לומדי

זוויות

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! זווית זה בעצם רק "כמה פתוח" משהו - כמו דלת שנפתחת קצת, או הרבה. אם מתבלבלים, אפשר תמיד לחזור לשתי זוויות שכבר מכירים היטב: זווית ישרה (90 מעלות) וזווית שטוחה (180 מעלות), ולהשוות אליהן. וזכרו כלל קסם שלעולם לא משתנה: סכום הזוויות בכל משולש הוא תמיד 180 מעלות, ובכל מרובע - תמיד 360 מעלות. בואו נתרגל צעד-צעד, ותראו שזה הרבה יותר קל ממה שזה נראה בהתחלה!

איך מודדים זווית, ואיך אומדים אותה מראש?

זווית היא המרחב שנפתח בין שתי קרניים היוצאות מאותה נקודה, שנקראת קודקוד הזווית. מודדים זווית במעלות, בעזרת כלי בשם מד-זווית: מניחים את מרכז מד הזווית בדיוק על קודקוד הזווית, מיישרים קרן אחת עם קו האפס, וקוראים על הסולם כמה מעלות יש בקרן השנייה. לפני שמודדים בדיוק, כדאי לאמוד (להעריך בערך, בלי כלי מדידה) כמה מעלות יש בזווית, על ידי השוואה לזווית ישרה (90 מעלות) ולזווית שטוחה (180 מעלות) - זה עוזר לבדוק שהתוצאה שקיבלנו הגיונית.

חוצה זווית - הקרן שמחלקת בדיוק לשניים

חוצה זווית הוא קרן שיוצאת מקודקוד הזווית, עובר בתוך הזווית, ומחלק אותה לשתי זוויות שוות בגודלן. לדוגמה, אם הזווית כולה גודלה 80 מעלות, חוצה הזווית שלה יוצר שתי זוויות של 40 מעלות כל אחת. כדי למצוא את גודל כל חלק, פשוט מחלקים את גודל הזווית המקורית ב-2.

סכום והפרש של זוויות

לפעמים זווית גדולה בנויה משתי זוויות קטנות יותר, היושבות זו לצד זו וחולקות קרן משותפת - במקרה כזה, גודל הזווית הגדולה שווה לסכום שתי הזוויות הקטנות. אם ידוע גודל הזווית הגדולה וגודל אחד החלקים, אפשר למצוא את החלק השני על ידי חיסור: הזווית הגדולה פחות החלק הידוע. הכלל הזה עוזר לפתור המון תרגילים שבהם חסר מידע על אחת הזוויות.

זוויות צמודות וזוויות קודקודיות

כששתי זוויות יושבות זו לצד זו על אותו קו ישר, כך שיחד הן יוצרות זווית שטוחה, קוראים להן זוויות צמודות. סכומן של שתי זוויות צמודות הוא תמיד 180 מעלות. כששני קווים ישרים נחתכים בנקודה אחת, נוצרות ארבע זוויות. שתי זוויות הנמצאות זו ממש מול זו (ולא לצד זו) נקראות זוויות קודקודיות. הן תמיד שוות זו לזו בגודלן. אפשר לזכור כך: זוויות "צמודות" יושבות צמוד-צמוד על אותו קו, וזוויות "קודקודיות" נפגשות רק בקודקוד, אחת ממש מול השנייה.

משולש שווה-צלעות, וסכום הזוויות במשולש ובמרובע

במשולש שווה-צלעות שלוש הצלעות שוות זו לזו. לכן גם שלוש הזוויות שוות זו לזו. סכום הזוויות בכל משולש, מכל סוג שהוא, הוא תמיד 180 מעלות. לכן במשולש שווה-צלעות כל זווית שווה ל-180 חלקי 3, כלומר 60 מעלות. גם במרובע (צורה בעלת ארבע צלעות) יש כלל קבוע דומה: סכום הזוויות בכל מרובע הוא תמיד 360 מעלות.

דוגמאות פתורות

זווית שגודלה 70 מעלות מחולקת על ידי חוצה זווית לשני חלקים שווים. מה גודל כל אחד מהחלקים?

  1. חוצה זווית מחלק את הזווית המקורית לשני חלקים שווים בגודלם.
  2. לכן גודל כל חלק שווה לחצי מגודל הזווית המקורית: 70 : 2 = 35 מעלות.

תשובה: כל אחד משני החלקים גודלו 35 מעלות.

שני קווים ישרים נחתכים בנקודה O. אחת הזוויות שנוצרו, נקרא לה זווית A, גודלה 65 מעלות. מה גודל שלוש הזוויות האחרות שנוצרו בנקודת החיתוך?

  1. הזווית הצמודה לזווית A, היושבת לצדה על אותו קו ישר (נקרא לה זווית B), משלימה אותה ל-180 מעלות: 180 - 65 = 115 מעלות.
  2. הזווית הנמצאת ממש מול זווית A (הזווית הקודקודית לה) שווה לה בגודלה: גם 65 מעלות.
  3. הזווית הנמצאת ממש מול זווית B (הזווית הקודקודית לה) שווה לה בגודלה: גם 115 מעלות.

תשובה: שלוש הזוויות האחרות הן 115 מעלות, 65 מעלות ו-115 מעלות (בסך הכול: שתי זוויות של 65 מעלות ושתי זוויות של 115 מעלות).

במשולש ABC, זווית A גודלה 50 מעלות וזווית B גודלה 65 מעלות. מה גודל זווית C?

  1. סכום הזוויות בכל משולש הוא תמיד 180 מעלות.
  2. מחברים את שתי הזוויות הידועות: 50 + 65 = 115 מעלות.
  3. מחסרים את הסכום הזה מ-180 כדי למצוא את הזווית השלישית: 180 - 115 = 65 מעלות.

תשובה: זווית C גודלה 65 מעלות.

תרגול

1. מניחים מד-זווית כך שהמרכז שלו נמצא בדיוק על קודקוד הזווית, וקרן אחת של הזווית מיושרת עם קו האפס של מד הזווית. הקרן השנייה של הזווית עוברת בדיוק על הסימון "55" שעל סולם מד הזווית. מה גודל הזווית שנמדדה?תרגול
  1. מודדים זווית על ידי הנחת מרכז מד הזווית בדיוק על קודקוד הזווית.
  2. מיישרים קרן אחת של הזווית עם קו האפס של מד הזווית.
  3. קוראים על הסולם את המספר שעליו עוברת הקרן השנייה - במקרה הזה 55.

תשובה: גודל הזווית שנמדדה הוא 55 מעלות.

2. מד-זווית הראה שגודלה של זווית מסוימת הוא 100 מעלות. השוו בין המרחק (במעלות) בין הזווית הזאת לבין זווית ישרה (90 מעלות), לבין המרחק בינה לבין זווית שטוחה (180 מעלות). לאיזו משתי הזוויות - הישרה או השטוחה - הזווית קרובה יותר?תרגול
  1. מחשבים את המרחק בין 100 מעלות לבין הזווית הישרה: 100 - 90 = 10 מעלות.
  2. מחשבים את המרחק בין 100 מעלות לבין הזווית השטוחה: 180 - 100 = 80 מעלות.
  3. משווים בין שני המרחקים: 10 מעלות קטן בהרבה מ-80 מעלות.

תשובה: זווית של 100 מעלות קרובה יותר לזווית ישרה (המרחק ממנה הוא רק 10 מעלות, לעומת 80 מעלות מהזווית השטוחה).

3. מסתכלים על זווית מצוירת, בלי למדוד אותה במד-זווית. הזווית נראית פתוחה רק מעט יותר מזווית ישרה, אבל רחוקה מאוד מלהיות זווית שטוחה. מהו האומדן הסביר ביותר לגודל הזווית מבין שלוש האפשרויות הבאות: בערך 95 מעלות, בערך 135 מעלות, או בערך 175 מעלות?תרגול
  1. זווית ישרה גודלה 90 מעלות, וזווית שטוחה גודלה 180 מעלות.
  2. הזווית תוארה כפתוחה רק מעט יותר מזווית ישרה - כלומר קרובה מאוד ל-90 מעלות.
  3. מבין שלוש האפשרויות, זו הקרובה ביותר ל-90 מעלות היא בערך 95 מעלות.

תשובה: האומדן הסביר ביותר הוא בערך 95 מעלות.

4. זווית שגודלה 96 מעלות מחולקת בעזרת חוצה זווית לשני חלקים שווים. מה גודל כל אחד משני החלקים?תרגול
  1. חוצה זווית מחלק כל זווית לשני חלקים שווים בגודלם.
  2. לכן כל חלק שווה לחצי מגודל הזווית המקורית: 96 : 2 = 48.

תשובה: כל אחד משני החלקים גודלו 48 מעלות.

5. זווית גדולה שגודלה 130 מעלות מורכבת משתי זוויות קטנות היושבות זו לצד זו וחולקות קרן משותפת. גודלה של אחת הזוויות הקטנות הוא 45 מעלות. מה גודל הזווית הקטנה השנייה?תרגול
  1. הזווית הגדולה שווה לסכום שתי הזוויות הקטנות שמרכיבות אותה.
  2. כדי למצוא את הזווית הקטנה השנייה, מחסרים מהזווית הגדולה את הזווית הידועה: 130 - 45 = 85.

תשובה: הזווית הקטנה השנייה גודלה 85 מעלות.

6. שני קווים ישרים נחתכים בנקודה אחת, ונוצרות ביניהם ארבע זוויות. מסמנים את ארבע הזוויות 1, 2, 3, 4 לפי הסדר סביב נקודת החיתוך, כך שזווית 1 וזווית 3 נמצאות זו ממש מול זו, וגם זווית 2 וזווית 4 נמצאות זו ממש מול זו. גודל זווית 1 הוא 72 מעלות. מצאו את גודל הזוויות 2, 3 ו-4.תרגול
  1. זווית 3 היא הזווית הקודקודית לזווית 1 (ממש מולה), ולכן היא שווה לה בגודלה: גם 72 מעלות.
  2. זווית 2 יושבת לצד זווית 1 על אותו קו ישר, ולכן היא הזווית הצמודה לה ומשלימה אותה ל-180 מעלות: 180 - 72 = 108 מעלות.
  3. זווית 4 היא הזווית הקודקודית לזווית 2 (ממש מולה), ולכן היא שווה לה בגודלה: גם 108 מעלות.

תשובה: זווית 2 גודלה 108 מעלות, זווית 3 גודלה 72 מעלות, וזווית 4 גודלה 108 מעלות.

7. במשולש, זווית אחת גודלה 42 מעלות וזווית שנייה גודלה 79 מעלות. מה גודל הזווית השלישית?תרגול
  1. סכום הזוויות בכל משולש הוא תמיד 180 מעלות.
  2. מחברים את שתי הזוויות הידועות: 42 + 79 = 121 מעלות.
  3. מחסרים מ-180 את הסכום שקיבלנו כדי למצוא את הזווית השלישית: 180 - 121 = 59 מעלות.

תשובה: הזווית השלישית גודלה 59 מעלות.

8. דלת פתוחה יוצרת זווית של 110 מעלות בין הדלת לבין הקיר. ילד דוחף את הדלת עוד קצת קדימה, וכך נוספת זווית של 15 מעלות לזווית הקודמת. מה גודל הזווית הכוללת בין הדלת הפתוחה עכשיו לבין הקיר?שאלה בהקשר
  1. הזווית הכוללת החדשה שווה לסכום הזווית ההתחלתית והזווית שנוספה.
  2. מחברים: 110 + 15 = 125.

תשובה: הזווית הכוללת בין הדלת לקיר היא עכשיו 125 מעלות.

9. תמרור אזהרה בכביש בנוי בצורת משולש שווה-צלעות (שלוש הצלעות שוות באורכן). מה גודל כל אחת מהזוויות של התמרור?שאלה בהקשר
  1. במשולש שווה-צלעות שלוש הצלעות שוות, ולכן גם שלוש הזוויות שוות זו לזו.
  2. סכום הזוויות בכל משולש הוא 180 מעלות.
  3. מכיוון ששלוש הזוויות שוות, מחלקים את הסכום ב-3: 180 : 3 = 60.

תשובה: כל אחת משלוש הזוויות בתמרור גודלה 60 מעלות.

10. מסגרת תמונה בצורת מרובע (לא בהכרח מלבן). נמדדו שלוש מהזוויות שלה: 85 מעלות, 95 מעלות ו-100 מעלות. מה גודל הזווית הרביעית?שאלה בהקשר
  1. סכום הזוויות בכל מרובע הוא 360 מעלות.
  2. מחברים את שלוש הזוויות הידועות: 85 + 95 + 100 = 280 מעלות.
  3. מחסרים מ-360 את הסכום שקיבלנו: 360 - 280 = 80 מעלות.

תשובה: הזווית הרביעית גודלה 80 מעלות.

11. שני כבישים ישרים נחתכים בצומת אחד, ונוצרות ארבע זוויות בין הכבישים בצומת. מסמנים את ארבע הזוויות 1, 2, 3, 4 לפי הסדר סביב הצומת, כך שזווית 1 וזווית 3 נמצאות זו ממש מול זו, וגם זווית 2 וזווית 4 נמצאות זו ממש מול זו. זווית 1 נמדדה והיא 130 מעלות. מה גודל זווית 3 (הנמצאת ממש מול זווית 1)? ומה גודל זווית 2 (היושבת לצד זווית 1, על אותו כביש)?שאלה בהקשר
  1. זווית 3 היא הזווית הקודקודית לזווית 1 (ממש מולה), ולכן היא שווה לה בגודלה: 130 מעלות.
  2. זווית 2 יושבת לצד זווית 1 על אותו כביש, ולכן היא הזווית הצמודה לה ומשלימה אותה ל-180 מעלות: 180 - 130 = 50 מעלות.

תשובה: זווית 3 (הקודקודית) גודלה 130 מעלות, וזווית 2 (הצמודה) גודלה 50 מעלות.

לזכירה

  • זווית נמדדת במעלות, בעזרת מד-זווית. לפני מדידה מדויקת כדאי לאמוד את הגודל בעזרת השוואה לזווית ישרה (90°) ולזווית שטוחה (180°).
  • חוצה זווית הוא קרן שמחלקת זווית לשני חלקים שווים - כל חלק שווה לחצי מגודל הזווית המקורית.
  • אם זווית גדולה בנויה משני חלקים, גודלה שווה לסכום החלקים; אם ידועים הזווית הגדולה וחלק אחד, מוצאים את החלק השני בעזרת חיסור (הפרש).
  • זוויות צמודות (יושבות זו לצד זו על אותו קו ישר) משלימות זו את זו ל-180 מעלות. זוויות קודקודיות (משני צדי נקודת חיתוך, זו ממש מול זו) תמיד שוות זו לזו.
  • סכום הזוויות בכל משולש הוא 180 מעלות (ולכן במשולש שווה-צלעות כל זווית היא 60 מעלות), וסכום הזוויות בכל מרובע הוא 360 מעלות.
הקודםנקודות על גרף ברביע Iהבאחפיפת צורות במישור