לומדי

חשבון אינטגרלי

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! אם נגזרת עונה על 'מה קצב השינוי כרגע', אז אינטגרל הוא כמו לשאול את השאלה בכיוון ההפוך: 'אם אני יודע/ת את קצב השינוי בכל רגע, כמה הצטבר בסך הכול?'. זו בדיוק הסיבה שאינטגרל שימושי לחישוב שטחים - שטח הוא ה'הצטברות' של גובה הפונקציה על פני קטע. רק תזכרו כלל זהב אחד: שטח תמיד חיובי! אם הפונקציה יורדת מתחת לציר x, האינטגרל שם ייצא שלילי - וזה בסדר גמור, זה בדיוק אומר לכם 'קחו ערך מוחלט' לפני שאתם קוראים לזה שטח. ואם תרצו לחשב נפח של גוף שנוצר מסיבוב גרף - פשוט מרימים את הפונקציה בריבוע ומחברים (מאנטגרלים) הרבה 'עיגולים' דקיקים זה אחר זה.

הפונקציה הקדומה והאינטגרל הבלתי מסוים

פונקציה F(x) נקראת פונקציה קדומה של f(x) אם F'(x)=f(x) - כלומר, הגזירה של F נותנת בחזרה את f. מכיוון שנגזרת של קבוע היא אפס, לכל פונקציה f יש אינסוף פונקציות קדומות, השונות זו מזו בקבוע חיבור בלבד: אם F(x) קדומה של f(x), אז גם F(x)+C קדומה של f(x), עבור כל קבוע C. אוסף כל הפונקציות הקדומות נקרא האינטגרל הבלתי מסוים של f, ומסומן ∫f(x)dx=F(x)+C. הכלל הבסיסי ביותר: עבור n≠-1, ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1)+C - כלומר 'מעלים חזקה אחת ומחלקים בחזקה החדשה', הפעולה ההפוכה בדיוק לגזירה. אינטגרל של סכום הוא סכום האינטגרלים, ואפשר להוציא קבוע כפל מחוץ לאינטגרל.

האינטגרל המסוים והמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי

האינטגרל המסוים של f(x) בקטע [a,b], המסומן ∫[a,b]f(x)dx, מוגדר באמצעות פונקציית ההצטברות - סכום 'אינסוף' תרומות אינפיניטסימליות של f על פני הקטע. המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קושר בין שני העולמות: אם F היא פונקציה קדומה כלשהי של f, אזי ∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a). זהו הכלי המעשי לחישוב אינטגרלים מסוימים: מוצאים פונקציה קדומה כלשהי (בלי צורך בקבוע C, כי הוא מצטמצם בהפרש), ומציבים בה את קצוות הקטע.

שטח בין גרף לציר ה-x, ושטח בין שני גרפים

כאשר f(x)≥0 בקטע [a,b], השטח הכלוא בין הגרף לציר ה-x שווה בדיוק לאינטגרל המסוים ∫[a,b]f(x)dx. אבל אם f(x)≤0 בקטע, האינטגרל המסוים יוצא שלילי (כי הפונקציה מתחת לציר), ולכן כדי לקבל שטח (גודל חיובי תמיד) צריך לקחת את הערך המוחלט: שטח=|∫[a,b]f(x)dx|. אם הפונקציה מחליפה סימן בתוך הקטע, חובה לפצל את הקטע לתת-קטעים לפי נקודות האפס של הפונקציה, לחשב את האינטגרל (או השטח) בכל תת-קטע בנפרד עם הסימן המתאים, ורק לבסוף לסכם את השטחים (לא את האינטגרלים החתומים!). כדי למצוא את השטח הכלוא בין שני גרפים f(x) ו-g(x) על קטע שבו f(x)≥g(x), מחשבים ∫[a,b][f(x)-g(x)]dx - נקודות החיתוך של שני הגרפים (הפתרונות של f(x)=g(x)) הן בדרך כלל קצוות הקטע.

נפחי גופי סיבוב

כאשר מסובבים את תחום השטח שבין גרף פונקציה f(x)≥0 לציר ה-x בקטע [a,b] סביב ציר ה-x סיבוב מלא, מתקבל גוף סיבוב. נפחו נתון על ידי הנוסחה V=π·∫[a,b][f(x)]^2 dx. נוסחה זו כללית מספיק כדי להוכיח באמצעותה נוסחאות נפח מוכרות של גופים כמו גליל, חרוט ופירמידה - למשל, סיבוב הישר f(x)=x בקטע [0,h] סביב ציר ה-x נותן חרוט שרדיוס בסיסו h וגובהו h, ומקבלים בדיוק את נוסחת נפח החרוט המוכרת.

הערך הממוצע של פונקציה, ומציאת פונקציה מנגזרתה

הערך הממוצע של פונקציה f(x) על קטע [a,b] מוגדר כ- (1/(b-a))·∫[a,b]f(x)dx - כלומר, האינטגרל (סכום ה'הצטברות') מחולק באורך הקטע. אפשר לחשוב על כך כהכללה של ממוצע רגיל לאינסוף ערכים רציפים. סוג בעיה נוסף: כאשר נתונה הנגזרת F'(x)=f(x) של פונקציה ונקודה אחת שדרכה עובר הגרף, מוצאים תחילה את האינטגרל הבלתי מסוים (עם קבוע C כללי), ואז מציבים את נקודת הבסיס הנתונה כדי למצוא את הערך המדויק של C - כך מקבלים את הפונקציה היחידה (לא רק משפחה) שמקיימת את שני התנאים גם יחד.

דוגמאות פתורות

מצאו את הפונקציה F(x) שנגזרתה F'(x)=3x^2-4x+5, ושעבורה F(1)=10.

  1. מוצאים את האינטגרל הבלתי מסוים של F'(x): ∫(3x^2-4x+5)dx = x^3-2x^2+5x+C.
  2. כדי למצוא את C, מציבים את הנקודה הנתונה x=1, F(1)=10: 1^3-2·1^2+5·1+C=10, כלומר 1-2+5+C=10, ולכן 4+C=10.
  3. פותרים: C=6.

תשובה: F(x)=x^3-2x^2+5x+6.

נתונה הפונקציה f(x)=x^2-4. מצאו את השטח הכלוא בין הגרף לציר ה-x בקטע [-2,2].

  1. בודקים את סימן הפונקציה בקטע: לפונקציה f(x)=x^2-4 יש שורשים ב-x=-2 ו-x=2, והיא פרבולה הפונה כלפי מעלה - כלומר בין השורשים (כל הקטע [-2,2]) הפונקציה שלילית.
  2. מוצאים פונקציה קדומה: F(x)=x^3/3-4x.
  3. מחשבים את האינטגרל המסוים: F(2)-F(-2) = (8/3-8) - (-8/3+8) = (8/3-24/3) - (-8/3+24/3) = (-16/3) - (16/3) = -32/3.
  4. מכיוון שהאינטגרל יצא שלילי (כצפוי, כי הפונקציה שלילית בכל הקטע), השטח הוא הערך המוחלט: |-32/3|=32/3.

תשובה: השטח הכלוא הוא 32/3.

מצאו את השטח הכלוא בין הגרפים f(x)=x^2 ו-g(x)=x+2.

  1. מוצאים את נקודות החיתוך: x^2=x+2, כלומר x^2-x-2=0. מפרקים לגורמים: (x-2)(x+1)=0, ולכן x=-1 או x=2.
  2. בודקים איזה גרף גבוה יותר בקטע ביניהם, למשל ב-x=0: g(0)=2, f(0)=0, ולכן g(x)≥f(x) בקטע [-1,2].
  3. מחשבים ∫[-1,2][g(x)-f(x)]dx = ∫[-1,2](x+2-x^2)dx. פונקציה קדומה: F(x)=x^2/2+2x-x^3/3.
  4. מציבים x=2: F(2)=4/2+4-8/3=2+4-8/3=6-8/3=10/3.
  5. מציבים x=-1: F(-1)=1/2-2-(-1/3)=1/2-2+1/3=3/6-12/6+2/6=-7/6.
  6. השטח = F(2)-F(-1) = 10/3-(-7/6) = 20/6+7/6=27/6=9/2.

תשובה: השטח הכלוא בין שני הגרפים הוא 9/2 (=4.5).

תרגול

1. מצאו את האינטגרל הבלתי מסוים ∫(4x^3-6x+2)dx.תרגול
  1. מפעילים את כלל החזקות על כל איבר בנפרד: אינטגרל של 4x^3 הוא 4·x^4/4=x^4. אינטגרל של -6x הוא -6·x^2/2=-3x^2. אינטגרל של 2 הוא 2x.
  2. מסכמים ומוסיפים קבוע אינטגרציה C.

תשובה: x^4-3x^2+2x+C.

2. חשבו את האינטגרל המסוים ∫[1,3](2x+1)dx.תרגול
  1. מוצאים פונקציה קדומה: F(x)=x^2+x.
  2. מציבים לפי המשפט היסודי: F(3)-F(1) = (9+3)-(1+1) = 12-2.

תשובה: האינטגרל המסוים שווה ל-10.

3. מצאו את הפונקציה F(x) שעבורה F'(x)=6x^2-2, ו-F(0)=5.תרגול
  1. מוצאים את האינטגרל הבלתי מסוים: ∫(6x^2-2)dx = 2x^3-2x+C.
  2. מציבים את הנקודה הנתונה x=0, F(0)=5: 2·0-2·0+C=5, ולכן C=5.

תשובה: F(x)=2x^3-2x+5.

4. חשבו את הערך הממוצע של הפונקציה f(x)=x^2 בקטע [0,3].תרגול
  1. הערך הממוצע נתון על ידי (1/(b-a))·∫[a,b]f(x)dx = (1/(3-0))·∫[0,3]x^2 dx.
  2. מוצאים פונקציה קדומה: F(x)=x^3/3. F(3)-F(0)=27/3-0=9.
  3. מחלקים באורך הקטע: (1/3)·9=3.

תשובה: הערך הממוצע של הפונקציה בקטע [0,3] הוא 3.

5. נתונה הפונקציה f(x)=4-x^2 על הקטע [0,3]. מצאו את השטח הכלוא בין הגרף לציר ה-x על הקטע כולו (שימו לב: הפונקציה מחליפה סימן בתוך הקטע).שאלה בהקשר
  1. מוצאים איפה הפונקציה מתאפסת בתוך הקטע: 4-x^2=0 כאשר x=2 (וגם x=-2, אבל זה מחוץ לקטע הנדון). בקטע [0,2] הפונקציה חיובית (למשל f(0)=4>0), ובקטע [2,3] הפונקציה שלילית (למשל f(3)=4-9=-5<0). לכן חובה לפצל את החישוב לשני תת-קטעים.
  2. פונקציה קדומה: F(x)=4x-x^3/3.
  3. בקטע [0,2]: F(2)-F(0)=(8-8/3)-0=24/3-8/3=16/3. חיובי כצפוי, אז השטח בקטע זה הוא 16/3.
  4. בקטע [2,3]: F(3)-F(2)=(12-9)-(8-8/3)=3-16/3=9/3-16/3=-7/3. שלילי כצפוי (הפונקציה שלילית שם), אז השטח בקטע זה הוא |-7/3|=7/3.
  5. השטח הכולל הוא סכום שני השטחים: 16/3+7/3=23/3.

תשובה: השטח הכולל הוא 23/3.

6. מצאו את השטח הכלוא בין הגרפים f(x)=x^2-2x ו-g(x)=x.שאלה בהקשר
  1. מוצאים נקודות חיתוך: x^2-2x=x, כלומר x^2-3x=0, ולכן x(x-3)=0, כך ש-x=0 או x=3.
  2. בודקים איזה גרף גבוה יותר בקטע ביניהם, למשל ב-x=1: f(1)=1-2=-1, g(1)=1, ולכן g(x)≥f(x) בקטע [0,3].
  3. מחשבים ∫[0,3][g(x)-f(x)]dx = ∫[0,3](x-(x^2-2x))dx = ∫[0,3](3x-x^2)dx.
  4. פונקציה קדומה: F(x)=3x^2/2-x^3/3. F(3)-F(0)=(27/2-9)-0=13.5-9=4.5.

תשובה: השטח הכלוא בין שני הגרפים הוא 4.5 (=9/2).

7. מסובבים את הישר f(x)=x, בקטע [0,h] (h חיובי כלשהו), סביב ציר ה-x, סיבוב מלא. חשבו את נפח גוף הסיבוב המתקבל לפי הנוסחה V=π·∫[0,h][f(x)]^2 dx, והשוו את התוצאה לנוסחה המוכרת לנפח חרוט.שאלה בהקשר
  1. מציבים f(x)=x בנוסחת הנפח: V=π·∫[0,h]x^2 dx.
  2. פונקציה קדומה: F(x)=x^3/3. F(h)-F(0)=h^3/3-0=h^3/3.
  3. לכן V=π·h^3/3=(1/3)·π·h^3.
  4. גוף הסיבוב הוא חרוט שרדיוס בסיסו שווה לערך f(h)=h וגובהו h (כי בכל x הרדיוס הוא f(x)=x, ובקצה x=h הרדיוס הוא h). נוסחת נפח החרוט המוכרת היא (1/3)·π·R^2·h, ועם R=h מתקבל (1/3)·π·h^2·h=(1/3)·π·h^3 - בדיוק אותה תוצאה!

תשובה: נפח גוף הסיבוב הוא (1/3)πh^3, בהתאמה מלאה לנוסחת נפח החרוט המוכרת (עם רדיוס בסיס R=h).

לזכירה

  • פונקציה קדומה F(x) של f(x) מקיימת F'(x)=f(x). האינטגרל הבלתי מסוים ∫f(x)dx=F(x)+C הוא אוסף כל הפונקציות הקדומות. כלל בסיסי: ∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C עבור n≠-1.
  • המשפט היסודי: האינטגרל המסוים ∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a), כאשר F היא פונקציה קדומה כלשהי של f.
  • שטח בין גרף לציר x שווה לאינטגרל אם f≥0 בקטע, ולערך המוחלט של האינטגרל אם f≤0. אם הפונקציה מחליפה סימן, חובה לפצל לתת-קטעים ולסכם שטחים (לא אינטגרלים חתומים). שטח בין שני גרפים f≥g מחושב כ-∫[a,b][f(x)-g(x)]dx.
  • נפח גוף שמתקבל מסיבוב גרף f(x)≥0 בקטע [a,b] סביב ציר x נתון על ידי V=π·∫[a,b][f(x)]^2 dx - נוסחה כללית שממנה נובעות נוסחאות נפח מוכרות (גליל, חרוט, פירמידה).
  • הערך הממוצע של פונקציה על קטע [a,b] הוא (1/(b-a))·∫[a,b]f(x)dx. כדי למצוא פונקציה מנגזרתה ונקודה נתונה, מוצאים קודם את האינטגרל הבלתי מסוים (עם C כללי), ואז מציבים את הנקודה כדי לקבוע את C במדויק.
הקודםחשבון דיפרנציאלי (כולל השתנות של קצב השינוי של הפונקציה ופונקציות עם שורשים ריבועיים)הבאזהויות טריגונומטריות ויישומן בבעיות בגאומטריה