חיבור וחיסור מספרים מכוונים
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! בואו נחשוב על זה ככה: מספר מכוון הוא כמו צעד על קו ישר – מספר חיובי הוא צעד קדימה, ומספר שלילי הוא צעד אחורה. אם שני הצעדים באותו כיוון, פשוט סופרים כמה צעדים עשיתם ביחד ונשארים באותו כיוון. אבל אם הצעדים הפוכים, בודקים מי "ניצח" – מי היה גדול יותר – ותופסים את הכיוון שלו, עם ההפרש ביניהם. ותמיד תזכרו: לחסר מספר זה בדיוק כמו לחבר את הנגדי שלו, אז אף פעם אל תפחדו מסימן מינוס – רק הפכו אותו לחיבור, ותהיה לכם דרך ברורה!
תזכורת: מספר מכוון ונגדי שלו
כזכור, מספר מכוון הוא מספר עם סימן (+ או -) שמראה כיוון ביחס לאפס. לכל מספר יש גם נגדי – מספר עם אותו ערך אבל סימן הפוך, כמו 7 ו-7-. עכשיו נלמד איך מחברים ומחסרים מספרים כאלה.
חיבור מספרים מכוונים באותו סימן
כשמחברים שני מספרים עם אותו סימן (שניהם חיוביים או שניהם שליליים), פשוט מחברים את הערכים המוחלטים שלהם (כלומר, בלי הסימן) ושומרים על הסימן המשותף. לדוגמה: (-7) + (-4) – שניהם שליליים, אז מחברים 7+4=11 ושומרים על המינוס: התוצאה -11. זה כמו ללכת שני צעדים אחורה ואז עוד ארבעה צעדים אחורה – בסך הכול הלכתם 11 צעדים אחורה.
חיבור מספרים מכוונים בסימנים שונים
כשמחברים שני מספרים עם סימנים שונים (אחד חיובי ואחד שלילי), מחסרים את הערך המוחלט הקטן מהגדול, והתוצאה מקבלת את הסימן של המספר עם הערך המוחלט הגדול יותר. לדוגמה: -5 + 8 – הערכים המוחלטים הם 5 ו-8, ההפרש הוא 3, והסימן הוא של 8 (חיובי), אז התוצאה +3. זה כמו שני כוחות מושכים לכיוונים הפוכים – מי שחזק יותר קובע את הכיוון, וההפרש בין הכוחות הוא התוצאה. מקרה פרטי: אם שני המספרים נגדיים, כלומר יש להם אותו ערך מוחלט (כמו 5 ו-5-), ההפרש ביניהם הוא 0 – למשל 5 + (-5) = 0.
חיסור מספרים מכוונים
לחסר מספר מכוון זה בדיוק כמו לחבר את הנגדי שלו: מספר ראשון פחות מספר שני שווה למספר ראשון ועוד הנגדי של המספר השני. אז כל תרגיל חיסור אפשר להפוך לתרגיל חיבור, ואז להשתמש בכללים שכבר למדנו. לדוגמה: 6 - 10 = 6 + (-10) = -4. וגם: -3 - (-5) = -3 + 5 = 2 – כי הנגדי של 5- הוא 5.
כמה פעולות ברצף
כשיש תרגיל עם כמה חיבורים וחיסורים ברצף, כמו (-3) + 7 - 5, קודם הופכים כל חיסור לחיבור של הנגדי: (-3) + 7 + (-5), ואז מחשבים לפי הסדר משמאל לימין, שני מספרים בכל פעם. בדוגמה שלנו: קודם (-3) + 7 = 4, ואז 4 + (-5) = -1. חשוב לעבוד צעד אחר צעד ולא לנחש.
דוגמאות פתורות
בערב הטמפרטורה הייתה 5 מעלות מתחת לאפס (מספר מכוון: 5-). במהלך הלילה הטמפרטורה עלתה ב-8 מעלות. מה הטמפרטורה עכשיו?
- מתרגמים למשפט חשבוני: (-5) + 8.
- יש כאן סימנים שונים (5- שלילי, 8 חיובי).
- מוצאים את הערכים המוחלטים: הערך המוחלט של 5- הוא 5, והערך המוחלט של 8 הוא 8.
- מחסרים את הקטן מהגדול: 8 - 5 = 3.
- התוצאה מקבלת את הסימן של המספר עם הערך המוחלט הגדול יותר – כאן זה 8, שהוא חיובי.
תשובה: 3 מעלות
חשבו: (-7) + (-4)
- שני המספרים שליליים – זה חיבור באותו סימן.
- מחברים את הערכים המוחלטים: 7 + 4 = 11.
- שומרים על הסימן המשותף, שהוא שלילי.
תשובה: -11
חשבו: 6 - 10
- הופכים את פעולת החיסור לחיבור הנגדי: 6 - 10 = 6 + (-10).
- עכשיו זה חיבור בסימנים שונים. הערכים המוחלטים הם 6 ו-10.
- מחסרים את הקטן מהגדול: 10 - 6 = 4.
- התוצאה מקבלת את הסימן של המספר עם הערך המוחלט הגדול יותר – כאן זה 10-, שהוא שלילי.
תשובה: -4
חשבו: -3 - (-5)
- חיסור של מספר שלילי שווה לחיבור הנגדי שלו. הנגדי של 5- הוא 5.
- לכן: -3 - (-5) = -3 + 5.
- יש כאן סימנים שונים. הערכים המוחלטים הם 3 ו-5. מחסרים: 5 - 3 = 2.
- התוצאה מקבלת את הסימן של המספר עם הערך המוחלט הגדול יותר – כאן זה 5, שהוא חיובי.
תשובה: 2
תרגול
1. חשבו: (-4) + (-9)תרגול
- שני המספרים שליליים – זה חיבור באותו סימן.
- מחברים את הערכים המוחלטים: 4 + 9 = 13.
- שומרים על הסימן המשותף, שהוא שלילי: התוצאה היא -13.
תשובה: -13
2. חשבו: 15 + (-7)תרגול
- יש כאן סימנים שונים (15 חיובי, 7- שלילי).
- הערכים המוחלטים הם 15 ו-7. מחסרים את הקטן מהגדול: 15 - 7 = 8.
- הסימן של התוצאה הוא הסימן של המספר עם הערך המוחלט הגדול יותר, כלומר 15 – שהוא חיובי. לכן התוצאה חיובית.
תשובה: 8
3. חשבו: (-6) - 8תרגול
- הופכים את החיסור לחיבור הנגדי: (-6) - 8 = (-6) + (-8).
- עכשיו זה חיבור באותו סימן (שניהם שליליים). מחברים ערכים מוחלטים: 6 + 8 = 14.
- שומרים על הסימן השלילי: התוצאה היא -14.
תשובה: -14
4. חשבו: 10 - (-3)תרגול
- לחסר מספר שלילי זה כמו לחבר את הנגדי שלו: 10 - (-3) = 10 + 3.
- מחברים: 10 + 3 = 13.
תשובה: 13
5. יתרת חשבון הבנק של דנה הייתה 120- ש"ח (כלומר, חוב של 120 ש"ח). ההורים שלה הפקידו לה 200 ש"ח. מה היתרה החדשה בחשבון?שאלה בהקשר
- היתרה החדשה היא היתרה הישנה ועוד ההפקדה: (-120) + 200.
- יש כאן סימנים שונים. הערכים המוחלטים הם 120 ו-200. מחסרים: 200 - 120 = 80.
- הסימן של התוצאה הוא הסימן של המספר עם הערך המוחלט הגדול יותר, כלומר 200 – שהוא חיובי.
תשובה: 80 ש"ח (יתרה חיובית של 80 ש"ח)
6. בבוקר הטמפרטורה בעיר הייתה 3 מעלות. עד הערב היא ירדה ב-10 מעלות. מה הטמפרטורה בערב?שאלה בהקשר
- "ירדה ב-10 מעלות" זה חיסור: 3 - 10.
- הופכים לחיבור הנגדי: 3 - 10 = 3 + (-10).
- יש כאן סימנים שונים. הערכים המוחלטים הם 3 ו-10. מחסרים: 10 - 3 = 7.
- הסימן של התוצאה הוא הסימן של המספר עם הערך המוחלט הגדול יותר – כאן זה 10-, שהוא שלילי.
תשובה: -7 מעלות (7 מעלות מתחת לאפס)
7. מעלית נמצאת בקומת מרתף מספר 2- (שתי קומות מתחת לקרקע). המעלית עלתה 5 קומות. באיזו קומה היא נמצאת עכשיו?שאלה בהקשר
- העלייה של 5 קומות היא חיבור: (-2) + 5.
- יש כאן סימנים שונים. הערכים המוחלטים הם 2 ו-5. מחסרים: 5 - 2 = 3.
- הסימן של התוצאה הוא הסימן של המספר עם הערך המוחלט הגדול יותר, כלומר 5 – שהוא חיובי.
תשובה: קומה 3
8. לדני היה חוב של 40 ש"ח לחברו, כלומר המספר המכוון שמתאר את המצב שלו הוא 40-. דני לווה מאותו חבר עוד 25 ש"ח. מהו החוב הכולל של דני עכשיו, כמספר מכוון?שאלה בהקשר
- החוב הכולל הוא (-40) + (-25).
- שני המספרים שליליים – חיבור באותו סימן. מחברים ערכים מוחלטים: 40 + 25 = 65.
- שומרים על הסימן השלילי: התוצאה היא -65.
תשובה: -65 ש"ח (חוב כולל של 65 ש"ח)
לזכירה
- מספר מכוון הוא מספר עם סימן (+ או -) שמתאר מיקום או כיוון ביחס לאפס.
- חיבור באותו סימן: מחברים ערכים מוחלטים ושומרים על הסימן המשותף.
- חיבור בסימנים שונים: מחסרים את הערך המוחלט הקטן מהגדול, והתוצאה מקבלת את הסימן של המספר עם הערך המוחלט הגדול.
- חיסור שווה לחיבור הנגדי: כל תרגיל חיסור אפשר להפוך לתרגיל חיבור על ידי חיבור הנגדי של המספר המוחסר.
- שני מספרים נגדיים (כמו 7 ו-7-) תמיד מסתכמים לאפס.