חשבון אינטגרלי
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! אני אוהב לחשוב על אינטגרל כמו על "הליכה אחורה בזמן": אם אתם יודעים את הנגזרת (הקצב), האינטגרל מחזיר אתכם לפונקציה המקורית. השטח מתחת לגרף הוא בדיוק הדרך שבה משתמשים בזה בפועל - במקום לספור ריבועים קטנים, פשוט מוצאים פונקציה קדומה ומציבים גבולות. הכי חשוב: לפני שאתם מחשבים שטח, תמיד תבדקו אם הפונקציה משנה סימן בתוך התחום - כי שטח הוא תמיד מספר חיובי (או אפס), גם אם הגרף יורד מתחת לציר!
האינטגרל הלא מסוים - הפעולה ההפוכה לנגזרת
מציאת פונקציה קדומה (אנטי-נגזרת) היא הפעולה ההפוכה לגזירה: אם F′(x)=f(x), אז F נקראת פונקציה קדומה של f. לכל פונקציה קדומה F(x) יש משפחה שלמה של פונקציות קדומות, F(x)+C, כי נגזרת של קבוע היא אפס. לפולינום, האינטגרל של כל איבר xⁿ הוא xⁿ⁺¹/(n+1) - "מעלים חזקה אחת ומחלקים במעלה החדשה". לדוגמה, האינטגרל הלא מסוים של f(x)=6x²-4x+3 הוא F(x)=2x³-2x²+3x+C.
אינטגרל של הפונקציה הרציונלית y=c/(ax+b)²
בנוסף לפולינומים, לומדים למצוא פונקציה קדומה לפונקציה הרציונלית מהצורה y=c/(ax+b)². הנוסחה: אם F(x)=-c/[a(ax+b)], אז F′(x)=c/(ax+b)² (אפשר לוודא את זה על ידי גזירת F לפי כלל השרשרת). לדוגמה, לפונקציה f(x)=6/(2x+1)² (כאן a=2, b=1, c=6), הפונקציה הקדומה היא F(x)=-6/[2(2x+1)]=-3/(2x+1)+C.
מציאת פונקציה קדומה לפי נגזרת ונקודה
כשנתון f′(x) (או "הנגזרת של f") ונקודה שדרכה עובר הגרף של f עצמה, מוצאים תחילה את המשפחה הכללית F(x)+C, ואז מציבים את הנקודה הנתונה כדי למצוא את הערך המדויק של C. כך מקבלים בדיוק את הפונקציה f, לא רק משפחה שלמה.
אינטגרל מסוים ושטח בין גרף לציר x
האינטגרל המסוים ∫ₐᵇf(x)dx מחושב על ידי מציאת פונקציה קדומה F והצבת הגבולות: F(b)-F(a). כשמחשבים שטח בין גרף לציר x, צריך לשים לב לסימן: אם הפונקציה חיובית בכל הקטע, השטח שווה לאינטגרל המסוים כמות שהוא. אם הפונקציה שלילית בקטע, האינטגרל יוצא שלילי - והשטח הוא הערך המוחלט שלו. אם הפונקציה מחליפה סימן בתוך הקטע, מפצלים את התחום לפי נקודות החיתוך עם ציר ה-x, ומחשבים כל חלק בנפרד עם הסימן הנכון (או ערך מוחלט), ומחברים.
שטח בין שני גרפים ושטחים מורכבים
כדי למצוא שטח בין שני גרפים, מוצאים תחילה את נקודות החיתוך שלהם (פותרים f(x)=g(x)), ואז מחשבים ∫[הפונקציה העליונה - הפונקציה התחתונה]dx בין נקודות החיתוך. בשאלות עם פרמטר, נעשה שימוש בפרמטר אחד בלבד בכל שאלה - למשל, נתון שטח מסוים ומחפשים את ערך הפרמטר שמקיים אותו.
דוגמאות פתורות
מצאו את הפונקציה הקדומה הכללית של: א. f(x)=4x³-6x+5. ב. f(x)=6/(2x+1)².
- א. לפי כלל החזקה: ∫4x³dx=4x⁴/4=x⁴. ∫-6xdx=-6x²/2=-3x². ∫5dx=5x. סה"כ F(x)=x⁴-3x²+5x+C.
- ב. כאן a=2, b=1, c=6, ולכן F(x)=-c/[a(ax+b)]=-6/[2(2x+1)]=-3/(2x+1)+C.
- בדיקה לסעיף ב: נגזור F(x)=-3(2x+1)⁻¹: F′(x)=-3·(-1)(2x+1)⁻²·2=6/(2x+1)² - מתאים ל-f(x) המקורית.
תשובה: א. F(x)=x⁴-3x²+5x+C. ב. F(x)=-3/(2x+1)+C.
מצאו את השטח הכלוא בין הגרף של f(x)=x²-4 לבין ציר ה-x, בקטע [0,3].
- בודקים סימן: f(x)=x²-4 שלילית עבור 0≤x<2 (כי x²<4), וחיובית עבור 2<x≤3. הפונקציה מחליפה סימן ב-x=2.
- מפצלים את החישוב: השטח בקטע [0,2] הוא ∫₀²-(x²-4)dx=∫₀²(4-x²)dx=[4x-x³/3]₀²=(8-8/3)-0=16/3.
- השטח בקטע [2,3] הוא ∫₂³(x²-4)dx=[x³/3-4x]₂³=(9-12)-(8/3-8)=(-3)-(-16/3)=7/3.
- סוכמים את שני החלקים: 16/3+7/3=23/3.
תשובה: השטח הכולל הוא 23/3 (כ-7.67 יחידות שטח).
מצאו את השטח הכלוא בין הגרפים של f(x)=x+2 ל-g(x)=x².
- מוצאים נקודות חיתוך: x+2=x² → x²-x-2=0 → (x-2)(x+1)=0 → x=2 או x=-1.
- בקטע [-1,2] הישר גבוה מהפרבולה (בודקים למשל ב-x=0: הישר נותן 2, הפרבולה נותנת 0).
- שטח = ∫₋₁²[(x+2)-x²]dx = [x²/2+2x-x³/3]₋₁².
- בx=2: 4/2+4-8/3=2+4-8/3=6-8/3=10/3. בx=-1: 1/2-2-(-1/3)=0.5-2+1/3=-7/6.
- שטח = 10/3-(-7/6) = 20/6+7/6 = 27/6 = 9/2.
תשובה: השטח הכלוא בין שני הגרפים הוא 9/2.
תרגול
1. מצאו את הפונקציה הקדומה הכללית של f(x)=3x²+8x-1.תרגול
- ∫3x²dx=x³. ∫8xdx=4x². ∫-1dx=-x.
תשובה: F(x)=x³+4x²-x+C.
2. מצאו את הפונקציה הקדומה הכללית של f(x)=10/(x+2)².תרגול
- כאן a=1, b=2, c=10, ולכן F(x)=-10/[1·(x+2)]=-10/(x+2)+C.
תשובה: F(x)=-10/(x+2)+C.
3. חשבו את האינטגרל המסוים ∫₁³(2x+1)dx.תרגול
- פונקציה קדומה: F(x)=x²+x. F(3)-F(1)=(9+3)-(1+1)=12-2=10.
תשובה: 10.
4. ידוע כי f′(x)=6x²-2, והגרף של f עובר דרך הנקודה (1,5). מצאו את f(x).שאלה בהקשר
- הפונקציה הקדומה הכללית: F(x)=2x³-2x+C.
- מציבים את הנקודה: F(1)=2(1)-2(1)+C=0+C=C. נתון F(1)=5, ולכן C=5.
תשובה: f(x)=2x³-2x+5.
5. מצאו את השטח הכלוא בין הגרף של y=9-x² לבין ציר ה-x.שאלה בהקשר
- נקודות חיתוך עם ציר x: 9-x²=0 → x=±3.
- הפונקציה חיובית בין -3 ל-3, ולכן השטח שווה לאינטגרל: ∫₋₃³(9-x²)dx=[9x-x³/3]₋₃³=(27-9)-(-27+9)=18-(-18)=36.
תשובה: השטח הוא 36.
6. מצאו את השטח הכלוא בין הגרפים של y=x² לבין y=4.שאלה בהקשר
- נקודות חיתוך: x²=4 → x=±2.
- שטח = ∫₋₂²(4-x²)dx = [4x-x³/3]₋₂² = (8-8/3)-(-8+8/3) = 16-16/3 = 32/3.
תשובה: השטח הוא 32/3.
7. נתונה f(x)=2x+k, כאשר k פרמטר. ידוע שהשטח הכלוא בין הגרף של f לבין ציר ה-x, בקטע [0,2], שווה ל-10 (ניתן להניח ש-f חיובית בקטע זה). מצאו את k.שאלה בהקשר
- ∫₀²(2x+k)dx = [x²+kx]₀² = (4+2k)-0 = 4+2k.
- משווים ל-10: 4+2k=10 → 2k=6 → k=3.
- בדיקה: f(x)=2x+3 אכן חיובית בכל הקטע [0,2] (ערכיה בין 3 ל-7).
תשובה: k=3.
לזכירה
- פונקציה קדומה F מקיימת F′(x)=f(x); עם קבוע חופשי C - "משפחת האינטגרלים".
- אינטגרל של פולינום: ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C.
- אינטגרל של y=c/(ax+b)²: הפונקציה הקדומה היא -c/[a(ax+b)]+C.
- כדי למצוא את f המדויקת (לא רק משפחה) מ-f′ ונקודה על הגרף - מציבים את הנקודה במשפחה הכללית ופותרים עבור C.
- שטח בין גרף לציר x: אם הפונקציה שלילית בקטע כלשהו, לוקחים ערך מוחלט (או מפצלים את התחום לפי נקודות חיתוך עם ציר x ומחברים חלקים חיוביים).
- שטח בין שני גרפים: מוצאים נקודות חיתוך, ומחשבים ∫[עליון-תחתון]dx ביניהן.
- בשאלות עם פרמטר יש תמיד פרמטר אחד, שנמצא מנתון על שטח או על ערך.