גאומטריה אוקלידית
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! אני אוהב לזחול במעגלים (זה טבעי לשבלול), ולמדתי שכמעט כל שאלה במעגל נפתרת אם רק זוכרים שני חוקים: זווית היקפית = חצי מהזווית המרכזית על אותה קשת, ומשיק תמיד מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. תסתכלו על כל שאלה חדשה ותשאלו את עצמכם - יש כאן זווית היקפית? יש משיק? יש מרובע חסום? כמעט תמיד אחד מהחוקים האלה יפתח לכם את הדלת.
יסודות במעגל: מיתרים, זוויות מרכזיות והיקפיות
במעגל מגדירים: רדיוס, קוטר, קשת, מיתר, זווית מרכזית (קודקודה במרכז), זווית היקפית (קודקודה על המעגל). משפטים מרכזיים: אנך היוצא ממרכז המעגל אל מיתר חוצה את המיתר (וגם ההפך: ישר דרך המרכז שחוצה מיתר, מאונך לו; וישר המאונך למיתר וחוצה אותו, עובר דרך המרכז). זוויות מרכזיות שוות מתאימות למיתרים שווים ולהפך. זווית היקפית שווה תמיד למחצית הקשת (או הזווית המרכזית) שעליה היא נשענת - ולכן שתי זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו. מקרה פרטי חשוב: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90°), ולהפך - זווית היקפית של 90° נשענת על קוטר.
משיקים למעגל
משיק למעגל הוא ישר הנוגע במעגל בנקודה אחת בדיוק. משפטים: המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (ולהפך - ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק). משתי נקודות השקה של שני משיקים היוצאים מאותה נקודה חיצונית - קטעי המשיק שווים באורכם. הקטע המחבר את המרכז עם הנקודה החיצונית חוצה את הזווית בין שני המשיקים. אם שני משיקים מקבילים זה לזה, הקטע המחבר את נקודות ההשקה שלהם הוא קוטר.
משולש ומרובע חסום במעגל, ומעגל חסום במשולש
כל משולש ניתן לחסום במעגל: שלושת האנכים האמצעיים לצלעותיו נחתכים בנקודה אחת - מרכז המעגל החוסם. מרובע ניתן לחסום במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שלו שווה ל-180°; ובפרט, אם טרפז חסום במעגל, הוא בהכרח טרפז שווה שוקיים. בכיוון ההפוך - בכל משולש אפשר לחסום מעגל (מעגל חסום, הנוגע לשלוש הצלעות): שלושת חוצי הזוויות של המשולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום.
היקף ושטח של מעגל ועיגול
היקף מעגל ברדיוס r מחושב לפי C=2πr, ושטח העיגול לפי A=πr². אלה נוסחאות בסיסיות המשמשות לאורך כל פרקי הגאומטריה, לרוב בשילוב עם המשפטים על מעגל שלמדנו.
דוגמאות פתורות
במעגל שמרכזו O, הזווית המרכזית AOB שווה ל-100°. C נמצאת על הקשת הגדולה AB, ו-D נמצאת על הקשת הקטנה AB. מצאו את הזוויות ACB ו-ADB.
- הקשת הקטנה AB (זו שהזווית המרכזית 100° "חותכת" ישירות) מודדת 100°. הקשת הגדולה מודדת 360-100=260°.
- C נמצאת על הקשת הגדולה, ולכן זווית ACB נשענת על הקשת הקטנה (100°): ACB = 100/2 = 50°.
- D נמצאת על הקשת הקטנה, ולכן זווית ADB נשענת על הקשת הגדולה (260°): ADB = 260/2 = 130°.
- בדיקה: ACBD הוא מרובע חסום במעגל, וזוויות נגדיות שלו אמורות להשלים ל-180°: 50+130=180 - מתאים!
תשובה: זווית ACB = 50°, זווית ADB = 130°.
מנקודה P מחוץ למעגל שמרכזו O יוצאים שני משיקים, הנוגעים במעגל בנקודות A ו-B. נתון PA=8 ס"מ והזווית APB=40°. מצאו את PB ואת הזווית OPA.
- לפי משפט שני המשיקים השווים באורכם - PB=PA=8 ס"מ.
- הקטע OP מחבר את המרכז עם הנקודה החיצונית, ולכן הוא חוצה את הזווית APB: OPA=OPB=40/2=20°.
תשובה: PB = 8 ס"מ, והזווית OPA = 20°.
טרפז ABCD (עם AB מקביל ל-CD) חסום במעגל, וידוע כי הצלע AD (שוק) שווה ל-6 ס"מ. מהי הצלע BC (השוק השנייה)?
- טרפז החסום במעגל הוא תמיד טרפז שווה שוקיים (משפט מפורש).
- בטרפז שווה שוקיים שתי השוקיים שוות באורכן.
תשובה: BC = 6 ס"מ, כי טרפז החסום במעגל הוא שווה שוקיים ולכן שוקיו שוות.
תרגול
1. במעגל, זווית מרכזית שווה ל-80°. מהי הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת (מהצד הנגדי)?תרגול
- זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.
תשובה: 40°.
2. חשבו את היקף המעגל ואת שטח העיגול ברדיוס r=7.תרגול
- C=2π·7=14π. A=π·7²=49π.
תשובה: היקף 14π, שטח 49π.
3. מיתר AB באורך 16 ס"מ נמצא במרחק 6 ס"מ ממרכז המעגל. מצאו את רדיוס המעגל.תרגול
- האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה אותו, ולכן חצי המיתר הוא 8 ס"מ.
- משולש ישר-זווית עם ניצבים 8 ו-6: r²=8²+6²=64+36=100, r=10.
תשובה: רדיוס המעגל הוא 10 ס"מ.
4. מנקודה P מחוץ למעגל יוצאים שני משיקים הנוגעים במעגל בנקודות A,B. נתון PA=12 ס"מ. מהו אורך PB?תרגול
- שני קטעי משיק היוצאים מאותה נקודה חיצונית שווים באורכם.
תשובה: PB = 12 ס"מ.
5. מרובע ABCD חסום במעגל, וזווית A שווה ל-75°. מהי זווית C?שאלה בהקשר
- זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל משלימות ל-180°.
תשובה: זווית C = 180-75 = 105°.
6. AB הוא קוטר במעגל, ו-C נקודה על המעגל, כאשר זווית BAC=35°. מצאו את זוויות ACB ו-ABC.שאלה בהקשר
- זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה: ACB=90°.
- סכום זוויות המשולש 180°: ABC=180-90-35=55°.
תשובה: ACB = 90°, ABC = 55°.
7. שני משיקים מקבילים למעגל נוגעים בו בנקודות A ו-B. רדיוס המעגל 9 ס"מ. מהו אורך AB?שאלה בהקשר
- אם שני משיקים מקבילים, הקטע המחבר את נקודות ההשקה הוא קוטר.
תשובה: AB = 2·9 = 18 ס"מ.
לזכירה
- אנך ממרכז המעגל למיתר חוצה אותו (ולהפך, בשני הכיוונים).
- זווית היקפית = מחצית הזווית המרכזית (או הקשת) שעליה היא נשענת; זוויות היקפיות על אותה קשת שוות זו לזו.
- זווית היקפית על קוטר היא 90°, ולהפך - זווית היקפית של 90° נשענת על קוטר.
- משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה; שני משיקים מאותה נקודה חיצונית שווים באורכם, והקטע למרכז חוצה את הזווית ביניהם; שני משיקים מקבילים → הקטע בין נקודות ההשקה הוא קוטר.
- כל משולש ניתן לחסום במעגל (מרכזו - מפגש האנכים האמצעיים) וגם לחסום בתוכו מעגל (מרכזו - מפגש חוצי הזוויות).
- מרובע חסום במעגל ⟺ סכום זוג זוויות נגדיות = 180°; טרפז חסום במעגל הוא בהכרח שווה שוקיים.
- היקף מעגל: C=2πr. שטח עיגול: A=πr².