לומדי

משתנים וביטויים אלגבריים

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! אל תפחדו מהאותיות בביטויים האלה - הן פשוט "מקומות פנויים" שמחכים שנושיב עליהם מספר, בדיוק כמו כיסא ריק שמחכה למישהו לשבת עליו. אם יש לכם כמה איברים עם אותה אות, אתם יכולים לחבר או לחסר אותם בדיוק כמו שמחברים תפוחים עם תפוחים - זה כינוס איברים דומים. ואם יש כפל לפני סוגריים, זכרו לתת מהכפל הזה "מנה" לכל איבר שבפנים בנפרד - זה חוק הפילוג, בדיוק כמו לחלק מתנה לכל ילד בקבוצה בנפרד. קחו את זה שלב אחרי שלב, ותראו שזה הרבה יותר פשוט ממה שזה נראה בהתחלה!

מה זה משתנה?

לפעמים אנחנו לא יודעים בדיוק כמה שווה מספר מסוים, או שהוא יכול לקבל ערכים שונים במצבים שונים. אז במקום לכתוב מספר קבוע, כותבים אות - למשל x, n או a - שמייצגת כל מספר אפשרי. לדוגמה, אם לא ידוע כמה תפוחים יש בסל, אפשר לסמן את הכמות באות a. האות הזאת נקראת "משתנה", כי הערך שלה יכול להשתנות ולקבל מספרים שונים.

ביטויים אלגבריים

ביטוי אלגברי הוא צירוף של מספרים, משתנים (אותיות) ופעולות חשבון כמו חיבור, חיסור וכפל. לדוגמה, אם כרטיס לסרט עולה p שקלים וקנינו 3 כרטיסים ועוד חטיף ב-10 שקלים, הביטוי לעלות הכוללת הוא 3p+10. אפשר "להציב" (להכניס) מספר במקום המשתנה ולחשב את הערך של הביטוי - אם p=20, אז 3p+10 = 3×20+10 = 70.

שוויון בין ביטויים אלגבריים - זהות

לפעמים שני ביטויים אלגבריים נראים שונים, אבל בודקים ומגלים שהם שווים בכל פעם שמציבים אותו מספר בשניהם. בואו נבדוק את הביטויים 2x+3x ו-5x: נציב x=2: 2×2+3×2 = 4+6 = 10, וגם 5×2 = 10 - שני הצדדים שווים! נציב גם x=5: 2×5+3×5 = 10+15 = 25, וגם 5×5 = 25 - שוב שני הצדדים שווים. כשמגלים ששני ביטויים שווים לכל ערך שנציב במשתנה (ולא רק למספר אחד ספציפי), אומרים ששני הביטויים הם "זהות" (זהים זה לזה). למה זה קורה תמיד? בסעיף הבא נלמד את הכלי שמסביר את זה - כינוס איברים דומים. לעומת זאת, אם שני ביטויים שווים רק למספר מסוים אחד ולא לכל מספר, הם אינם זהות.

כינוס איברים דומים

בביטוי אלגברי יש "איברים" - חלקים שמופרדים בחיבור או בחיסור. איברים דומים הם איברים עם אותו משתנה בדיוק (כמו 3x ו-5x), ואפשר לחבר או לחסר אותם בדיוק כמו שמחברים כמויות דומות: 3 תפוחים ועוד 5 תפוחים הם 8 תפוחים, ולכן 3x+5x=8x. חשוב לזכור: מכנסים רק איברים עם אותו משתנה - אי אפשר לחבר איבר עם x לאיבר בלי משתנה. וזה בדיוק ההסבר לתופעה שראינו בסעיף הקודם: 2x+3x הם איברים דומים, ולכן 2x+3x=5x לכל ערך של x - וזו הסיבה ששני הביטויים 2x+3x ו-5x הם זהות.

חוק הפילוג

חוק הפילוג אומר איך לפתוח סוגריים כשיש כפל לפניהם: a×(b+c) = a×b + a×c. לדוגמה, אם יש 4 קבוצות ובכל קבוצה יש ילד אחד עם מתנה ב-x שקלים ועוד עט ב-2 שקלים, אז העלות לקבוצה אחת היא x+2, וסך העלות ל-4 הקבוצות היא 4(x+2) = 4x+8. חוק הפילוג עוזר לפתוח ולפשט ביטויים, ולעיתים משלבים אותו עם כינוס איברים דומים כדי לקבל ביטוי קצר וברור יותר.

דוגמאות פתורות

פשטו את הביטוי הבא על ידי כינוס איברים דומים: 4x + 7 + 3x - 2

  1. נחלק את איברי הביטוי לשני סוגים: איברים עם x (איברי משתנה) ואיברים בלי x (מספרים בלבד). איברי המשתנה: 4x ו-3x. המספרים: 7 ו-(-2).
  2. נחבר את איברי המשתנה, בדיוק כמו שמחברים 4 תפוחים ו-3 תפוחים ומקבלים 7 תפוחים: 4x + 3x = 7x.
  3. נחבר את המספרים: 7 - 2 = 5.
  4. נרכיב מחדש את הביטוי משני החלקים: 7x + 5.

תשובה: 4x + 7 + 3x - 2 = 7x + 5

אמא קונה לכל אחד משלושת ילדיה תיק בית ספר שעולה n שקלים, ולכל ילד היא קונה גם קלמר שעולה 15 שקלים. כתבו ביטוי אלגברי מצומצם לסכום הכולל ששילמה אמא, ומצאו כמה שילמה אם תיק אחד עולה 80 שקלים.

  1. עלות החומרים לילד אחד היא תיק ועוד קלמר: n + 15 שקלים.
  2. יש 3 ילדים, ולכל אחד עולה אותו סכום, לכן הסכום הכולל הוא 3 כפול (n+15): 3(n+15).
  3. נפתח את הסוגריים לפי חוק הפילוג: 3×n + 3×15 = 3n + 45.
  4. כדי למצוא כמה שילמה אמא כאשר תיק עולה 80 שקלים, נציב n=80: 3×80 + 45 = 240 + 45 = 285.

תשובה: הביטוי המצומצם הוא 3n+45; אם תיק עולה 80 ש"ח, אמא שילמה בסך הכול 285 שקלים.

קבעו אם הביטויים 4x + 2x ו-6x הם זהות, כלומר האם הם שווים לכל ערך של x.

  1. נבדוק את הביטוי הראשון בעזרת כינוס איברים דומים: 4x + 2x = 6x.
  2. קיבלנו שהביטוי הראשון, אחרי הפישוט, זהה בדיוק לביטוי השני: 6x.
  3. נבדוק גם עם מספר, לדוגמה x=3: 4×3 + 2×3 = 12+6 = 18, וגם 6×3 = 18. שני הצדדים שווים.
  4. מכיוון שהשוויון מתקיים לכל ערך של x שנבחר, ולא רק למספר ספציפי אחד, שני הביטויים הם זהות.

תשובה: כן, 4x+2x ו-6x הם זהות - הם שווים לכל ערך של x.

תרגול

1. פשטו את הביטוי הבא (כנסו איברים דומים): 5y + 8 - 2y + 3תרגול
  1. נפריד לשני סוגים: איברי משתנה (עם y) ומספרים בלבד. איברי ה-y: 5y ו-(-2y). המספרים: 8 ו-3.
  2. נחבר את איברי ה-y: 5y - 2y = 3y.
  3. נחבר את המספרים: 8 + 3 = 11.
  4. נרכיב מחדש את הביטוי: 3y + 11.

תשובה: 5y + 8 - 2y + 3 = 3y + 11

2. פתחו את הסוגריים לפי חוק הפילוג ופשטו: 4(x + 6)תרגול
  1. לפי חוק הפילוג, כופלים את המספר שמחוץ לסוגריים בכל איבר שבתוכן: 4×(x+6) = 4×x + 4×6.
  2. נחשב כל מכפלה בנפרד: 4×x = 4x, ו-4×6 = 24.
  3. נרכיב את שני החלקים יחד: 4x + 24.

תשובה: 4(x+6) = 4x + 24

3. פשטו את הביטוי (השתמשו גם בחוק הפילוג וגם בכינוס איברים דומים): 3(x + 2) + 5xתרגול
  1. קודם נפתח את הסוגריים לפי חוק הפילוג: 3(x+2) = 3x + 6.
  2. עכשיו הביטוי המלא הוא: 3x + 6 + 5x.
  3. נכנס את איברי המשתנה הדומים: 3x + 5x = 8x.
  4. נרכיב מחדש: 8x + 6.

תשובה: 3(x+2) + 5x = 8x + 6

4. קבעו אם הביטויים 2(a + 3) ו-2a + 6 הם זהות (כלומר שווים לכל ערך של a), והסבירו איך בדקתם.תרגול
  1. נפתח את הסוגריים בביטוי הראשון לפי חוק הפילוג: 2(a+3) = 2a + 6.
  2. קיבלנו שהביטוי הראשון, אחרי הפתיחה, זהה בדיוק לביטוי השני: 2a + 6.
  3. נבדוק גם עם מספר, למשל a=4: 2(4+3) = 2×7 = 14, וגם 2×4+6 = 8+6 = 14. שני הצדדים שווים.
  4. מכיוון שהשוויון מתקיים תמיד, לכל ערך אפשרי של a ולא רק למספר אחד, שני הביטויים הם זהות.

תשובה: כן, 2(a+3) ו-2a+6 הם זהות - הם שווים לכל ערך של a.

5. דני קונה m מחברות במחיר 4 שקלים כל אחת, וגם קלמר אחד במחיר 10 שקלים. כתבו ביטוי אלגברי לסכום הכולל ששילם דני, ומצאו כמה שילם אם קנה 5 מחברות.שאלה בהקשר
  1. עלות המחברות היא 4 שקלים כפול מספר המחברות: 4×m = 4m.
  2. נוסיף את מחיר הקלמר, 10 שקלים: הביטוי לסכום הכולל הוא 4m + 10.
  3. כדי לדעת כמה שילם דני אם קנה 5 מחברות, נציב m=5: 4×5 + 10 = 20 + 10 = 30.

תשובה: הביטוי הוא 4m+10; אם דני קנה 5 מחברות, הוא שילם 30 שקלים.

6. בגן יש k ערוגות פרחים. בכל ערוגה שתלו 3 שתילי ורדים ועוד שתיל יסמין אחד. כתבו ביטוי אלגברי מצומצם למספר כל השתילים בגן, ומצאו כמה שתילים יש אם בגן 6 ערוגות.שאלה בהקשר
  1. בכל ערוגה אחת יש 3 שתילי ורדים ועוד שתיל יסמין - כלומר k ערוגות נותנות k×3 שתילי ורדים ועוד k×1 שתילי יסמין: 3k + k.
  2. נכנס איברים דומים: k הוא כמו 1k, ולכן 3k + k = 4k.
  3. הביטוי המצומצם למספר כל השתילים בגן הוא 4k.
  4. אם יש 6 ערוגות (k=6), מספר השתילים הוא 4×6 = 24.

תשובה: הביטוי המצומצם הוא 4k; אם יש 6 ערוגות בגן, יש בסך הכול 24 שתילים.

7. קבוצה של 4 חברים הולכת לקולנוע. כל כרטיס עולה p שקלים, וכל חבר קונה גם פחית שתייה ב-6 שקלים. כתבו ביטוי אלגברי מצומצם לסכום הכולל ששילמה הקבוצה, ומצאו כמה שילמה הקבוצה אם כרטיס עולה 45 שקלים.שאלה בהקשר
  1. כל חבר משלם p שקלים לכרטיס ועוד 6 שקלים לשתייה, כלומר p+6 שקלים לחבר אחד.
  2. יש 4 חברים בקבוצה, ולכן הסכום הכולל הוא 4 כפול (p+6): 4(p+6).
  3. נפתח לפי חוק הפילוג: 4×p + 4×6 = 4p + 24.
  4. נציב p=45 כדי לדעת כמה שילמה הקבוצה: 4×45 + 24 = 180 + 24 = 204.

תשובה: הביטוי המצומצם הוא 4p+24; אם כרטיס עולה 45 שקלים, הקבוצה שילמה בסך הכול 204 שקלים.

לזכירה

  • משתנה הוא אות (כמו x, n או a) שמייצגת מספר לא ידוע או מספר שיכול להשתנות.
  • ביטוי אלגברי משלב מספרים, משתנים ופעולות חשבון; אפשר להציב מספר במקום המשתנה ולחשב את ערך הביטוי.
  • שני ביטויים הם "זהות" אם הם שווים לכל ערך אפשרי של המשתנה - לא רק למספר אחד ספציפי.
  • מכנסים איברים דומים (עם אותו משתנה בדיוק) על ידי חיבור או חיסור שלהם, בדיוק כמו כמויות דומות של אותו דבר.
  • חוק הפילוג: a×(b+c) = a×b + a×c - עוזר לפתוח סוגריים ולפשט ביטויים, ולעיתים משולב עם כינוס איברים דומים.
הבאמשוואות ופתרונן