לומדי

זהויות טריגונומטריות ויישומן בבעיות בגאומטריה

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! ארבע הזהויות של sin(α±β) ו-cos(α±β) הן קצת כמו 'מתכון' - קל להתבלבל בסימנים, אז הנה טיפ לזכירה: בסינוס הסימן בתוצאה תמיד זהה לסימן שבשאלה (sin(α-β) - הסימן במינוס נשאר במינוס), ואילו בקוסינוס הסימן תמיד מתהפך (cos(α-β) - הסימן במינוס הופך לפלוס!). זהויות הזווית הכפולה הן פשוט מקרה פרטי - מציבים β=α. והשימוש הכי יפה שלהן הוא בגאומטריה של גופים מרחביים: כשחותכים חרוט או פירמידה בחתך שעובר דרך הציר או הקודקוד, מקבלים משולש שווה-שוקיים שגובה מפצל אותו לשני משולשים ישרי-זווית זהים, וזווית הראש שלו היא בדיוק 'זווית כפולה' - וזה בדיוק המקום שבו הנוסחאות שלנו נכנסות לפעולה ומחברות בין הגאומטריה התלת-ממדית לטריגונומטריה.

זהויות הסכום וההפרש: sin(α±β), cos(α±β)

בכיתה י' הכרתם את הזהות היסודית sin²α+cos²α=1 ואת יחסי הטריגונומטריה במשולש ישר-זווית. עכשיו מוסיפים ארבע זהויות חשובות המבטאות את הסינוס והקוסינוס של סכום או הפרש שתי זוויות, לפי הסינוס והקוסינוס של כל זווית בנפרד: sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ, sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ, cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ, cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ. חשוב לזכור שאלו זהויות - כלומר הן נכונות לכל α,β, ואינן שוות בדרך כלל ל-sinα+sinβ או cosα+cosβ (טעות נפוצה!).

זהויות הזווית הכפולה: sin2α, cos2α

מציבים β=α בזהויות הסכום, ומקבלים את זהויות הזווית הכפולה: sin2α=sinα·cosα+cosα·sinα=2sinα·cosα, וכן cos2α=cosα·cosα-sinα·sinα=cos²α-sin²α. בעזרת הזהות sin²α+cos²α=1 אפשר לכתוב את cos2α גם בשתי צורות שקולות נוספות, שימושיות בהתאם למה שנתון בשאלה: cos2α=2cos²α-1 (על ידי הצבת sin²α=1-cos²α), וכן cos2α=1-2sin²α (על ידי הצבת cos²α=1-sin²α).

שימוש בזהויות לפישוט, להוכחת זהויות נוספות, ולפתרון משוואות

את הזהויות האלה אפשר להשתמש בהן כדי לפשט ביטויים טריגונומטריים מורכבים, וכדי להוכיח זהויות נוספות: מציבים את הצד המורכב יותר בעזרת הנוסחאות הידועות, ובאמצעות פעולות אלגבריות (פתיחת סוגריים, איסוף איברים דומים, שימוש חוזר ב-sin²+cos²=1) מגיעים לצד הפשוט יותר. חשוב להיזהר משגיאות אלגבריות נפוצות - למשל sin(α+β)≠sinα+sinβ, ו-cos2α אינו שווה ל-2cosα. שימוש חשוב נוסף הוא פתרון משוואות טריגונומטריות שבהן מופיעה גם זווית וגם הכפולה שלה (כגון משוואה שיש בה גם x וגם 2x): מציבים את זהות הזווית הכפולה כדי לקבל משוואה שכולה באותה זווית בודדת, ולעיתים קרובות מגיעים למשוואה שאפשר לפרק לגורמים ולפתור כל גורם בנפרד.

יישום הזהויות בבעיות גאומטריות - גופים מרחביים

זהויות הזווית הכפולה וזהויות הסכום שימושיות מאוד בפתרון בעיות הנדסה בגופים מרחביים (תלת-ממדיים) פשוטים - כדור, מנסרה ישרה, פירמידה ישרה, גליל ישר וחרוט ישר - לחישובי אורכים, שטחים ונפחים. הרעיון המרכזי חוזר על עצמו בגופים רבים: כאשר חותכים את הגוף המרחבי בחתך מישורי מתאים (למשל החתך הצירי של חרוט - המשולש שמתקבל כשחותכים את החרוט דרך הציר שלו וקודקודו; או הפאה הצדדית המשולשת של פירמידה), מתקבל משולש שווה-שוקיים שזווית הראש שלו היא זווית כפולה 2α (מחולקת לשני משולשים ישרי-זווית חופפים על ידי גובה או ציר סימטריה). בדיוק כמו במשולש שווה-שוקיים 'שטוח', זווית הראש 2α מתקשרת לזוויות החדשות α בעזרת יחסי הטריגונומטריה הבסיסיים ונוסחת sin2α (או cos2α) - וכך אפשר לחשב רדיוס בסיס, גובה, שטח פאה, ונפח של הגוף המרחבי כולו.

דוגמאות פתורות

נתון sinα=3/5 ו-cosα=4/5 (α זווית חדה). מצאו את sin2α ואת cos2α.

  1. מציבים בנוסחת הזווית הכפולה של הסינוס: sin2α=2·sinα·cosα=2·(3/5)·(4/5)=24/25.
  2. מציבים בנוסחת הזווית הכפולה של הקוסינוס (בצורה cos²α-sin²α): cos2α=cos²α-sin²α=(4/5)^2-(3/5)^2=16/25-9/25=7/25.

תשובה: sin2α=24/25, cos2α=7/25.

הוכיחו את הזהות: cos(α+β)+cos(α-β)=2cosα·cosβ.

  1. פותחים את שני האיברים באגף שמאל לפי נוסחאות הסכום וההפרש: cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ, וכן cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ.
  2. מחברים את שני הביטויים: [cosα·cosβ-sinα·sinβ]+[cosα·cosβ+sinα·sinβ].
  3. האיברים sinα·sinβ- ו-sinα·sinβ מצטמצמים זה עם זה, ונשארים שני איברי cosα·cosβ: cosα·cosβ+cosα·cosβ=2cosα·cosβ - בדיוק אגף ימין.

תשובה: הזהות הוכחה: cos(α+β)+cos(α-β)=2cosα·cosβ.

חרוט ישר שאורך תבנית שפתו (המקצוע המשופע, slant height) הוא l=10 ס"מ, וזווית הראש של החתך הצירי שלו (המשולש שווה-השוקיים שמתקבל כשחותכים את החרוט לאורך הציר שלו וקודקודו) היא 2α, כאשר cosα=4/5 (α חדה, מחצית זווית הראש). מצאו את רדיוס בסיס החרוט R, את גובה החרוט h, ואת שטח החתך הצירי (המשולש) בעזרת sin2α.

  1. גובה החרוט (הציר) מחלק את המשולש שווה-השוקיים של החתך הצירי לשני משולשים ישרי-זווית חופפים: בכל אחד מהם היתר הוא l (השוק, המקצוע המשופע), הזווית ליד הקודקוד היא α, הניצב שמול α הוא R (חצי הבסיס - רדיוס), והניצב הסמוך ל-α הוא h (הגובה).
  2. מכיוון ש-cosα=4/5, מתקבל sinα=√(1-(4/5)^2)=√(1-16/25)=√(9/25)=3/5 (חיובי, כי α חדה).
  3. רדיוס הבסיס: R=l·sinα=10·(3/5)=6 ס"מ. גובה החרוט: h=l·cosα=10·(4/5)=8 ס"מ (אפשר גם לבדוק באמצעות משפט פיתגורס: R^2+h^2=6^2+8^2=36+64=100=l^2, מתאים).
  4. לחישוב שטח החתך הצירי (המשולש, ששוקיו l,l והזווית ביניהן 2α) משתמשים בנוסחה שטח=(1/2)·l·l·sin(2α). מוצאים sin2α=2sinα·cosα=2·(3/5)·(4/5)=24/25.
  5. שטח=(1/2)·10·10·(24/25)=50·24/25=1200/25=48 סמ"ר.

תשובה: רדיוס הבסיס R=6 ס"מ, גובה החרוט h=8 ס"מ, ושטח החתך הצירי הוא 48 סמ"ר.

תרגול

1. נתון sinα=5/13 ו-cosα=12/13 (α זווית חדה). מצאו את sin2α ואת cos2α.תרגול
  1. sin2α=2·sinα·cosα=2·(5/13)·(12/13)=120/169.
  2. cos2α=cos²α-sin²α=(12/13)^2-(5/13)^2=144/169-25/169=119/169.

תשובה: sin2α=120/169, cos2α=119/169.

2. הוכיחו את הזהות: sin(α+β)-sin(α-β)=2cosα·sinβ.תרגול
  1. פותחים לפי נוסחאות הסכום וההפרש: sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ, וכן sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ.
  2. מחסרים: [sinα·cosβ+cosα·sinβ]-[sinα·cosβ-cosα·sinβ] = sinα·cosβ+cosα·sinβ-sinα·cosβ+cosα·sinβ.
  3. האיברים sinα·cosβ מצטמצמים, ונשארים שני איברי cosα·sinβ: cosα·sinβ+cosα·sinβ=2cosα·sinβ - בדיוק אגף ימין.

תשובה: הזהות הוכחה: sin(α+β)-sin(α-β)=2cosα·sinβ.

3. פשטו את הביטוי sin2α/(2sinα), כאשר sinα≠0.תרגול
  1. מציבים sin2α=2sinα·cosα בביטוי הנתון: (2sinα·cosα)/(2sinα).
  2. מצמצמים את הגורם המשותף 2sinα (מותר, כי נתון sinα≠0): נשאר cosα.

תשובה: הביטוי מתפשט ל-cosα.

4. נתון cos2α=7/25, וידוע ש-α זווית חדה (0°<α<90°). מצאו את cosα ואת sinα.תרגול
  1. משתמשים בצורה cos2α=2cos²α-1: 2cos²α-1=7/25.
  2. פותרים: 2cos²α=1+7/25=32/25, ולכן cos²α=16/25.
  3. מכיוון ש-α חדה, cosα חיובי: cosα=√(16/25)=4/5.
  4. מוצאים sinα מתוך sin²α+cos²α=1: sin²α=1-16/25=9/25, ומכיוון ש-α חדה sinα חיובי: sinα=3/5.

תשובה: cosα=4/5, sinα=3/5.

5. פתרו את המשוואה sin2x=sinx בתחום [0,2π].תרגול
  1. מציבים את זהות הזווית הכפולה sin2x=2sinx·cosx, ומעבירים אגף: 2sinx·cosx-sinx=0.
  2. מוציאים גורם משותף sinx: sinx·(2cosx-1)=0.
  3. מכפלה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים שווה לאפס: sinx=0, או 2cosx-1=0 (כלומר cosx=1/2).
  4. פתרונות sinx=0 בתחום [0,2π]: x=0, x=π, x=2π.
  5. פתרונות cosx=1/2 בתחום [0,2π]: x=π/3, x=5π/3.

תשובה: הפתרונות בתחום [0,2π] הם: x=0, π/3, π, 5π/3, 2π.

6. פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע, שאורך כל פאה צדדית (מקצוע מהקודקוד לפינת הבסיס) הוא b=13 ס"מ, כאשר הזווית בקודקוד בתוך כל פאה צדדית משולשת (הזווית בין שני המקצועות הצדדיים החוברים לאותה פאה) היא 2β, עם sinβ=5/13, cosβ=12/13. מצאו את אורך צלע הבסיס של הפירמידה, ואת שטח כל פאה צדדית בעזרת sin2β.שאלה בהקשר
  1. כל פאה צדדית היא משולש שווה-שוקיים ששוקיו הם שני המקצועות הצדדיים b,b, והבסיס שלו הוא בדיוק צלע הבסיס s של הפירמידה. הגובה מהקודקוד אל הבסיס מחלק את הזווית 2β לשתי זוויות β, ואת המשולש לשני משולשים ישרי-זווית חופפים.
  2. אורך הבסיס: s=2·b·sinβ=2·13·(5/13)=2·5=10 ס"מ.
  3. שטח כל פאה צדדית לפי שתי הצלעות b,b והזווית 2β ביניהן: שטח=(1/2)·b·b·sin2β. מוצאים sin2β=2·sinβ·cosβ=2·(5/13)·(12/13)=120/169.
  4. שטח=(1/2)·13^2·(120/169)=(1/2)·169·(120/169)=(1/2)·120=60 סמ"ר.

תשובה: צלע הבסיס s=10 ס"מ, ושטח כל פאה צדדית 60 סמ"ר.

7. מנסרה ישרה שבסיסה משולש שווה-שוקיים, ששוקי הבסיס a=17 ס"מ וזווית הראש שלהן 2β, עם sinβ=8/17, cosβ=15/17. גובה המנסרה (המרחק בין שתי הבסיסים) הוא H=10 ס"מ. מצאו את שטח בסיס המנסרה (המשולש) בעזרת sin2β, ואת נפח המנסרה.שאלה בהקשר
  1. שטח משולש הבסיס לפי שתי הצלעות a,a והזווית 2β ביניהן: שטח=(1/2)·a·a·sin2β. מוצאים sin2β=2·sinβ·cosβ=2·(8/17)·(15/17)=240/289.
  2. שטח=(1/2)·17^2·(240/289)=(1/2)·289·(240/289)=(1/2)·240=120 סמ"ר.
  3. נפח מנסרה ישרה שווה לשטח הבסיס כפול הגובה: V=120·10=1200 סמ"ק.

תשובה: שטח בסיס המנסרה 120 סמ"ר, ונפח המנסרה 1200 סמ"ק.

8. במשולש ABC, זווית A=α עם sinα=3/5, cosα=4/5, וזווית B=β עם sinβ=5/13, cosβ=12/13 (שתיהן חדות). הצלע c (מול הזווית C, כלומר הצלע AB) אורכה 26 ס"מ. מצאו את sinC (בהיעזרות בעובדה ש-C=180°-(α+β), ולכן sinC=sin(α+β)), ואת אורך הצלע a (מול הזווית A), לפי משפט הסינוסים.שאלה בהקשר
  1. מכיוון שסכום זוויות המשולש הוא 180°, מתקיים C=180°-(α+β), ולכן sinC=sin(180°-(α+β))=sin(α+β) (משלימות זווית ל-180° משמרת ערך סינוס).
  2. מחשבים sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ=(3/5)·(12/13)+(4/5)·(5/13)=36/65+20/65=56/65.
  3. לפי משפט הסינוסים (שנלמד בכיתה י'): a/sinA=c/sinC, ולכן a=c·sinA/sinC=26·(3/5)/(56/65).
  4. מחשבים: 26·(3/5)=78/5. מחלקים ב-56/65 (כלומר כופלים בהופכי 65/56): (78/5)·(65/56)=(78·65)/(5·56)=5070/280=507/28≈18.11.

תשובה: sinC=56/65, ואורך הצלע a=507/28 ס"מ, כלומר בקירוב כ-18.11 ס"מ.

לזכירה

  • זהויות הסכום וההפרש: sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ, ו-cos(α±β)=cosα·cosβ∓sinα·sinβ (בקוסינוס הסימן מתהפך!).
  • זהויות הזווית הכפולה (המתקבלות מהצבת β=α): sin2α=2sinα·cosα, ו-cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α.
  • אפשר להשתמש בזהויות האלה כדי לפשט ביטויים טריגונומטריים, להוכיח זהויות נוספות, ולפתור משוואות טריגונומטריות שיש בהן גם זווית וגם הזווית הכפולה שלה (מציבים sin2x=2sinx·cosx או את אחת מצורות cos2x, ולרוב מפרקים לגורמים).
  • ביישום גאומטרי בגופים מרחביים (כדור, מנסרה ישרה, פירמידה ישרה, גליל וחרוט ישר): חתך מישורי מתאים (למשל החתך הצירי של חרוט, או פאה צדדית של פירמידה) נותן משולש שווה-שוקיים שזווית הראש שלו היא 'זווית כפולה' 2α, מחולקת על ידי גובה לשני משולשים ישרי-זווית חופפים - וכך אפשר לחשב רדיוס, גובה, שטחי פאות ונפחים באמצעות sin2α ו-cos2α.
  • שילוב עם משפטי הטריגונומטריה הישרה (כגון משפט הסינוסים) שנלמדו בכיתה י' מאפשר לפתור בעיות גאומטריות מורכבות יותר, המשלבות שתי זוויות שונות במשולש אחד.
הקודםחשבון אינטגרליהבאחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות טריגונומטריות