לומדי

סטטיסטיקה: איסוף וארגון נתונים בטבלה, ברשימה, מגוון דיאגרמות ודרכים ויזואליות נוספות. שכיחות של נתונים.

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! אתם עומדים להפוך לבלשי נתונים. כל פעם שיש לכם ערימה גדולה ומבלבלת של תשובות או מדידות, המשימה שלכם היא לארגן אותה כך שכל אחד יוכל להבין אותה במבט אחד. שאלו את עצמכם שלוש שאלות פשוטות: האם קבעתי קריטריון מיון שבאמת הגיוני? האם כל נתון שייך לקבוצה אחת בלבד (ולא לשתיים)? והאם לכל נתון יש בכלל קבוצה משלו? אם עניתם כן לשלושתם - הטבלה שלכם תהיה מסודרת ואמינה, ומשם קל להפוך אותה לציור שמספר את הסיפור שבתוך הנתונים.

נתון, משתנה ושכיחות – מושגי יסוד

כשאוספים מידע על קבוצה של אנשים או דברים, כל תשובה בודדת שאנחנו רושמים נקראת נתון. הדבר שאנחנו שואלים או מודדים עליו (למשל "מה המקצוע האהוב עליך?" או "כמה שעות ישנת אתמול?") נקרא משתנה, וכל תשובה אפשרית לשאלה הזו ("מתמטיקה", "7 שעות") נקראת ערך של המשתנה. שכיחות של ערך מסוים היא פשוט מספר הפעמים שהערך הזה הופיע באוסף הנתונים שאספנו - למשל, אם 6 תלמידים מתוך כיתה ענו שהמקצוע האהוב עליהם הוא מתמטיקה, אז השכיחות של הערך "מתמטיקה" היא 6.

איך ממיינים נתונים נכון – שלושה כללים

לפני שסופרים שכיחות, צריך למיין את הנתונים לקבוצות, וכדי שהמיון יהיה שימושי הוא צריך לקיים שלושה כללים. א. קובעים קריטריון מיון משמעותי - כזה שבאמת עוזר להבין את הנתונים, ולא מיון שרירותי. ב. הקבוצות הממוינות חייבות להיות זרות זו לזו - כלומר, כל נתון שייך לקבוצה אחת בלבד, ואף פעם לא לשתיים. ג. הקבוצות הממוינות חייבות למצות את כל האפשרויות שבנתונים - כלומר, לכל נתון חייבת להיות קבוצה שהוא שייך אליה, בלי "נתונים אבודים" שלא הוכנסו לשום קבוצה. לדוגמה, אם ממיינים תלמידים לפי חוג אחר-הצהריים לקבוצות "ספורט" ו"כדורגל" בנפרד - זה מיון פגום, כי כדורגל הוא סוג של ספורט, ותלמיד שמשחק כדורגל שייך לכאורה לשתי הקבוצות גם יחד (הפרת כלל ב').

מארגנים נתונים בטבלת שכיחויות

כשיש לנו רשימה ארוכה וגולמית של נתונים (למשל תשובות של כל תלמידי הכיתה), קשה להבין ממנה משהו במבט אחד - לכן מארגנים אותה בטבלת שכיחויות. השלבים: (1) עוברים על הרשימה ערך אחר ערך, ומסמנים כל פעם שערך מסוים מופיע (למשל בקו קטן ליד הערך). (2) בונים טבלה עם שתי עמודות - בעמודה הראשונה כל הערכים האפשריים (לפי כללי המיון שלמדנו), ובעמודה השנייה השכיחות של כל ערך. (3) בודקים שסכום כל השכיחויות בטבלה שווה בדיוק למספר הכולל של הנתונים ברשימה המקורית - זו בדיקה חשובה שמוודאת שלא פספסנו ולא ספרנו נתון פעמיים.

דרכים ויזואליות להציג נתונים: עמודות, פיקטוגרמה ועיגול

אחרי שיש לנו טבלת שכיחויות, אפשר להציג אותה גם בציור, כדי שיהיה קל יותר להבין את הנתונים במבט אחד. בדיאגרמת עמודות (או דיאגרמת מקלות) מציירים עמודה לכל ערך, וגובה העמודה מייצג את השכיחות שלו - קל להשוות בין ערכים לפי גובה העמודות. בדיאגרמת ציורים (פיקטוגרמה) מייצגים כל ערך בשורה של סמלים (איורים קטנים), כשכל סמל מייצג מספר קבוע של יחידות (למשל, סמל אחד = 2 תלמידים) - חשוב תמיד לכתוב את מפתח הסמל בבירור. בדיאגרמת עיגול (עוגה) מחלקים עיגול שלם לפלחים, וכל פלח מייצג את החלק היחסי שערך מסוים תופס מתוך כלל הנתונים - היא מתאימה במיוחד כשרוצים להדגיש איזה חלק מהשלם כל קבוצה מהווה.

נתונים מספריים לעומת נתונים שמיים, ומעבר בין ייצוגים

יש שני סוגים עיקריים של נתונים: נתונים מספריים (כמותיים), כמו גובה, גיל או ציון, ונתונים שמיים (איכותיים), כמו צבע אהוב או מקצוע אהוב - ערכים שהם מילים או קטגוריות ולא מספרים. אפשר לספור שכיחות עבור שני הסוגים בדיוק באותה דרך. חשוב לדעת לעבור בין דרכי ייצוג שונות של אותם נתונים בדיוק - מטבלה לדיאגרמת עמודות, מדיאגרמת עמודות לטבלה, מטבלה לדיאגרמת עיגול וכן הלאה - כי כל ייצוג מדגיש היבט קצת אחר של אותו מידע בדיוק, אבל הנתונים שמאחוריו נשארים זהים.

דוגמאות פתורות

20 תלמידים ענו מהו המקצוע האהוב עליהם. אלה התשובות שנאספו, לפי סדר שאילת השאלה: ספורט, מתמטיקה, ספורט, מתמטיקה, אנגלית, אנגלית, מתמטיקה, ספורט, מתמטיקה, מתמטיקה, אנגלית, ספורט, מדעים, ספורט, אנגלית, ספורט, מתמטיקה, מדעים, מדעים, ספורט. ארגנו את הנתונים בטבלת שכיחויות, ומצאו איזה מקצוע קיבל את מספר הבחירות הגבוה ביותר.

  1. עוברים על הרשימה ערך אחר ערך וסופרים כמה פעמים כל מקצוע מופיע: "מתמטיקה" מופיעה במקומות 2,4,7,9,10,17 - שש פעמים. "ספורט" מופיע במקומות 1,3,8,12,14,16,20 - שבע פעמים. "אנגלית" מופיעה במקומות 5,6,11,15 - ארבע פעמים. "מדעים" מופיע במקומות 13,18,19 - שלוש פעמים.
  2. בונים טבלת שכיחויות עם שתי עמודות - המקצוע והשכיחות שלו: מתמטיקה - 6, ספורט - 7, אנגלית - 4, מדעים - 3.
  3. בודקים: סכום השכיחויות הוא 6+7+4+3=20, וזה בדיוק מספר התלמידים שנשאלו - כל הנתונים חושבו, בלי כפילויות ובלי נתון שנשכח.
  4. משווים בין השכיחויות בטבלה ומחפשים את הגדולה מביניהן: 7 (ספורט) גדולה מ-6, 4 ו-3.

תשובה: טבלת השכיחויות: מתמטיקה - 6, ספורט - 7, אנגלית - 4, מדעים - 3. המקצוע עם מספר הבחירות הגבוה ביותר הוא ספורט, עם 7 בחירות.

בספרייה בית-ספרית נספרו הספרים שהושאלו החודש לפי ז'אנר: מסתורין - 12, פנטזיה - 18, קומדיה - 6, הרפתקאות - 9. א. כמה ספרים הושאלו בסך הכול? ב. איזה חלק (שבר מצומצם) מכלל ההשאלות היה ספרי קומדיה?

  1. סעיף א: מחברים את כל השכיחויות בטבלה: 12+18+6+9 = 45. זהו סך כל הספרים שהושאלו באותו חודש.
  2. סעיף ב: כדי למצוא את החלק שספרי קומדיה מהווים מתוך הכול, בונים שבר: מספר ספרי הקומדיה חלקי סך כל הספרים, כלומר 6 מתוך 45.
  3. מצמצמים את השבר 6/45: שני המספרים מתחלקים ב-3, ומקבלים 2/15. אי אפשר לצמצם עוד, כי ל-2 ול-15 אין מחלק משותף נוסף (חוץ מ-1).

תשובה: א. הושאלו בסך הכול 45 ספרים. ב. ספרי קומדיה מהווים 2/15 מכלל ההשאלות.

תרגול

1. 15 ילדים בגן ציון בחרו את טעם הגלידה האהוב עליהם: וניל - 5 ילדים, שוקולד - 6 ילדים, תות - 4 ילדים. בדקו שהטבלה מכסה את כל 15 הילדים, ומצאו איזה טעם הכי פחות פופולרי.תרגול
  1. מחברים את השכיחויות בטבלה: 5+6+4=15 - הסכום מתאים בדיוק ל-15 הילדים, כך שהטבלה שלמה.
  2. משווים בין השכיחויות ומחפשים את הקטנה מביניהן: 4 (תות) קטנה מ-5 (וניל) ומ-6 (שוקולד).

תשובה: הטבלה שלמה (5+6+4=15). הטעם הכי פחות פופולרי הוא תות, עם 4 בחירות בלבד.

2. מורה רצה למיין את התלמידים בכיתה לפי חוג אחר-הצהריים שלהם, לקבוצות "ספורט", "כדורסל" ו"מוזיקה". תלמיד שאלה: "לאיזו קבוצה שייך תלמיד שהחוג שלו הוא כדורסל?" הסבירו איזה כלל מיון הופר כאן, ואיך אפשר לתקן את המיון.תרגול
  1. בודקים את שלושת כללי המיון: קריטריון משמעותי - יש; קבוצות ממצות - נראה שכן; קבוצות זרות זו לזו - כאן הבעיה.
  2. "כדורסל" הוא בעצם סוג של "ספורט", כך שתלמיד שמשחק כדורסל שייך גם לקבוצה "כדורסל" וגם לקבוצה "ספורט" - הקבוצות אינן זרות זו לזו, וזו הפרה של כלל ב'.
  3. כדי לתקן: אפשר להשתמש בקטגוריות באותה רמה שאינן חופפות, למשל "כדורסל", "שחייה", "מוזיקה" (כל אחת ענף ספציפי, לא כללי), או לחלופין להשאיר רק "ספורט" ו"מוזיקה" בלי לפרט ענף ספציפי בתוך ספורט.

תשובה: הופר כלל ב' (הקבוצות חייבות להיות זרות זו לזו) - "כדורסל" הוא תת-קבוצה של "ספורט", ולכן תלמיד ששיחק כדורסל שייך לכאורה לשתי הקבוצות. אפשר לתקן על ידי בחירת קטגוריות מאותה רמה שאינן חופפות, למשל "כדורסל", "שחייה" ו"מוזיקה".

3. בקבוצת תנועה נאספו נתונים על מספר החברים שהצטרפו לכל שבט: שבט צפון - 24, שבט דרום - 18, שבט מרכז - 30. אם רוצים להציג את הנתונים בפיקטוגרמה שבה כל סמל מייצג 6 חברים, כמה סמלים (כולל חלקי סמל אם צריך) יופיעו ליד כל שבט?תרגול
  1. כדי למצוא כמה סמלים דרושים לכל שבט, מחלקים את השכיחות של כל שבט ב-6 (מספר החברים לכל סמל).
  2. שבט צפון: 24/6=4 סמלים. שבט דרום: 18/6=3 סמלים. שבט מרכז: 30/6=5 סמלים.
  3. בשלושת המקרים החלוקה יצאה שלמה בדיוק, כך שאין צורך בחלקי סמל.

תשובה: שבט צפון - 4 סמלים, שבט דרום - 3 סמלים, שבט מרכז - 5 סמלים.

4. בבית קולנוע נספרו הצופים שבחרו כל ז'אנר סרט בסוף השבוע, והתוצאות הוצגו בדיאגרמת עמודות: אקשן - 10 צופים, קומדיה - 6 צופים, אנימציה - 4 צופים. תארו איך תבנו פיקטוגרמה חלופית לאותם נתונים, כשכל סמל מייצג 2 צופים - כמה סמלים יהיו בכל שורה?שאלה בהקשר
  1. ראשית בוחרים מפתח ברור: מציינים בכותרת הפיקטוגרמה שכל סמל = 2 צופים.
  2. מחלקים כל שכיחות ב-2 כדי למצוא כמה סמלים דרושים: אקשן - 10/2=5 סמלים, קומדיה - 6/2=3 סמלים, אנימציה - 4/2=2 סמלים.
  3. מציירים שורה לכל ז'אנר, עם מספר הסמלים המתאים בכל שורה, ומיישרים את השורות זו מתחת לזו כדי שיהיה קל להשוות ביניהן במבט אחד.

תשובה: אקשן - 5 סמלים, קומדיה - 3 סמלים, אנימציה - 2 סמלים (כל סמל מייצג 2 צופים).

5. בדיאגרמת עיגול של סקר חוגים בשכבת ח' מצוין: אומנות - 20%, ספורט - 45%, מוזיקה - 35%. ידוע שמספר התלמידים שבחרו ספורט הוא 90. א. כמה תלמידים יש בסך הכול בשכבה? ב. כמה תלמידים בחרו במוזיקה?שאלה בהקשר
  1. סעיף א: 90 תלמידים מהווים 45% מכלל השכבה. כדי למצוא את הכלל, מחלקים: 90 חלקי 0.45.
  2. מחשבים: 90 / 0.45 = 200. כלומר יש 200 תלמידים בסך הכול בשכבה.
  3. סעיף ב: מוזיקה היא 35% מתוך 200 התלמידים, ולכן מספר הבוחרים במוזיקה הוא 0.35 כפול 200.
  4. מחשבים: 0.35 × 200 = 70.

תשובה: א. יש 200 תלמידים בשכבה בסך הכול. ב. 70 תלמידים בחרו במוזיקה.

6. מועדון קוראים ריכז נתונים על ספרים שהושאלו, אך הציג אותם בשתי דרכים שונות: תלמיד א' בנה טבלת שכיחויות, ותלמיד ב' בנה דיאגרמת עמודות מאותם נתונים בדיוק. הסבירו במילים שלכם למה שתי הדרכים האלה יכולות להיות נכונות גם יחד, למרות שהן נראות שונה לגמרי.שאלה בהקשר
  1. טבלה ודיאגרמת עמודות הן שני ייצוגים שונים לאותו מידע בדיוק - הנתונים שמאחוריהם זהים לגמרי, רק הצורה החיצונית שונה.
  2. בטבלה קוראים את השכיחות כמספר בעמודה; בדיאגרמת עמודות קוראים אותה כגובה העמודה - אבל שתיהן אמורות לתת בדיוק אותה שכיחות לכל ערך.
  3. לכן שתי הדרכים יכולות להיות נכונות גם יחד - הן פשוט מציגות את אותו המידע בשתי צורות שונות, וכל אחת עשויה להתאים יותר למטרה מסוימת (הטבלה לקריאת מספרים מדויקים, הדיאגרמה להשוואה מהירה במבט).

תשובה: טבלת שכיחויות ודיאגרמת עמודות הן שני ייצוגים שונים לאותם נתונים בדיוק, ולכן שתיהן יכולות להיות נכונות גם יחד - ההבדל הוא רק בצורת ההצגה, לא בנתונים עצמם.

לזכירה

  • שכיחות של ערך היא מספר הפעמים שהוא מופיע באוסף הנתונים. כדי למיין נתונים לקבוצות, הקבוצות חייבות לקיים שלושה כללים: קריטריון משמעותי, קבוצות זרות זו לזו, וקבוצות שממצות את כל האפשרויות.
  • בונים טבלת שכיחויות על ידי מעבר על הנתונים ערך אחר ערך וספירתם, ומוודאים שסכום השכיחויות שווה למספר הנתונים הכולל.
  • אותם נתונים אפשר להציג בכמה דרכים ויזואליות: דיאגרמת עמודות (גובה=שכיחות), פיקטוגרמה (סמלים לפי מפתח קבוע) ודיאגרמת עיגול (פלחים=חלק יחסי מהשלם) - כל ייצוג מדגיש היבט אחר של אותו מידע.
  • נתונים יכולים להיות מספריים (כמותיים, כמו גיל) או שמיים (איכותיים, כמו צבע אהוב) - אפשר לספור שכיחות עבור שני הסוגים.
  • חשוב לדעת לעבור בין ייצוגים שונים של אותם נתונים - מטבלה לדיאגרמה ולהפך - כי הנתונים שמאחוריהם נשארים זהים.
הקודםחזקות עם מעריך טבעי ושורש ריבועי חיוביהבאסטטיסטיקה – שכיחות יחסית (ללא אחוזים).