוי מתמטי עם x, בונים משוואה, ופותרים אותה בדיוק כמו כל משוואה אחרת - ולבסוף בודקים שהתשובה הגיונית בהקשר הסיפור.
דוגמאות פתורות
פתרו את המשוואה: 4x + 3 = 19
- המטרה היא לבודד את x - להשאיר אותו לבד בצד אחד של המשוואה.
- נחסר 3 משני צדי המשוואה (כדי לשמור על האיזון): 4x + 3 - 3 = 19 - 3, ולכן 4x = 16.
- נחלק את שני הצדדים ב-4: 4x/4 = 16/4, ולכן x = 4.
- בדיקה: נציב x=4 במשוואה המקורית: 4·4 + 3 = 16 + 3 = 19. מתאים בדיוק!
תשובה: x = 4
פתרו את המשוואה: 5x - 2 = 2x + 7
- יש איברי x משני צדי המשוואה, אז קודם צריך להעביר את כולם לצד אחד. נחסר 2x משני הצדדים: 5x - 2x - 2 = 2x - 2x + 7, ולכן 3x - 2 = 7.
- עכשיו נוסיף 2 לשני הצדדים כדי לבטל את ה-2-: 3x - 2 + 2 = 7 + 2, ולכן 3x = 9.
- נחלק את שני הצדדים ב-3: x = 3.
- בדיקה: צד שמאל: 5·3 - 2 = 15 - 2 = 13. צד ימין: 2·3 + 7 = 6 + 7 = 13. שני הצדדים שווים - מצוין!
תשובה: x = 3
כרטיס לסרט עולה x שקלים. משפחה קנתה 4 כרטיסים, וגם פופקורן ב-12 שקלים. בסך הכל היא שילמה 172 שקלים. מה מחיר כרטיס אחד?
- השלב הראשון: לתרגם את הסיפור למשוואה. מחיר 4 כרטיסים הוא 4x, ובנוסף שילמו 12 שקלים על הפופקורן, והסכום הכולל הוא 172 שקלים. המשוואה: 4x + 12 = 172.
- נחסר 12 משני הצדדים: 4x + 12 - 12 = 172 - 12, ולכן 4x = 160.
- נחלק את שני הצדדים ב-4: x = 40.
- בדיקה בהקשר הסיפור: 4 כרטיסים ב-40 שקלים = 160 שקלים, ועוד 12 שקלים על פופקורן = 172 שקלים בדיוק. מתאים!
תשובה: כרטיס אחד עולה 40 שקלים (x = 40)
תרגול
1. פתרו את המשוואה: 2x + 5 = 17תרגול
- המטרה: לבודד את x, כלומר להשאיר אותו לבד בצד אחד.
- נחסר 5 משני צדי המשוואה: 2x + 5 - 5 = 17 - 5, ולכן 2x = 12.
- נחלק את שני הצדדים ב-2: x = 6.
- בדיקה: נציב x=6 במשוואה המקורית: 2·6 + 5 = 12 + 5 = 17. מתאים!
תשובה: x = 6
2. פתרו את המשוואה: 7x - 4 = 24תרגול
- נוסיף 4 לשני הצדדים כדי לבטל את ה-4-: 7x - 4 + 4 = 24 + 4, ולכן 7x = 28.
- נחלק את שני הצדדים ב-7: x = 4.
- בדיקה: 7·4 - 4 = 28 - 4 = 24. מתאים!
תשובה: x = 4
3. פתרו את המשוואה: 20 = 4x + 8 (שימו לב - המספר בצד שמאל וה-x בצד ימין, וזה בסדר גמור)תרגול
- אפשר לעבוד עם המשוואה בדיוק כרגיל, גם כשה-x לא בצד שמאל.
- נחסר 8 משני הצדדים: 20 - 8 = 4x + 8 - 8, ולכן 12 = 4x.
- נחלק ב-4: 3 = x, כלומר x = 3.
- בדיקה: 4·3 + 8 = 12 + 8 = 20. מתאים!
תשובה: x = 3
4. פתרו את המשוואה: 3x + 8 = 5x - 2 (יש x משני הצדדים!)תרגול
- יש איברי x משני צדי המשוואה, אז קודם נעביר את כולם לצד אחד. נחסר 3x משני הצדדים: 3x - 3x + 8 = 5x - 3x - 2, ולכן 8 = 2x - 2.
- עכשיו נוסיף 2 לשני הצדדים: 8 + 2 = 2x - 2 + 2, ולכן 10 = 2x.
- נחלק ב-2: x = 5.
- בדיקה: צד שמאל: 3·5 + 8 = 15 + 8 = 23. צד ימין: 5·5 - 2 = 25 - 2 = 23. שני הצדדים שווים - מצוין!
תשובה: x = 5
5. לירון קנתה 5 מחברות באותו המחיר, וגם עט אחד ב-8 שקלים. בסך הכל היא שילמה 53 שקלים. כמה עלתה מחברת אחת?שאלה בהקשר
- נגדיר: x = המחיר של מחברת אחת (בשקלים).
- נתרגם את הסיפור למשוואה: מחיר 5 המחברות הוא 5x, ובנוסף שילמו 8 שקלים על העט, וסך הכל 53 שקלים. המשוואה: 5x + 8 = 53.
- נחסר 8 משני הצדדים: 5x = 45.
- נחלק ב-5: x = 9.
- בדיקה בהקשר הסיפור: 5 מחברות ב-9 שקלים = 45 שקלים, ועוד 8 שקלים על העט = 53 שקלים. מתאים!
תשובה: מחברת אחת עולה 9 שקלים
6. אורי חושב על מספר. הוא הכפיל אותו ב-4, ואז הוסיף 6, וקיבל 30. על איזה מספר חשב אורי?שאלה בהקשר
- נגדיר: x = המספר שאורי חושב עליו.
- נתרגם למשוואה: הכפלה ב-4 נותנת 4x, הוספת 6 נותנת 4x + 6, וזה שווה ל-30. המשוואה: 4x + 6 = 30.
- נחסר 6 משני הצדדים: 4x = 24.
- נחלק ב-4: x = 6.
- בדיקה: 6·4 = 24, ועוד 6 = 30. מתאים!
תשובה: אורי חשב על המספר 6
7. אורכו של מלבן הוא x ס"מ, ורוחבו קבוע ותמיד שווה ל-5 ס"מ. את ההיקף של מלבן כזה אפשר לכתוב כ-2x + 10 (כי פעמיים הרוחב הקבוע הוא תמיד 2·5 = 10). נתון שההיקף הוא 26 ס"מ. מה אורך המלבן?שאלה בהקשר
- נגדיר: x = אורך המלבן (בס"מ). הרוחב קבוע ושווה תמיד ל-5 ס"מ.
- היקף המלבן הוא 2x + 10 (כפי שנאמר בשאלה), וזה שווה ל-26. המשוואה: 2x + 10 = 26.
- נחסר 10 משני הצדדים: 2x + 10 - 10 = 26 - 10, ולכן 2x = 16.
- נחלק את שני הצדדים ב-2: x = 8.
- בדיקה: אם האורך הוא 8, ההיקף הוא 2·8 + 10 = 16 + 10 = 26. מתאים!
תשובה: אורך המלבן הוא 8 ס"מ
8. אימא בת 34. גילה של אימא גדול פי 2 מגילו של דותן, ועוד 4 שנים. בן כמה דותן?שאלה בהקשר
- נגדיר: x = גילו של דותן.
- נתרגם למשוואה: פי 2 מגיל דותן זה 2x, ועוד 4 שנים זה 2x + 4, וזה שווה לגיל אימא, 34. המשוואה: 2x + 4 = 34.
- נחסר 4 משני הצדדים: 2x = 30.
- נחלק ב-2: x = 15.
- בדיקה: 2·15 = 30, ועוד 4 = 34. מתאים!
תשובה: דותן בן 15
לזכירה
- משוואה היא משפט מתמטי עם סימן שוויון (=) שיש בו נעלם - בדרך כלל x.
- פתרון של משוואה הוא המספר שכשמציבים אותו במקום x, שני הצדדים יוצאים שווים - וכך גם בודקים תשובה.
- פותרים משוואה לפי עקרון האיזון: מה שעושים לצד אחד (חיבור, חיסור, כפל או חילוק באותו מספר) חייבים לעשות גם לצד השני.
- אם יש x משני צדי המשוואה, קודם מעבירים את כל איברי ה-x לצד אחד, ורק אחר כך ממשיכים לבודד אותו.
- בשאלות בהקשרים: מגדירים מה זה x, מתרגמים את הסיפור למשוואה, פותרים, ותמיד בודקים שהתשובה הגיונית לסיפור המקורי.