הכרת המספרים השליליים; מספרים נגדיים
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! אם אתה מתבלבל בין פלוס למינוס, תחשוב על ציר המספרים כמו על כביש ארוך שבו 0 הוא נקודת ההתחלה: כל מה שמימינו חיובי, וכל מה שמשמאלו שלילי - בדיוק כמו קומות מעל הקרקע וקומות מרתף מתחתיה. ומה זה מספר נגדי? זה פשוט התאום שלו מהצד השני, בדיוק באותו מרחק מה-0. תראה, אתה כבר מבין את זה הרבה יותר טוב משאתה חושב - בואו נתרגל ביחד עוד קצת!
למה בכלל יש מספרים שליליים?
בחיים האמיתיים יש הרבה מצבים שבהם לא מספיק לספור רק 1, 2, 3 וכן הלאה. בחורף הטמפרטורה יכולה לרדת מתחת לאפס מעלות. בבניין יש קומות מעל הקרקע, אבל גם מרתפים מתחת לקרקע. כדי לתאר דברים ש'מתחת' לנקודת התחלה מוסכמת, המתמטיקה משתמשת במספרים שליליים - מספרים עם סימן מינוס לפניהם.
ציר המספרים מתרחב שמאלה
עד עכשיו הכרתם את ציר המספרים כמתחיל ב-0 וממשיך ימינה: 1, 2, 3 וכן הלאה. עכשיו הציר ממשיך גם שמאלה מ-0: -1, -2, -3 וכן הלאה. ככל שמתקדמים ימינה על הציר המספר גדול יותר, וככל שמתקדמים שמאלה המספר קטן יותר. 0 נמצא בדיוק באמצע, בין המספרים החיוביים (מימינו) לשליליים (משמאלו). לכן כל מספר חיובי גדול מכל מספר שלילי - פשוט כי כל החיוביים נמצאים מימין ל-0, וכל השליליים משמאלו.
מספרים נגדיים
שני מספרים נקראים 'מספרים נגדיים' אם הם נמצאים באותו מרחק בדיוק מ-0, אבל בצדדים מנוגדים של הציר. למשל, 5 ו- -5 הם מספרים נגדיים: שניהם במרחק 5 מ-0, אחד מימין ואחד משמאל. את המספר הנגדי מקבלים על ידי החלפת הסימן: הנגדי של 3 הוא -3, והנגדי של -7 הוא 7. 0 הוא מקרה מיוחד: המרחק שלו מעצמו הוא 0, ולכן הוא הנגדי של עצמו - המספר היחיד שהוא הנגדי של עצמו.
דוגמאות פתורות
בלילה קר, המדחום הראה 'שלוש מעלות מתחת לאפס'. רשמו זאת כמספר, סמנו את המספר על ציר המספרים, ומצאו את המספר הנגדי לו.
- 'שלוש מעלות מתחת לאפס' פירושו 3 יחידות משמאל ל-0 על ציר המספרים, כלומר המספר -3.
- מסמנים על הציר: מתחילים ב-0 וזזים 3 צעדים שמאלה, מגיעים לנקודה -3.
- כדי למצוא את המספר הנגדי, מחפשים מספר באותו מרחק מ-0 (3 יחידות) אך בצד השני - כלומר מימין ל-0.
- הנקודה שנמצאת 3 יחידות מימין ל-0 היא 3. לכן הנגדי של -3 הוא 3.
תשובה: הטמפרטורה כמספר היא -3, והמספר הנגדי שלו הוא 3.
נתונים שלושה מספרים: 5, -2, ו-0. מצאו את המספר הנגדי של כל אחד מהם, וסמנו על ציר המספרים את כל המספרים שקיבלתם (המקוריים והנגדיים), מסודרים מהקטן לגדול.
- המספר הנגדי של 5 הוא מספר שנמצא באותו מרחק מ-0 (5 יחידות), אך בצד השני של הציר - כלומר מספר שלילי. לכן הנגדי של 5 הוא -5.
- המספר הנגדי של -2 הוא מספר שנמצא באותו מרחק מ-0 (2 יחידות), אך בצד השני - כלומר מספר חיובי. לכן הנגדי של -2 הוא 2.
- המספר הנגדי של 0 הוא 0 עצמו: 0 נמצא במרחק 0 מעצמו, ואין מספר אחר באותו מרחק בצד השני. לכן 0 הוא המספר היחיד שהוא הנגדי של עצמו, ומופיע פעם אחת בלבד ברשימת המספרים.
- כעת מסמנים על הציר את כל המספרים שקיבלנו: -5, -2, 0, 2, 5. המספרים השליליים תמיד קטנים מהחיוביים, וככל שמתרחקים שמאלה על הציר המספר קטן יותר, לכן הסדר מהקטן לגדול הוא: -5, -2, 0, 2, 5.
תשובה: הנגדי של 5 הוא -5, הנגדי של -2 הוא 2, והנגדי של 0 הוא 0 עצמו. בסדר עולה על ציר המספרים: -5, -2, 0, 2, 5.
תרגול
1. מצאו את המספר הנגדי לכל אחד מהמספרים הבאים: 8, -15, 0.תרגול
- המספר הנגדי לכל מספר הוא המספר הנמצא באותו מרחק מ-0, אך בצד השני של הציר.
- הנגדי של 8 הוא -8 (מרחק 8 מ-0, בצד השני).
- הנגדי של -15 הוא 15 (מרחק 15 מ-0, בצד השני).
- הנגדי של 0 הוא 0 עצמו, כי 0 הוא נקודת האמצע ואין לו 'צד שני'.
תשובה: הנגדי של 8 הוא -8; הנגדי של -15 הוא 15; הנגדי של 0 הוא 0.
2. כתבו כל אחד מהמצבים הבאים כמספר (עם סימן מינוס במידת הצורך): (א) 4 מעלות מתחת לאפס. (ב) 2 קומות מתחת לקרקע. (ג) 30 מטר מתחת לפני הים. (ד) 7 מעלות מעל האפס.תרגול
- 'מתחת לאפס', 'מתחת לקרקע' ו'מתחת לפני הים' פירושם משמאל ל-0 על ציר המספרים, ולכן כותבים אותם כמספר שלילי.
- (א) 4 מעלות מתחת לאפס נכתב -4.
- (ב) 2 קומות מתחת לקרקע נכתב -2.
- (ג) 30 מטר מתחת לפני הים נכתב -30.
- (ד) '7 מעלות מעל האפס' פירושו מימין ל-0, ולכן זהו מספר חיובי: 7.
תשובה: (א) -4 (ב) -2 (ג) -30 (ד) 7.
3. סמנו על ציר המספרים את הנקודות -4, 2 ו- -1, ולכל אחת מהן מצאו וסמנו גם את המספר הנגדי שלה.תרגול
- מסמנים את -4 ארבע יחידות משמאל ל-0.
- מסמנים את 2 שתי יחידות מימין ל-0.
- מסמנים את -1 יחידה אחת משמאל ל-0.
- המספר הנגדי מתקבל על ידי החלפת הסימן: הנגדי של -4 הוא 4, הנגדי של 2 הוא -2, והנגדי של -1 הוא 1.
- מסמנים גם את שלוש הנקודות הנגדיות: 4 (ארבע יחידות מימין ל-0), -2 (שתי יחידות משמאל ל-0), ו-1 (יחידה אחת מימין ל-0).
תשובה: הנגדי של -4 הוא 4; הנגדי של 2 הוא -2; הנגדי של -1 הוא 1.
4. בבניין, קומת הקרקע מסומנת ב-0. קומות מעל הקרקע מסומנות במספרים חיוביים, וקומות מרתף מתחת לקרקע מסומנות במספרים שליליים. דנה חונה במרתף שנמצא 2 קומות מתחת לקרקע. באיזה מספר מסומנת הקומה שבה דנה חונה? אם יש בבניין גם מרתף שנמצא 3 קומות מתחת לקרקע - איזה מהמרתפים נמוך יותר?שאלה בהקשר
- קומת הקרקע מסומנת ב-0, וכל קומה מתחת לקרקע מוסיפה עוד יחידה שלילית.
- מרתף 2 קומות מתחת לקרקע מסומן במספר -2.
- מרתף 3 קומות מתחת לקרקע מסומן במספר -3.
- ככל שהמספר קטן יותר (רחוק יותר משמאל ל-0), הקומה נמוכה יותר. מכיוון ש- -3 קטן מ- -2, המרתף המסומן -3 הוא הנמוך יותר.
תשובה: דנה חונה בקומה -2. המרתף הנמוך יותר הוא זה המסומן -3.
5. בבוקר חורפי נמדדה בצפת טמפרטורה של -1 מעלות, ובהר החרמון נמדדה טמפרטורה של -6 מעלות. באיזה מקום היה קר יותר? הסבירו לפי מיקום המספרים על ציר המספרים.שאלה בהקשר
- מסמנים את שני המספרים על ציר המספרים: -1 ו- -6.
- -6 נמצא משמאל ל- -1 על הציר, כלומר -6 < -1.
- מספר קטן יותר על ציר המספרים מייצג כאן טמפרטורה נמוכה יותר, כלומר קר יותר.
תשובה: בהר החרמון היה קר יותר (-6 מעלות קר מ- -1 מעלות).
6. פסגת הר גבוהה 400 מטרים מעל פני הים, ובור מכרה עמוק 400 מטר מתחת לפני הים. אם פני הים מסומנים ב-0, רשמו את שני הגבהים כמספרים. איזה קשר יש בין שני המספרים שקיבלתם?שאלה בהקשר
- גובה ההר מעל פני הים נכתב כמספר חיובי: 400.
- עומק בור המכרה מתחת לפני הים נכתב כמספר שלילי: -400.
- שני המספרים, 400 ו- -400, נמצאים באותו מרחק בדיוק מ-0 (400 יחידות), אך בצדדים מנוגדים של הציר.
- לכן הם מספרים נגדיים.
תשובה: 400 ו- -400 הם מספרים נגדיים.
לזכירה
- מספרים שליליים מתארים דברים 'מתחת' לנקודת התחלה מוסכמת (0) - כמו מעלות מתחת לאפס, קומות מרתף מתחת לקרקע, או עומק מתחת לפני הים.
- ציר המספרים ממשיך גם שמאלה מ-0: מימין ל-0 - מספרים חיוביים, משמאלו - מספרים שליליים.
- ככל שמתקדמים ימינה על הציר המספרים גדלים, וככל שמתקדמים שמאלה הם קטנים.
- לכל מספר יש 'מספר נגדי' - מספר באותו מרחק מ-0 אך בצד ההפוך של הציר (הנגדי של 5 הוא -5, והנגדי של -5 הוא 5).
- הנגדי של 0 הוא 0 עצמו - זו הנקודה היחידה על הציר שהיא הנגדי של עצמה.